1、第三章 习题课,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量, 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组
2、A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组, 向量空间,定义, 子空间,定义, 基与维数,向量方程,9 齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程,0 非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系,1 线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）
3、求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典 型 例 题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证
4、明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间,解,三、向量空间的判定,例 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系,四、基础解系的证法,分
5、析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组 的基础解 系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组 ，有时也把 如题中所给的 个解称为 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示,第四章 测试题,一、填空题(每小题5分，共40分),二、计算题,(每小题8分，共24分),三、证明题,(每小题8分，共24分),四、向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关,(12分),测试题答案,
