线性代数第三章习题课

1、第三章 向量与向量空间,第一节 维向量,一 维向量,三 应用举例,二 向量的运算,五 向量空间,四 向量组与矩阵,确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：,小鸟重心在空间的位置参数,小鸟身体的水平转角,小鸟身体的仰角,鸟翼的转角,所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组,、引入,一、维向量（Vector）,小鸟身体的质量,鸟翼的振动频率,还有,、定义,个数 组成的有序数组,称为一个维向量，其中 称为第 个分量（坐标）.,一般记作,如：,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，,如：,一般记作,.,维向量写成一列，称为列向量，也就是。

2、第三章 线性方程组-习题课,定义,1.线性组合,2.线性表出,定义,3.线性相关,4.线性无关,线性相关性的性质,部分相关-整体相关,（整体无关-部分无关）,短向量线性无关，则加长向量线性无关； 长向量线性相关，则缩短向量线性相关,推论2 任意 n1 个 n 维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量,定义,5.向量组的秩,推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,命题2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.,极大无关组的性质,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,2）一个线性无关的向量组的极大无。

3、第三章 向量复习题 一 填空题 1 当 时 向量线性无关 3 如果线性无关 且不能由线性表示 则 的线性 无关 4 设 当 时 线性相关 5 一个非零向量是线性 无关 的 一个零向量是线性 相关的 6 设向量组A 线性无关 线性 相关 7 设为阶方阵 且 是AX 0的两个不同解 则一定线性 相关 8 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是 等于 填大于 小于或等于 9 设向量组 线性相关 则的值。

4、第三章 课后习题及解答将 1，2 题中的向量 表示成 的线性组合：4321,1 .1,1,1, T4T3T21T T2 .,0,0,0 4321 解：设存在 使得 ，整理得4321,k 4321kk4321k432114321kk4321解得 .41,1,5321 kk所以 .43214设存在 使得 ，整理得4321,k 4321kk， ，0321k 04321， .42421k解得 所以 0,0,4321k 31判断 3，4 题中的向量组的线性相关性：3. .6,31,520,1TTT4. .,074,)4,( T32T1，解： 3.设存在 使得 ，即321,k0321k，由 ，解得 不全为零，065321k651321,k故 线性相关 .321,4.设存在 使得 ，即321,k0321k可解得 不全为零，故 线性相关.014273131kk321,k。

5、1第三章习题 3-11 设 s= gt ，求 22dts解： 2214()limlit tt gsdt 21li()tg2 设 f(x)= ，求 (x0) (x00)f解： 12)002()fx3试求过点（3，8）且与曲线 相切的直线方程。2yx解：设切点为 ，则切线的斜率为 ，切线方程为0(,)x02xy。由已知直线过点(3,8),得02y(1)008(3)yx又点 在曲线 上，故0(,)xy2x(2)20y由(1),(2)式可解得 或 ，故所求直线方程为0,4x0,16xy或 。也即 或 。4(2)y168()y48160xy4 下列各题中均假定 f(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么：(1) =A;0limx(f(2) f(x0)=0, A；0lix)f(3) =A0lih(fh2解：(1) 00000()(。

6、第 1 页 （共 6 页）向量复习题（3）一、填空题：1.当 _时，向量 线性无关.t123(,),(4,)(,1)TTTt2 向量 则 ，(,2)TT3. 如果 线性无关，且 不能由 线性表示，则n,21 1nn,21的线性 21,n4. 设 , ，当 时， 线性相关.T)5(Ta)(2， 21,5. 一个非零向量是线性 的，一个零向量是线性 的.6. 设向量组 A: 线性无关， ， ， 线性 321, 3112327. 设 为 阶方阵，且 ， 是 AX=0 的两个不同解，则An)(nAr,一定21，线性 8. 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是1,lL1,mL。(填大于，小于或等于)12(,)mR 22(,mlR 9.设向量组 , , 线性相关，则 的值为 。

7、第三章 习题课,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量, 向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义, 线性相关,定理,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设。

8、一、 单项选择题 1若四阶方阵A的秩为3，则（ ） AA为可逆阵 B齐次方程组Ax=0有非零解 C齐次方程组Ax=0只有零解 D非齐次方程组Ax=b必有解 2若线性方程组无解，则等于（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 3.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（ ） A. B. C. D. 4设A为mn矩阵，且非齐次线性方程组。

9、 1 第 四 章 向 量 组 的线 性 相 关 性 一 、 选 择题 1 、 设 A 是 m n 矩阵 ， B 是 n m 矩阵 ， 则 ( B ) （ A ） 当 m n 时 ， 必 有 0A B （ B ） 当 m n 时 ， 必有 0A B （ C ） 当 m n 时 ， 必 有 0A B （ D ） 当 m n 时 ， 必有 0A B 2 、 设 )(i ja=A ， )(i jb=B 是两 个 n 阶方阵 ， 则 A B 的 第 i 行是 （ A ） 。 （ A ） B 的各行 的线 性组 合 ， 组合 系数是 A 的第 i 行各 元素 ； （ B ） A 的各行 的线 性组 合 ， 组合 系数是 B 的第 i 行各 元素 ； （ C ） B 的各列 的线 性组 合 ， 组合 系数是 A 的第 i 行。

10、第二章 矩阵的初等变换与线性方程组,1. 矩阵的初等变换,2. 矩阵的秩,3. 线性方程组的解,以Em(ij(k)左乘矩阵A=(aij)mn, 相当于把A的第j 行乘数k加到A的第i 行上(ri+krj).,类似地, 以En(ji(k)右 乘矩阵A=(aij)mn, 其 结果相当于把A的第j 列乘数k加到A的第i 列上(ci+kcj).,五、行阶梯形矩阵,经过初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 其特点是: 可画出一条阶梯线, 线的下方全为0; 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.,六、行最简形矩阵,经。

11、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,一. 矩阵的初等行(列)变换,初等行变换和初等列变换统称为初等变换.,引理.,定理.,存在可逆矩阵P，Q 使PAQB,(3)矩阵A等价于B,(1)矩阵A行等价于B,存在可逆矩阵P 使PAB,存在可逆矩阵Q 使AQB,(2)矩阵A列等价于B,问题.,二. 矩阵的秩,定义. 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零 则称D为矩阵A。

12、第三章 线性方程组,克莱姆法则的两个缺陷:,1.系数行列式为零;,2. 方程的个数与未知数个数不相同.,为克服这两个缺陷, 推动了矩阵及秩的产生.,第一节 基本概念,(3.1),解集合,(3.1) 可用矩阵表示,(系数矩阵),(增广矩阵),同解,相容方程组,方程组与增广矩阵一一对应.,增广矩阵的一行对应一个方程.,增广矩阵的行初等变换对应方程组的初等变换.,初等变换不改变方程组的解.,消元法:,例: 求解方程组,同解方程组,为所求解.,同解方程组,令,取任意常数, 所求解为,同解方程组,原方程组无解.,上述三例说明方程组可能有惟一解, 无穷多解, 无解三种情况.,。

13、线性代数第三章习题解1. 计算下列行列式:1) ; 2) ; 3) 43212ba704解: 1) ;2632) ;)(22abab3) .0)4(7042. 计算下列三阶行列式:1) ; 2) ; 3) 24130320175bac解: 1) 将行列式按第一列展开 81034124130 2) 将行列式按第二行展开 17235273053) 3333 cbacbacbaccb 3. 计算下列行列式:1) ; 2) ;0543222111baedcba xyyxyDn0000 3) fedc0解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开 , 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行 0, 因此后三列任何三阶子式均为 0, 整个行列式的值 D=0.2) 将行列式按第一列展开得 nnnn yx。

14、第三章 线性方程组,庐躁拐靴助道苟盒浪湘驭近纹疟止硬母倦钒贴痹窥拘笋标翼淳钙嚣帮边炽线性代数第三章线性代数第三章,线性方程组在科学技术和经济管理领域都有着广泛的应用。解线性方程组是线性代数的 主要任务之一。本章讨论用消元法解线性方程组、线性方程组解得存在性和线性方程组解得结构等内容。,躇旋犹脊宛堂伺群锑当咖驳苞追扼阅锣仪算子纶不锐糖兼德啮肌淤主娄打线性代数第三章线性代数第三章,3.1 消元法解线性方程组,定义3.1.1：含有n个未知量的若干个线性方程构成一个n元线性方程组。如(3.1),湛浴拇恰俗剃族缺关涨驼以掘末挺辞。

15、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题1. 设 4 阶方阵 的秩为 2，则其伴随矩阵 的秩为 A*A2. 设 n 阶方阵 A 经有限次第三种初等变换化成 B，则 3. 若线性方程组 有解，则常数 应满足条件 414332211ax4321,a4. 设一线性方程组的增广矩阵为 041352则 时，方程组有无穷多解?5. 设 n(n2)阶方阵 的秩等于 n-1，则 a= aA 1二、 选择题1. 设 ， ， 32312131aA 1312313 23221 aaB， ，则必有101P02P BA21)( BPA12)( PC21 D122. 设 是 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩nmCnArACB为 ，则1r 1)(A1)(rB 与 的关系依 而定1rCD13. 。

16、1 第三章矩阵习题课 2 一 主要内容 1 矩阵的定义 简记为 实矩阵 元素是实数 复矩阵 元素是复数 3 一些特殊的矩阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 对角阵 数量阵 单位阵 2 矩阵的基本运算 矩阵相等 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列。

17、, 初等变换的定义,换法变换,倍法变换,消法变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换,反身性,传递性,对称性, 矩阵的等价,三种初等变换对应着三种初等矩阵, 初等矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ,（）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ,（）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数。

18、1,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课,典型例题,主要内容,2,矩阵的初等变换,相关定理,初等变换,初等矩阵,等价矩阵,行阶梯形矩阵,矩阵的标准形,行最简矩阵,秩的定义,相关定理及性质,矩 阵 的 秩,有解判别定理,方程组的解法,线 性 方 程 组,返回,下页,3,一、初等变换,1.初等变换的定义,上页,返回,下页,4,三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类型的初等变换,上页,返回,下页,5,反身性,传递性,对称性,2. 矩阵的等价,上页,返回,下页,6,3. 初等矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初。