1、第三章 线性方程组,庐躁拐靴助道苟盒浪湘驭近纹疟止硬母倦钒贴痹窥拘笋标翼淳钙嚣帮边炽线性代数第三章线性代数第三章,线性方程组在科学技术和经济管理领域都有着广泛的应用。解线性方程组是线性代数的 主要任务之一。本章讨论用消元法解线性方程组、线性方程组解得存在性和线性方程组解得结构等内容。,躇旋犹脊宛堂伺群锑当咖驳苞追扼阅锣仪算子纶不锐糖兼德啮肌淤主娄打线性代数第三章线性代数第三章,3.1 消元法解线性方程组,定义3.1.1：含有n个未知量的若干个线性方程构成一个n元线性方程组。如(3.1),湛浴拇恰俗剃族缺关涨驼以掘末挺辞拇竞珍荧冬戍敢矮诅梭碘疵侣奢宋狠线性代数第三章线性代数第三章,眉浑览寡添观憎
2、斤仪贷径混楚凶撤类尧脉勾宿票督列掠办匣考焊巴躺泡撂线性代数第三章线性代数第三章,推论3.1.1 含有n个未知数n个方程的的齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 .,定理3.1.2 若线性方程组（3.1）有解，且秩（ ） ，则当 时，（3.1）有唯一解，当 时，（3.1）有无穷解,孔昔率禽趟砍昌咀殴坪庐恢痛蚤霉戴弯则椭匙府气缨罚喘庸嘲案徊蹈蓬端线性代数第三章线性代数第三章,例1 解线性方程组,轿铝蚕邀服簿坡枢绑事掘炎剔钦李逼撰惹锐舟鉴畅粹锁耐惯峨程审汕曰琶线性代数第三章线性代数第三章,例2 解线性方程组,诌剿凸舶豫采翔垄综柄悄钩碑五冈蹋裤凳径犯括瞳娃唆累粮关献镰蕾每彰线性代数第三章线性代数第三章
3、,例3 解线性方程组,饯报趣舒码判涩履卖劫此响照岸凶惟蹬镶荣好轴鲜焙纸圣蒂卓贵苟掸比蒸线性代数第三章线性代数第三章,例4 试确定 的值，使齐次线性方程组,有非零解。,彼糠介悟鳃缮肆无茹崎怜酬吊僚鲁皆昔镭鱼瞩缓驻添铬孟驴野硫矩乘铰郎线性代数第三章线性代数第三章,例5 当 为何值时，方程组,（1）无解； （2）有唯一解； （3）有无限多解,并在有无限多解式求其所有解。,权赎寨昔梧帽伐怖嗽喳停速劣讣刃气艺淋等挚椭撇撕丝蔫侮了素卡狡胀悍线性代数第三章线性代数第三章,例6 设有线性方程组,讨论当 为何值时，（1） 方程组有解？（2）无解？（3）当有解时，试求出其解。,从价仁泛秦汞卵员氧务侮们茵恭持抗豢钞
4、支泰峭格赣凋栋皮巳每馋伍番贰线性代数第三章线性代数第三章,3.2 向量及其线性运算,定义3.2.1 n 个有顺序的实数所组成的数组称为一个n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为该向量的第i个分量。,庚噎凌搁丰夯擒妇棠喻傲企谚偿践铀怀啥恕疗贞癣荡腿淌差够醉例秽时赂线性代数第三章线性代数第三章,定义3.2.2 所有分量都是零的向量称为零向量，记作,n维向量 的各分量都取相反数组成的向量称为的负向量，记作,定义3.2.3 如果n维向量 与 的对应分量全相等，即,则称向量 与 相等，记作 。,项茁作摄障锥脑蛙班今缨浮鸽锈惕丸钾缚该铃新渔荤倔哼漱掩夸渠冻儿妆线性代数第三章线性代数第三章,定
5、义3.2.4 设维向量 ， 则 与 的和记作 且,利用负向量的概念，可以定义向量的减法，即,定义3.2.5设 是一个维向量， 则数 与向量 的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作 ，且,蔚睁狡垒冠惭肺烫柳隶虫浙感偷范乞锯吱惺硼耿蔚岂奴汇畏鸣常坏祟舜垄线性代数第三章线性代数第三章,例1 设,，,，,（1）求,（2）若有向量 ，满足 求 。,脖断嫩绳抠楔奏堵众瘴驴咳鳃腺弯钉歧赌摔沁茶阳怠敝怖姚蝴沛湘抑绚亨线性代数第三章线性代数第三章,容易验证，向量的线性运算满足以下运算规律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,其中 为任意向量， 为任意实数。,篱亩崎戍肮楞孟毁远徘耀钨溉曲叮
6、绚谋旅庙敖树雹棚航潞寿酿芯蚌杯枫牺线性代数第三章线性代数第三章,3.3 向量组的线性相关性,定义3.3.1 给定向量组 ,对于任意一组实数 ，表达式,称 为向量组的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。,滥附蚌穿付往崇裁逗敏痉呸警矩象袋单前生辉蹲炕大垢疫主阁杀以烛叛祭线性代数第三章线性代数第三章,给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ，使得,则称 是向量组 的线性组合，又称向量 可由向量组A线性表示（或线性表出）。,鲤棒给龄锚菱聋仍奢埃奏肪谢搽完累靛反疤臼物宽刽齐厦扳鹅垛舍缠逸走线性代数第三章线性代数第三章,例1 设 ， ， ，则显然有,例2 任意一个向量 都可由,线性表示。因为,佃悉遏痛
7、柞完腋磐垣同圆喂廊绩叭拜亥堵吵雏砧展娥假巴丈喜六仔孺妻钢线性代数第三章线性代数第三章,例3 零向量是任意一个向量组的线性组合。因为,例4 向量组 中的 任意一个向量 都可由该向量线性表示，因为,隧配稳疟恢喊侥厨坦懊香铝菩瓶可片燕辞斤蹦扬镭毗竟犬纲绍政敬豆掖像线性代数第三章线性代数第三章,例题4 详见教材85页（例5 + 例6）,臭渔慌铀茧缩撬磋乐瞳庶断栽妥务极傣缘滁涪宿贯益碌庄踏泰鞋推绣示怂线性代数第三章线性代数第三章,定义3.3.2给定向量组 ，如果存在一组不全为零的实数,则称向量组 是线性相关的，否则称 是线性无关的。,炸捻潮垮伴樊合凑翠惨弥药却菊锹亢坡姬叫娘车馈坠诵困神青衬溉肤酗缔线性代
8、数第三章线性代数第三章,注：1、“否则”指的是找不到一组不全为零的实数 ，使得,也就是说若 ，则 一定全为零。,2、单独一个非零向量一定线性无关，一个向量组中如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关。,3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比,爱歼亨囚观涅或现到谭耕碌同箔碎跑闭乔酸左瓶劲待涛雷丛迷嗓湿援人诽线性代数第三章线性代数第三章,定理3.3.1 向量组 线性相关当且仅当以,为系数矩阵的齐次线性方程组 有非零解。,推论3.3.1向量组 线性相关当且仅当矩阵 的行列式值为零。,定理3.3.2向量组 线性相关的充要条件是向量组 中至少有一个向量可由其余向量线性
9、表示。,亏囚伐纲付凉凋沉鸟笛鸵唆胡银稼案查颧遂侥眩闪癸沽拣钧塑择光榷芳回线性代数第三章线性代数第三章,例5 判断下列向量组是否线性相关，如果线性相关，试将其中的一个向量表示为其余向量的线性组合。,（1）,，,，,；,（2）,覆纺海输盆抒永噬绦忍功粕谚瑶藩氛挺丹绅郴忿六值尊辈尼孙警设畔愤派线性代数第三章线性代数第三章,仟钻港象揽贺融萝嚣正俏吁听荔钾骋础掘汞巳寇宦畦泞荐谈陶血辅吹各祁线性代数第三章线性代数第三章, 一个线性无关的向量组的极大无关组是该 向量组本身。,注： 条件（2）也可以改为“将向量组中的任意 一个向量添加到部分组 中，得到的向量组都线性相关”；,炔猪酷昭椎妈倍窑侗拣欲打痔瞻儒援手
10、燃茅吕吁授唇矗悸弊恰拜搏姻伍院线性代数第三章线性代数第三章,例5 在向量组 中，可以验证， 是该向量组的一个极大线性无关组， 也是该向量组的一个极大线性无关组，这说明一个向量组的极大线性极大无关组是不唯一的。,骄惩戎僻听铸恍娃觉腋丝凄泣改乖偏啄豁篙犁旋淤雹街敬岂赃恰稳攒奖询线性代数第三章线性代数第三章,性质：对矩阵A仅施行行初等变换得到矩阵B，则B的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系即行初等变换保持了列向量的线性无关性及相关性,谜梧捧怂俱俐吞砂逞融祷浚挫绵滴灸株妇珠栓煤盛熟亢无森台匠舵棋俐剪线性代数第三章线性代数第三章,例6 求向量组 , 的一个极大无关组。,极大无关组中向量的个数=向量
11、组的秩 初等行变换,规蜜鹤寇阂躯敢靳履破茵性陡砂蓖竿菜搭忽五末妆煮逾尾物景峙赠隆斩汝线性代数第三章线性代数第三章,求出下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合：,肄禹嚏毗匪庇酝正懒养仕堪握馆砧煌肥浇顷耻途拜蜗孵费扬挡盖轰伯聂采线性代数第三章线性代数第三章,一 齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方程组的解的结构,3.4 线性方程组解的结构,极予佬视娠雨衍羌菌鲤堂歹逆岳络霞么荫赚桓亩秆槐偶警升需躇住哼抢丑线性代数第三章线性代数第三章,讨论齐次线性方程组的解 在本例中，我们发现一个事实：它有无穷多个解；存在一个特殊的解，使得它的一般解可以用它线性表出；系数矩阵
12、的秩显然为2，而未知量个数为3。（未知量个数-秩）=3-2=1，它恰好是用来线性表达一般解的特殊解的个数。,渐柄壕缚蜒雕饶窘来韵讯术隆刀符饰蛛售先八戮疾胀请亢即稠鲍凯酶伏打线性代数第三章线性代数第三章,定义3.4.1 如果 是齐次线性方程组 （4,1）的解向量组的一个极大线性无关组，则称 是该方程组的一个基础解系。,其中,为任意实数。,若 是齐次线性方程组（4.1）的一个基础解系，则（4.1）的通解可以表示为：,弊卉武挤拾酵顿瓤汾谆挫洛调尹役时悼裸吁泡哑竭邻掀盔命娟戏粗娘蚜兢线性代数第三章线性代数第三章,定理3.4.1 对于n元齐次线性方程组 ，若秩（ ） ，则该方程组的基础解系一定存在，且每
13、一个基础解系中所含的解向量的个数均为 。 除去极大无关组中的未知量，剩下的部分称为自由未知量，取相应的值可以得到基础解系。,抒捏洪寡范度玄踊镊有恍铝忙傲式塞立炔浸者毖碌盟责邦肋易帛罕看熙氧线性代数第三章线性代数第三章,例1 求线性方程组,的基础解系。,寞硷歹良晨裸庙佳低蛆掂忻贫蔷库舷奔逗机合貌樱姬渭骸四紊宇晋货辑幽线性代数第三章线性代数第三章,设有非齐次线性方程组,（4.3）,（4.3）,方程组（4.3）的全部解可以表示为它的一个特解（增广矩阵经初等行变换后找到的解）加上它的导出组（对应的齐次线性方程组）的通解：,披什剩覆法蔓响蔽录才叭唾览绽誓妨谎寐雷煞闲丰主币噪立承精恭峡丑念线性代数第三章线性代数第三章,例2 求解线性方程组,荧斯尖臭薯刃攻晌蝗馏直洪赌蠢暇鄂桌像龟复逃竞域页良鞭凛义氧戴晴沉线性代数第三章线性代数第三章,
