1、第二十二章 一元二次方程221 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念教学目标了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a 0）及其派生的概念； 应用一元二次方程概念解决一些简单题目1通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义2一元二次方程的一般形式及其有关概念3解决一些概念性的题目4态度、情感、价值观4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情重难点关键1 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一
2、元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一、复习引入学生活动：列方程问题（1） 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈， 那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为 x尺， 那么， 这个门的宽为_ 尺， 根据题意， 得_整理、化简，得：_问题（2）如图，如果 ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点ACBBCA 如果假设 AB=1，AC=x ，那么 BC=_，根据题意，得：_整理得：_问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m
3、，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_整理，得：_老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理二、探索新知学生活动：请口答下面问题（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3） 都有等号，是方程因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于
4、 x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a 0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a 0） 因此，方程（8-2x） （5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4
5、x 2-26x+22=0其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22例 2 （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1 化成ax2+bx+c=0（a 0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x 2+2x-4=0其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4三、巩固练习教材 P32 练习 1、2四、应用拓展例 3求证：
6、关于 x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+170 即可证明：m 2-8m+17=（m-4） 2+1（m-4） 20（m-4） 2+10，即（m-4） 2+10不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用六、布置作业1教材 P34 习题 221 1、22选用作业设计作
7、业设计一、选择题1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x 2+7=0 ax 2+bx+c=0 （x-2 ） （x+5）=x 2-1 3x 2- =05xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B 2，-3 ，18 C2，-3 ，6 D2，3，63px 2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2一元二次方程的一般形式是_3关于 x 的方程（a
8、-1）x 2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_三、综合提高题1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x 2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？32关于 x 的方程（2m 2+m）x m+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时， 是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1 ，整理得：x 2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4x2-3x-1 -3 -3所以，_0 024c直接开平方，得：x+ =ba24c即 x
9、=24bcx 1= ，x 2=2a24bac由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根24bca（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1用公式法解下列方程（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3） （x-2） （3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，
10、首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可解：（1）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=（-4） 2-42（-1）=240x= (4)642x 1= ，x 2=6（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=（-5） 2-43（-2）=490x= (5)4976x1=2，x 2=- 3（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b2-4ac=（-11） 2-439=130x= (1)16x 1= ，x 2=363（3）a=4，b=-3，c=1b2-4ac=（-3） 2-441=-7250kg， （舍去） 五、归纳小结本节课应掌
11、握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题六、布置作业1教材 P53 复习巩固 2 综合运用 7、92选用作业设计：一、选择题1一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ） A12 人 B18 人 C9 人 D10 人2某一商人进货价便宜 8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前 x 增加到（x+10%） ，则 x 是（ ） A12% B15% C30% D50%3育才中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年四年内师生共植树 1997 棵，已知该校1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500
12、棵，如果 1996 年和 1997 年植树的年增长率相同，那么该校 1997 年植树的棵数为（ ） A600 B604 C595 D605二、填空题1一个产品原价为 a 元，受市场经济影响，先提价 20%后又降价 15%，现价比原价多_%2甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了 10%， 最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_元3一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满， 第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL
13、， 则列出的方程是_三、综合提高题1上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率为200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子， 现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个， 如果要使产量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树 ?3某玩具厂有 4 个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（a0）个成品，且每个车间每天都生产 b（b0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、 周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的
14、所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同（1）这若干名检验员 1 天共检验多少个成品?（用含 a、b 的代数式表示）（2）若一名检验员 1 天能检验 b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?4522.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题重难点关键1 重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题2
15、 难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题例 1某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2， 上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
16、（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2， 渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模解：（1）设渠深为 xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（ x+2）m依题意，得： （x+2+x+0.4）x=1.612整理，得：5x 2+6x-8=0解得：x 1= =0.8m，x 2=-2（舍）45上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m（2） =25 天.6708答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道学生活动：例 2如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽
17、 21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？九 年级 练数 学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比9：7， 由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm， 则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x ）cm 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ，则中央矩形的面积是封面面积的14所以（27-18x） （21-14x）= 272
18、134整理，得：16x 2-48x+9=0解方程，得：x= ，6x12.8cm，x 20.2所以：9x 1=25.2cm（舍去） ，9x 2=1.8cm，7x 2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm三、巩固练习有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 01 尺）四、应用拓展例 3如图（a） 、 （b）所示，在ABC 中B=90，AB=6cm ，BC=8cm ，点 P 从点A开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B
19、 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度运动（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 SPBQ =8cm2（2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到C后又继续在 CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6cm2 （友情提示：过点 Q作 DQCB ，垂足为 D，则： ）CA(a) BACQP(b) BACQ DP分析：（1）设经过 x 秒钟，使 SPBQ =8cm2，那么 AP=x，PB=6-x ，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型（2）设经过 y 秒钟，这里的 y6 使PCQ
20、的面积等于 12.6cm2因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10 ，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8 ） ，又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 的面积为 8cm2则： （6-x）2x=82整理，得：x 2-6x+8=0解得：x 1=2，x 2=4经过 2 秒，点 P 到离 A 点 12=2cm 处，点 Q 离 B 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点P 到离 A 点 14=4cm 处，点 Q 离 B 点 24=8cm 处，所以它们都符合要求（2）设 y
21、秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm ，点 Q 在 CA 上移动，且使CQ=（2y-8 ）cm，过点 Q 作 DQCB，垂足为 D，则有 CABAB=6， BC=8由勾股定理，得：AC= =10268DQ= 6(28)(4)105y则： （14-y） =12.6整理，得：y 2-18y+77=0解得：y 1=7，y 2=11即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7） ，点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm处（CQ=2y-8=6 ） ，使PCD 的面积为 12.6cm2经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q
22、在 CA 上距 C 点 14cm10，点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在本小题只有一解 y1=7五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题六、布置作业1教材 P53 综合运用 5、6 拓广探索全部2选用作业设计:一、选择题1直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ） A B5 C D737382有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，
23、宽 27m;B第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m;C第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m;D以上都不对3从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm 2 D64cm 2二、填空题1矩形的周长为 8 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为_22长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为_3如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为 _三、综
24、合提高题1如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为1：1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少 ?（说明：背水坡度 = ，迎水坡度 ） （精确到 0.1m）CFB121DEABACEDF2在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3谁能量出道路的宽度:如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具， 只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行BACEDH GF22.3 实际问题与一元二次方程(4)教学内容运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题教学目标掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题重难点关键1重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题
