1、第三章 课后习题及解答将 1，2 题中的向量 表示成 的线性组合：4321,1 .1,1,1, T4T3T21T T2 .,0,0,0 4321 解：设存在 使得 ，整理得4321,k 4321kk4321k432114321kk4321解得 .41,1,5321 kk所以 .43214设存在 使得 ，整理得4321,k 4321kk， ，0321k 04321， .42421k解得 所以 0,0,4321k 31判断 3，4 题中的向量组的线性相关性：3. .6,31,520,1TTT4. .,074,)4,( T32T1，解： 3.设存在 使得 ，即321,k0321k，由 ，解得 不全为
2、零，065321k651321,k故 线性相关 .321,4.设存在 使得 ，即321,k0321k可解得 不全为零，故 线性相关.014273131kk321,k321,5.论述单个向量 线性相关和线性无关的条件.）（ na,21解：设存在 使得 ，若 ，要使 ，当且仅当 ，故，单个向量线k00k0k性无关的充要条件是 ；相反，单个向量 线性相关的充要条件是）（ na,21.06.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组 线性无关，利用反证法，n,121假设存在该向量组的某一部分组 线性相关，)(,21niri则向量组 线性相关，与向量组 线性无关矛盾，n,12
3、1 n,121所以该命题成立.7.证明：若 线性无关，则 也线性无关.21, 2121,证：方法一，设存在 使得 ，21,k0)()(2121k整理得， ，0)()(2121k因为 线性无关，所以 ，可解得 ，21,21k021k故 线性无关.2121,方法二，因为 ，）（ 2121,1,21）（又因为 ，且 线性无关，所以向量组 的秩为 2，0121, 2121,故 线性无关.2121,8.设有两个向量组 和 其中s,21 ,21s,1321kaa,321ks,321kssssaa 是分别在 的 个分量后任意添加 个分量s,21 s,21 kmmjjb,21所组成的 维向量，证明：),(jm
4、k(1)若 线性无关，则 线性无关；s,21 s,21(2)若 线性相关，则 线性相关.s s证：证法 1，(1)设 ， ，因为 线性无sA,21sB,21s,21关，所以齐次线性方程 只有零解，即 且 ， 线性0X)(ArBr)(s无关.证法 2，因为 线性无关，所以齐次线性方程 只有零解，再增加方程s,21 0X的个数，得 ，该方程也只有零解，所以 线性无关.0BXs,21(2) 利用反证法可证得，即假设 线性无关，再由（ 1）得 线性s,21 s,2无关，与 线性相关矛盾.s,219. 证明： 线性无关的充分必要条件是 线性无关.1321, 321,证：方法 1，（ ）=（ ）132,
5、321,10因为 线性无关，且 ，可得 的秩为 3321,02101321,所以 线性无关.线性无关；反之也成立 .321,方法 2，充分性，设 线性无关，证明 线性无关.321, 1321,设存在 使得 ，整理得，321,k 0)()()( 133221 kk0)()()( 322131 k因为 线性无关，所以321,，可解得 ，所以 线性无关.0321k0321k 1321,必要性，（方法 1）设 线性无关，证明 线性无关，132,321,假设 线性相关，则 中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨321,321,设 线性表示，则向量组 可由 线性表示，且可 由 1321,32,，所以
6、 线性相关，与 线性无关矛321, 12盾，故 线性无关.32,方法 2，令 ，设存在 使得133221, 321,k，由 得0321kk 133221, ，代入）（）（）（ 32132123211 ,得，0321kk，即021132322321 ）（）（）（ k)()()( 3212321321kk因为 线性无关，所以321,0321k可解得 ，所以 线性无关.0321k321,10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1） 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；m,2 ）（ 2解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2 维向量空间不在一条直线的 3 个向量，
7、虽然两两线性无关，但这 3 个向量线性相关。设 ，1012，两两线性无关，而 线性相关.321,321,（2） 线性相关的充分必要条件是有 个向量线性相关；m,21 ）（ 1m解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设， 线性相关，而 俩 两两线性无关.10321， 32,321,(3) 若 线性相关， 线性相关，则有不全为零的数 ，使得21,21,21,k且 ，从而使得 ，021k021k 02211 ）（）（ 故 线性相关 .21，解：不正确，因为 线性相关和 线性相关，不一定存在同一组不全为零的数21， 21，使得 和 成立；或者说存在两组不全为零的数21,k021k021k和
8、使得 和 成立.21,t2121t(4). 若 线性无关，则 线性无关.321,1321,解：不正确，因为取 1，1，1 这组常数，使得 ，01321 ）（）（）（ 所以 线性相关.1321,(5) 若 线性无关，则 线性无关；4321, 14321, 解：不正确，因为 线性相关，14321,由 9 题， 为奇数个时，线性无关， 为偶数时，线性相关.nn(6). 若 线性相关，则 线性相关；n,321 11321 , nn解：正确，因为 线性相关，所以 中至少有一向量可由n,321 n,321剩余的 个向量线性表示，则 也可由那剩余的n 1321, n个向量线性表示，再因为 ，1所以 线性相关
9、.11321 , nn11.如果 线性相关，但其中任意 3 个向量都线性无关，证明必存在一组全不4321,为零的数 ，使得 .k 0421kk证：因为 线性相关，所以存在不全为零的常数 ，使得4321,4321,k，假设 ，则 ，04321kk1k0432得 线性相关与题设矛盾 .故 ；同样方法可证得 都不为零.432， 01432,k所以该命题成立.12.若 线性无关，证明： 线性无关的充分必要条件是 不能r,21 r,21 由 线性表示.r证：必要性，假设 能由 ，则 线性相关与r,21 r,21线性无关矛盾，故 不能由 线性表示.r,21 r,21充分性，设存在 使得 ，rkk,210
10、03210 rkk若 ，则 能由 线性表出，矛盾，所以 ，0kr,321 0因此， ，又因为 线性无关，0321 rk r,21所以 ，故， 线性无关.021rkk r,2113.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1） ;)3,107(),26,941(),32,01(),2914,6( 4321 （2） ;),2(,)5(),7,(),(),( 4321（3） .)3,21(),01(),01(),( 4321 解：（1） =TT4321, 32169017 0150所以，向量组的秩为 3， 为一个极大线性无关组， .421,2135（2）类似（
11、1），可求得向量组的秩为 3，为一个极大线性无关组，且 ， .421,2132145（3）类似（1），可求得向量组的秩为 3， 为一个极大线性无关组，321,.3124514.设向量组： ).6,512(),01,(,)6512(),470,3(),2130(),421,( 545 （1）证明 线性无关；，（2）求向量组包含 的极大线性无关组.21，（1）证：设存在 ,使得 ，求得 ，所以 线性无关；21k021Tk021k21，（2）解， , 001360142573,T54321 T所以， 为包含 的一个极大线性无关组.421,21，15.设 皆为 阶矩阵， ，证明：BA,nnBrA)(,
12、)(（1）秩 ;)(0r（2）秩 ， 为任意 阶矩阵.)(BrACCn证：（1）设 ，则存在 阶可逆矩阵 , ,21)(,)(rrQP使得 从而,01rEPAQ,02 rEBP,00021 rrEBP则 秩 秩A0 ).(21 BrArQBAP（2）因为秩 ,所以秩 .)(rC)(0rC16.证明 .)(,min)(BrABr证：设 分别为 矩阵，将 按列分块，则有A,s,的列向量组 可由 的列向量组nB21nsnsbb 212112 s,1 A线性表示，故 的列秩 的列秩= ，同样，将 按行分块，n,21 ABr)()(rB得 ，因此，该命题成立 .)(BrA1. 设 分别为 矩阵，且 ，,
13、mn,n证明：齐次线性方程组 有非零解.0)(XAB证：由 ，所以 ，故齐次线性方程组nrABr)(,in)( 0AB有非零解.0X18.设 是一个 矩阵， 是由 的前 行构成的 矩阵.证明：若 的行向量组AnsBAmnA的秩为 ，则 .rsr)(证：设 ， .,2,1),(21sianii smA11mB1设 ，于是， 的行向量组的极大线性无关组 含 个向量。因此，pBr)(Bpii,21的行向量组的一个极大线性无关组是向量组 的一个子集，A smiip,121 所以它所含向量个数 ，即 ，)(ms)()(srA从而， .rpBr)(求下列（1922 题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的
14、非零子式：19. . 1204351解： 0023154234120531所以，矩阵的秩为 3。为一个最高阶的非零子式。0401520. .103062421解： 103062421 00413214所以，矩阵的秩为 3。为一个最高阶的非零子式。01230121. . 1654312解： 165431223 2130974所以，矩阵的秩为 3。为一个最高阶的非零子式。014542322. 120解： 10120所以，矩阵的秩为 4。为一个最高阶的非零子式。0120123.设 是一个 矩阵，证明：存在非零的 矩阵 ，使得 的充要条件是AnmsnB0A.r)(证：设齐次线性方程组 ， ，则由 ，0
15、AX021sB 0AB可得 ，由于， ，至少有一个 ，sjAj ,21,021s j再由 有非零解的充要条件是 ，故， ，XnAr)( sjj ,21,0至少有一个 的充要条件是 .0j)(24.设 是同形矩阵，证明： 与 相抵的充要条件是 .BA, AB)(BrA证：设 是 nm矩阵， ，则存在可逆矩阵 ，, pr)(,)( 21,QP使得 ， ，01rEAQP02pEBQP充分性，因为 ，所以， = ，)(r1rA02pEBQP,令 ,故，BQAP1212)( QP1212,)( BPA因此， 与 相抵.必要性，因为 与 相抵，所以，存在可逆矩阵 ,使得 ，因此， .)(BrA25.设 是
16、 nm矩阵 ， ，证明：存在 矩阵 使得 .）（ mAr)(nBmIA证：因为 ，所以，存在可逆矩阵 ,使得 ，所以有Ar)( QP0mIA,01mIPQ, (1)(11IA（1）右端乘 阶矩阵 ,得 ，令 ,mn0PTmIAQTB故， .mIAB26.证明：若 阶方阵 的秩为 ，则必有秩为 的 阶方阵 ，使得 .nrrnB0A证：因为 阶方阵 的秩为 ，所以 的秩为 ，则 的基础解系含有 个线ATA0XAT rn性无关的解向量，取这 个线性无关的解向量 为 的列向量，则rnrn,1 T.因此，该命题得证.)()(BrnrT27.证明：任何秩为 的矩阵可以表示为 个秩为 1 矩阵之和，而不能表
17、示为少于 个秩为r r1 的矩阵之和.证：设 为秩为 的矩阵，则存在可逆矩阵 使得 ，ArQP, 0rEA所以， ，其中111111 )(0 QBPQBPQEPA rrr 为秩为 1 的矩阵rB,1因此，任何秩为 的矩阵可以表示为 个秩为 1 矩阵之和.r后部的证明，（反证法）假设 为秩为 的矩阵，能表示为少于 个秩为 1 的矩阵之和，Ar不妨设 能表示为 个秩为 1 的矩阵之和，其中， ，设 其中App),(pBA是秩为 1 的矩阵. ，与 矛盾.pB,1 rBrr)()(1 r28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1） 07938254321431xx解： 79311825
18、02713取 为自由未知量，令 和 ，得原方程组的一个基础解系为43,x,143x1,43x，TTXX),02(;)0,127(21 因此，一般解为 = ，其中 为任意常数.21k102731k21,k(2). 0316255478331321xx解： 31625154783 0012185739取 为自由未知量，令 ， 和543,x,1543xx,1543x，得原方程组的一个基础解系为10,),879(1TX,)01,8253(2TX,)10,2(3TX因此，一般解为 ，其中， 100121382538719321 kkk为任意常数.321,k29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）
19、274945362321xx解： 26714953 0180591取 为自由未知量，令 ，得方程组的一个特解： ，32,x32x TX)10,8(0再令 和 ，得其导出组的一个基础解系：0,1321,32.TTXX)5,104(,)10,9(21 所以，方程组的一般解为 ，其中 为任意常数.210Xk21,k（2） 12345362375415431xx解： 12374561023 0231605取 为自由未知量，令 ，得方程组的一个特解：,543x543x；TX)0216(0再取 ， 和 得其导出组的一,543xx 0,10543x1,0,543x个基础解系： TTTXX)6(,)2(,)1
20、2(1 所以，方程组的一般解为 ，其中 为任意常数.3210kk321,k30.讨论 取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.qp,(1) 3)()1(3232xpxp解： 32)1(3pp 915360)1(3222 ppp所以， 或 时，该方程组无解，0且 时，0p1 915360)1(3222 ppp )1(95324)1(92301pp有唯一解是， ，)1(95321pX)1(9232pX)1(92343pX（2） qxx5432154321536解： qp314562103 2310061qp所以，当 或 时，方程组无解；p当 且 时，方程组有无穷多解，02q031061
21、03206251取 为自由变量，令 ，得方程组的一个特解：543,x543x；TX)0,2(0再取 ， 和 得其导出组的一,1543xx 0,10543x1,0,543x个基础解系： TTTXXX )1,06,5(,)01,2(,)01,2( 31 所以，方程组的一般解为 ，其中 为任意1001332kk 321,k常数.（3） 3)2(7143214321 qxxp解： 312107qp 210321qp所以，当 且 时，方程组有唯一解。当 时，方程组无解；1q当 时，2p2103q q421031所以，当 且 时，方程组有无穷多解， ，其中 为任2p4TTk,1,71k意常数。当 且 时，
22、方程组无解。q31.设 是 nm矩阵，证明：若任一个 维向量都是 的解，则 .An0AX0A证：因为任一个 维向量都是 的解，则 维向量 （第 个0AXTi ),1,(i分量为 1 其余分量均为 0 的列向量）满足 ，即 ,0),(),(11 nnAA I其中 是 阶单位方阵，因此， .In32. 设 是一个 矩阵， 是 矩阵. 是 维列向量.证明：若 与AsmBnsX)(XB是同解方程组，则 .0BX)(rA证： 因为若 与 是同解方程组，所以， 的基础解系所含解0)(XB0)(XAB向量的个数与 的基础解系所含解向量的个数相等.即 ，因此， .)()(rnABr)(rA33. 设 是 m矩
23、阵, 是 矩阵，证明：若 ，则 .sn0BnBrA)(证：设 ，其中 是一组列向量，由 得，),(1sBs,1 .若 ，则 的基础解系含有 个线性无关的解向量，jAj,0rA)(0Xrn而 为 的解向量，则 可由 的基础解系线性表示，s1 0Xs,1 A所以， .)()(rnBr故， .A)(34.设 是 阶矩阵 的伴随矩阵，证明：n（1） 1)(,01,)(nArr（2） .1n证：（1）由于 ，当 时， ，所以 ，得 ；IAnr)(0A0nAr)(当 时，即至少有一个 阶子式不等于零，所以 ，且 ，)(nAr 1因为 ，所以 .0)(r因为 ，所以 ，即 的每一列均是齐次线性方程组 的解，
24、所以A0A0Ax。1)()()(nrnr因此， ；1)(当 时， 的任一 阶子式都等于零，所以 ，故 。)(nAr1n0A0)(r（2）当 时，由 ，得 。0IA1n当 时，即 ，由（1）知， ，从而 ，所以 也A)(nr)(r0A1nA成立，故，对任意 阶方阵 ，都有： 。A1nA35. 设 是 阶可逆矩阵 ，证明： .n)2(nAn2证：因为 是 阶可逆矩阵，所以 是 阶可逆矩阵，且 。AA1n因为 ，所以 。I1)(又因为 ，所以 。IAA1)(因此， 。nn21)( 36. 设 是 阶矩阵，证明：非齐次线性方程组 对任何 都有解的An bAX充要条件是 .0证：充分性，因为 ，所以 。
25、A),()(bArnr因此，对于任意 ， ， 有解.b),()(rX必要性，(反证法) 假设 , 则 。设 ，则 线性相0Anr)(nA21n,21关，从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设 可由 线性121,n表出，取 ，则 ，即 ，所以方程组Tb)1,0,(10),(1 nbA),()bAr无解，矛盾。37.设 ,121ax,232x,343ax,454x,515ax证明：这个方程组有解的充要条件是 ，在有解的情形下，求出它的一般解。510i证：因为 ,121ax,232x,343ax,454x,515ax即 5432110100ax有 54321101001aa 543212
26、1001aa令 ，增广矩阵 ，101A 12345010, aabA）（方程组有解的充要条件为 即 。),()bAr510ia当 时，510ia001104321a00143241a取 为自由变量，令 ，得方程组的一个特解：5x5x；TaaaX)0,( 434243210 再取 得其导出组的一个基础解系：15x TX)1,(1所以，方程组的一般解为 ，其中 为任意常数。10432410 kak k38. 已知 是方程组 的两个不同解, 是对应齐次线性方程组 的21， bAX21,0AX基础解系, 则 一般解是:(A) ; (B) ;2)(1121k 2)(121k(C) ; (D) .)(12
27、121 )(12121解:可证得 是线性无关的且是 的解,因此是 的一个基础解系, ， 1210AX0AX是 的一个解 , 因此, 选(B).21bAX39.已知 , 为非零矩阵, , 则:96342tQP0Q(A) 当 时 , ; (B) 当 时, ; t1)(r6t2)(Pr(C) 当 时, ; (D) 当 时, ;6t)(Pt)(解: 因为 , 且 , 所以 , 又因为 为非零矩阵, 所0Q963421t 3)(QrPP以 , 当 时, , 因此, , 即 , 故选(C).1)(Prt)(r1)()(40.设 , , ,则三条直线Ta),(321Tb),(3212Tc),(321交于一点
28、的充要条件是:)3,21(),0(,2ibacybxaiiiii(A) 线性相关, (B) 线性无关;321,321,(C) ; (D) 线性相关 , 线性无关.,321r,21r321,21解:因为 有唯一解的充要条件是 ，332211cybxa 332211321cbarr，即 线性相关。233211cbar 321,，即 线性无关。所以，选(D)。2321bar21,41.设 是 矩阵, , 是 阶矩阵,下列哪个成立?Anm)()nmArB(A) 中任一 阶子式 ; (B) 中任意 列线性无关；0(C) ; (D) 若 ，则 ；T0(E) 若 ，则 .nBr)(mAr)(解：选 （E）.
29、 , 所以 可逆， .)(BmAr)(42. 设 线性无关, 下列哪个成立?)2,1,(,21 iRnim (A) 对任意常数 ，有 ；kk,321 021mk(B) 任意 个向量 线性相关；)(kii,1(C) 对任意 线性相关；,nR,1m(D) 任意 个向量 线性无关.)(kkii,1解：选（D），因为整体线性无关，部分必线性无关。43.设 线性无关， 线性相关，下列哪个成立?,(A) 必可由 线性表示； （B） 必可由 线性表示；, ,(C) 必可由 线性表示； (D) 必不可由 线性表示., ,解：选（C）。因为 线性无关，所以 线性无关。因为 线性无关，, , ,线性相关，所以 必
30、可由 线性表示，从而 必可由 线性表示。,44. 设 是 矩阵， ， 是非齐次线性方程组 的三个线性无关A341)(Ar32,bAX解，下列哪个是 的基础解系？0X(A) (B) 321321(C) (D) 2312,321,解：因为 ，所以 的基础解系含有 2 个线性无关的解，因此 (A), (B)不正)(Ar0X确。(D)的两个解不是 的解，故选(C).45. 设向量组 线性相关， 线性无关。回答下列问题，并证明之。321,432,（1） 能否由 线性表示？32,（2） 能否由 线性表示？4321,解：（1）因为 线性无关，所以 也线性无关，432,32,又因为 线性相关，所以 可由 线性
31、表示。321, 132,（2）（反证法）假设 能由 线性表示，再由（1）， 能由 线性表示，4321, 132,所以 能由 线性表示，即 线性相关，与 线性无关矛盾。所以，432, 4432,不能由 线性表示。146.设 为 阶矩阵，若存在正整数 使得 ，但 （其中 为An)2(k0kA01k维非零列向量），证明： 线性无关。1,A证明：（定义法证）若 ，0121 ktt上式两边左乘 得，kA221 kkk Attt因为 ，所以0k 021kk因此， ，又因为 ，得 。1kAt 1kA1t利用同样方法，可求得 ，032ktt因此， 线性无关。1,kA47.设 分别为 矩阵（ 且 （ 阶单位矩阵
32、），B,nm,),IABn证明： 的列向量组线性无关。证：因为 ，且 所以 ，IA,nnrnr)(,mi)(因此， ，而 是 矩阵，nBr)(nm故， 的列向量组线性无关。48.已知秩 =秩 ，其中321,321,)103(,)2,1(2TT； ，且 可由T)7,69(3 TTTba),(,)(,),0(321 3线性表示，求 的值。321,ba,解： =321,07-169 b5-034211因为 可由 线性表示，所以有 ，因此， 。3321, 5b02193713609),(21 所以秩 =2。321, aa31321 50015),( 因为秩 =秩 =2，所以 ，所以， 。321,321
33、,15a49. 设 为 阶矩阵（ ）， ，且 ，求 。1 aAn3Ra1)(nAra解：因为 所以)3(2)(nr 1a 1)(001101anaA 因为 ，所以 ，因此， 。)(nr1)(a50. 设 阶矩阵 的每行元素之和均为零，又 ，求齐次线性方程组 的A1)(nAr 0Ax通解。解：因为 ，所以齐次线性方程组 的基础解系中含一个解向量。1)(nr 0x设 ，因为 的每行元素之和均为零，所以nA21A 021n即 ，因此 是齐次线性方程组 的一个基础解系。从而， 的通解0110x0Ax为： ，其中 为任意常数。1kk51. 已知下列线性方程组 I, II 为同解线性方程组，求参数 之值。
34、tnm,;33,1462:I214x.12,5:I431txnm解：因为 5421031601342所以， 是方程组 I 的一个解，因为方程组 I 与 II 同解，所以它也是方程组T),52(II 的一个解，将它带入方程组 II，可得： 。6,42tnm52.设 ，求解方程 TTTT BA ,)80(,)21,(,)1(。xBAx42解：即求解非齐次线性方程组： xB)2(4因为 01021816480),2(4 AB所以 的一个特解为： 。x)(42 T),2(为其导出组的一个基础解系。)1,(因此， 的一般解为： ，其中， 为任意常数。xBA)2(4 TTk)1,2()0,1(k53. 设 阶矩阵 的行列式 ， 的前 列构成的 矩n),(21n An)1(n阵记为 ，问方程组 有解否？为什么？,(21nA nx1解：无解，因为 。rrn),()(1154. 设 均为非零的 维列向量， ，证明： 中任意两行（或两列）成比例。, TAA
