1、第三章 线性方程组-习题课,定义,1.线性组合,2.线性表出,定义,3.线性相关,4.线性无关,线性相关性的性质,部分相关-整体相关,（整体无关-部分无关）,短向量线性无关，则加长向量线性无关； 长向量线性相关，则缩短向量线性相关,推论2 任意 n1 个 n 维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量,定义,5.向量组的秩,推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,命题2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.,极大无关组的性质,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,注：,向量组的秩 的性质,1）一个
2、向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；,6.矩阵的秩,1.设 ，则,推论1,齐次线性方程组,有非零解 系数矩阵 的行列式 =0,只有零解,7 线性方程组,7.1齐次线性方程组,解的性质；基础解系 1.基础解系的条件 2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组 任意n-r个线性无关的解向量 3.基础解系的求法,7.2非齐次线性方程组,解的性质 解的结构,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、基础解系的证法,四、解向量的证法,典 型 例 题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关
3、系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成极大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系,证明,证明：只需证明向量部分组线性无关即可， 两向量组等价，具有相同的秩 因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关 即证,证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组(II)线性表出，而且 (II)的极大无关组与(II)等价，即，向量组(I)的极大无关组可由 (II)的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由 定理2的推论1，知，R(I)=R(II),证明
4、2： 两向量组等价，具有相同的秩n 因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关 即证,证明： R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n, 向量组II,可由向量组(I)线性表出， 所以R(II)=n=R(I)=r 所以r=n 因此(I)线性无关 即证,证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论:任一n维向量可 被向量组(I)线性表出。 向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有n+1个n维 向量构成，线性相关（定理2推论2）,证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组(I)线性表， 结论:出向量组I线性无关。 任一n维向量可被向量组I线性表出，则n维单位向量也可被 其线性表出，由(t13)
5、可知，向量组I线性无关,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求， 这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的,如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量 作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅 可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关 组,二、求向量组的秩，极大线性无关组,若矩阵 A 经过初等行变换化为矩阵 B，则A和B中 任何对应的列向量组都有相同的线性相关性,解,例5 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系,三、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组 的
6、基础解 系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,四、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组 ，有时也把 如题中所给的 个解称为 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示,第四章 测试题,一、填空题,二、计算题,三、证明题,四、向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关,测试题答案,
