1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题1、 设 ，其中 ，则nnnbabaA 2122121 ),21(,0,nibaii _)(R2、 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 n1，则线性方程组)(ARAX0 的通解为_3、 设四阶方阵的秩为 2，其伴随矩阵的秩为_4、 设 ， ， ，其中112121nnnaaA nxX21B，则线性方程组 的解是_),(jiji A5、 已知 ， ，则 _102P20A10)(P6、 设 A，B 均为 n 阶矩阵 AB0，且 A +B=E,则 _)(BR7、 设矩阵 的秩为 ，P 为 m 阶可逆矩阵，则 _mr8、 矩阵 的行最简形矩阵为_34
2、0129、 矩阵 的行最简形矩阵为_1710、 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B，则 )(_)(BRA从矩阵 A 中增加一行得到矩阵 B，则11、 矩阵 的秩为_431120A12、 矩阵 的秩为_81507313、 齐次线性方程组 的解为_0224321xx14、 齐次线性方程组 的解为_074265431xx15、 非齐次线性方程组 的解为_812213x16、 非齐次线性方程组 的解为_6943354zyxz17、 非齐次线性方程组 当 _时,有唯一解， _，2321321x无解， _有无穷多解？18、 非齐次线性方程组 当 _时,有解，其解为2321321x_19、 非齐次线性方程组
3、 _时,有唯一1)5(42)(321xx解， _，无解， _有无穷多解？解为_20、 设 , 且 ；则 _1324A132BBAX21、 设矩阵 A，B，C，如下 ，mnmnaa 21212ltll tbb 212112,且 ，则 _BAC021)(,)(rBR)(C22、设 A 为 n 阶方阵，且 ，E 为 n 阶单位阵，则 -A2 )()2(AER_23、设 A 为任意实矩阵，且 ,则 _rR)()(AT二、选择题1、设 n 阶方阵 与 等价，则 （ ）BA， B， C，若 则必有 D，00A2、设 n 元齐次线性方程咱 AX0 的系数矩阵 A 的秩为 r，在 AX0 有非零解的充要条件是
4、 （ ）A，rn B, rn 3、已知 ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ0 则（ ）963421tQA, 时P的秩必为1 B， 时P的秩必为2t 6tC， 时 P 的秩必为 1 D， 时 P 的秩必为 24、设 A 是 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 ，BAC 的秩为 ，nm r1r则（ ）A， B， C， D, 与 的关系依 C 而定1r1r1r15、设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB0，则 A 和 B 的秩（ ）A，必有一个等于零 B，都小于 nC，一个小于 n，一个等于 n D，都等于 n6、 ， ， ，32311a 13123132aa10P，则必有 （ ）0
5、2PA， B， C， D，21PA12 BAP21 BAP127、设 为同阶可逆矩阵，则 （ ）,A, 存在可逆矩阵 使 1B, 存在可逆矩阵 使 TC, 存在可逆矩阵 , 使PQBAD， BA8、下列命题中不正确的是 （ ）A，初等矩阵的逆也是初等矩阵B，初等矩阵的和也是初等矩阵C，初等矩阵都是可逆的D，初等矩阵的转置仍是初等矩阵9、已知 均为 n 阶矩阵，满足 ，若 ，则 （ ）, 0ABnmR)()(BRA, B , mBR)( C, D, 1)(10、设 ， ， ，3231aA 131232ak01P，则 等于 （ ）02kPA， B， C， D，21BP12PABPA12211、当
6、（ ）时， 3433231 222 113432121 aaaaPA， B， 0 10PC， D，13P 312、设线性方程组 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 ，且 AB0，03231x则 为 （ ）A，1 B， 2 C， 0 D，不能确定13、设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，且 ，则 （ ）nmmnABA， n B， 0 C，m D，不能确定14、设线性方程组 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 ，且 AB0，03212x则（ ）A， 且 B， 且B20C， 且 D， 且101答案一， 填空题1， 1 2, 3,0 提示，因 故 A 中所有 3 阶)(ARTk)1,( 2)(R子式全为零，故其伴随矩阵所
7、有元素全为零 4, 5,TX0,16,n 7，r 8, 9， 102 0131510， 提示：设 ，且B的某个r阶子式 .矩阵B是由矩)(BRAR)( 0rD阵A划去一行得到的，所以在A中能找到与 相同的rD阶子式 ，由于 ，故而 . rD0r )(BRA11,2 提示：化为行阶梯形矩阵 12，2 13, ,提示：系数矩阵1344321kx化为行最简形 14， 15，无解，对系数的增广矩阵施行行变换04321x因 故方程组无解)(,2)(BRA16， 17，(1) ,即 时方程组有021kzyx 012,1唯一解. (2) 由 得 时,方程组无解. (3) ,由, 得 时,方程组有无穷多个解.
8、 18, 解 方程组有解，须 得 当 时,方程组解为 当 时,方程组解为 19, 解 当 ,即 且 时，有唯一解. 当 且 ，即 时，无解. 当 且 ，即 时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为 原方程组的解为 () 20, 21, ,提示做初等变换21r22, n 提示 ，02)(2AEAE nAER)()(又 ,3)( nR)(23, r,提示证明AX0与 同解即可0XT二， 选择题1，C 提示： 则BA)(R2, B 3，C ，提示考虑矩阵方程组 ，t6时，因 1，故其基础0xQ)(QR解系的秩为2，因P为非零矩阵，故 ， 时， 2，2)(1P6t)(故其基础解系的秩为1，故 )(R4，C 提示：矩阵方程AXB，有解C，故 ，因C可逆，矩阵方rBAR);()程BXA有解 ，故 ，故1 1);()rAB1r5，B 提示矩阵方程AX0，BX0都有非零解，故 ，n)()(6，C 7，C 8，B 9,D 提示基础解系的秩为nm10，A 11，B 12 A 提示：方程组AB0有非零解， 0A13，B 提示： ，而 ，故AB为降秩矩)(,min)(BRABRnBRA)(,)(阵14，C
