1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题1. 设 4 阶方阵 的秩为 2，则其伴随矩阵 的秩为 A*A2. 设 n 阶方阵 A 经有限次第三种初等变换化成 B，则 3. 若线性方程组 有解，则常数 应满足条件 414332211ax4321,a4. 设一线性方程组的增广矩阵为 041352则 时，方程组有无穷多解?5. 设 n(n2)阶方阵 的秩等于 n-1，则 a= aA 1二、 选择题1. 设 ， ， 32312131aA 1312313 23221 aaB， ，则必有101P02P BA21)( BPA12)( PC21 D122. 设 是 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩
2、阵 的秩nmCnArACB为 ，则1r 1)(A1)(rB 与 的关系依 而定1rCD13. 设 都是 阶非零矩阵，且 ，则 和 的秩,n0ABB必有一个等于零)(A都小于 Bn一个小于 ，一个等于 )(Cn都等于 D4. 非齐次线性方程组 中未知量个数为 ，方程个数为 ，系数矩阵 的bAxnmA秩为 ，则r时，方程组 有解 mA)(时，方程组 有惟一解nrBbx时，方程组 有惟一解C)(A时，方程组 有无穷多解rDx5. 设 是 矩阵， 是非齐次线性方程组 所对应的齐次线性方Anm0bAx程组，则下列结论正确的是若 仅有零解，则 有惟一解)(xbAx若 有非零解，则 有无穷多个解B0若 有无
3、穷多个解，则 仅有零解)(CbAx0x若 有无穷多个解，则 有非零解DA6. 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是对应齐次线21,bx21,性方程组 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解（一0Ax21,kbAx般解）必是)( 212121 k212121B)( 212121 kC212121D三、 解答题1. 利用初等变换求矩阵 A 的逆矩阵 112. 确定下列线性方程组中 k 的值满足所要求的解的个数. 1254zyxk有无穷多解:3. 证明: 如果对所有的实数 x 均有 ax2+bx+c=0, 那么 a=b=c=0.4. 设一线性方程组的增广矩阵为 3241求 的值使得此方
4、程组有唯一解.5. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/ 小时)30 20 150 350 x1 x2 x3 x5 x4 1) 建立数学模型2) 要控制 x2 至多 200 辆/小时, 并且 x3 至多 50 辆小时是可行的吗?6. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出 , 试确定农作物的价值 x1, 农具及工具的价值 x2, 织物的价值 x3 的比值. 31CMF7. 设矩阵 且 ，求 .1kA3)(Ark8. 设 阶矩阵， ,)3(n 1 aaaA若矩阵 的秩为 ，求 .A1a9. 设 是 矩阵，且 的秩 ，而 ，34A2)(r 3012B求 .)(ABr10. 设
5、阶方阵 ， ，且 可逆，证明：秩 秩 .nA2B2AI AB11. 设 是 阶可逆矩阵，将 的第 行和第 行对换后得到的矩阵记为ij（1）证明 可逆；B（2）求 .112. 设 ， ，43421321432aaA 412433212134aB， ，01P102P其中 可逆，求 .A1B13. 已知线性方程组 ，讨论 取不同的值时，线性方程组的解的情况，23214txtxtt并求解.14已知线性方程组 ，问：（1） ， ， 满足何种关系时，03212xcbxaabc线性方程组仅有零解. （2） ， ， 满足何种关系时，线性方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.15设线性方程组 ，求方程组
6、和 的公共解.I0421xI04321xI16已知下列非齐次线性方程组)(I33146214x)(I12543431txnm（1）求解方程组 ，用其导出组的基础解系表示通解.)(I（2）当方程组 中的参数 ， ， 为何值时，方程组 和 同解.mnt)(I17设 nnbabaA 2122121其中 ， ，求矩阵 的秩 .0iai ),( A)(r18已知方程组 无解，求 .0312132xaa19若线性方程组 有解，41433221ax则常数 ， ， ， 应满足什么条件.1a2320设 ， 为 阶单位阵，且 ，76054AE4)()(1AEB求 及 .1)(BE21已知 3 阶方阵 ，且 的每一个列向量都是以下方程组的解：B03231x（1）求 的值；（2）证明 .0B
