1、 1 福建省莆田第九中学 2018 届高三下学期第一次月考试题 数学（文） 一、选择题 1.设全集 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , A 3UUU C A B C B ， 4，则集合 B( ) A 1,2,4,5B 2,4,5C12,D2 i 是虚数单位，若 21 i a bii （ a ， Rb ），则 2log ab 的值是（ ） A 1 B 1 C 0 D 12 3.下列命题是真命题是 如果命题 “p 且 q是假命题 ” ， “ 非 p” 为真命题，则命题 q一定是假命题 ； 已知命题 )0,(: xP ， xx 32 ；命题 )2,0(: xq， xx sintan 则
2、qp)( 为真 命题 ； 命题 p : 若 0ab ，则 a与 b 的夹角为钝角 是真命题； 若 p： |x 1| 2， q： x 2，则 p是 q成立的充分不必要条件 ； 命题 “ 存在 0x R， 02x 0” 的否定是 “ 不存在 0x R, 02x 0 ”； A B C D 4直线 y=a(a 为常数 )与正切曲 线 y=tanx( 是常数且 0)相交，则相邻两交点间的距离是( ) A. B. 2C.D.与 a 的值有关 5若 m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线2213xym的离心率是 ( ) A1B33C12或21D33或2136图 1 是某市 2015 年高考学生身高条形图统计图
3、，从左到右的各小长方形高度表示学生人数，依次记为 1,A 2 10,AA（如 2A 表示身高（单位： cm）在 150,155) 内的人数），图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内的学生人数的一个算法流程图现要统计身高在 160 180cm（含 160cm,不含 180cm）的学生人数，那么流程图中的判断框内应填写的条件是： 2 145 19519018518017517016516015515060055050045040035030025020015010050否是图 2开始结束A 6i B 7i C 8i D 9i 7.设实数,xy满足0205202yyxyx，则4xyz yx的取值范
4、围是 ( ) A. 174, 2B1317 , 32C374 3D.37 , 238.设平面 平面 ,A ,B ,C 是 AB的中点 ,当 A,B分别在 , 内运动时 ,那么所有的动点C( ) A.不共面 B.当且仅当 A,B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当 A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论 A,B如何移动都共面 9 中心在原点，焦点在 x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1， F2，且 |F1F2| 2 13， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 3 7，则双曲线方程为（ ） A. 149 22 yx B. 194 22 yx C. 149 2
5、2 xy D. 194 22 xy 10若定义在 2017,2017 上的函数 )(xf 满足：对任意 2017,20171 x , 2017,20172 x都 有 2 0 1 6)()()( 2121 xfxfxxf ，且 0x 时有 2016)( xf ， )(xf 的最大值、最小值分别为 M、 N，则 M+N=（） A. 2016 B. 2017 C. 4034 D. 4032 3 11 N 为圆 221xy上的一个动点，平面内动点 M ),( 00 yx 满足 10y 且 030OMN (O 为坐标原点 )，则动点 M运动的区域面积为（ ） A. 3238 B. 334 C. 332
6、D. 334 12已知函数 2xmefx与函数 221g x x x 的图象有两个不 同的 交点，则实数 m取值范围为 ( ) A0,1)B218( ,2) eC218 ,2) eD2180,2 ) e e二、填空题 13.设等比数列na中，S是前 项和，若2580aa，则36SS； 14已知曲线 y 13x3 43.则该曲线过点 P(2,4)的切线方程是 _. 15 已 知 函 数 xxaaxxf ln)2()( 2 . 若 对 任 意 2121 ),0(, xxxx ，且2211 2)(2)( xxfxxf 恒成立，则 a 的取值范围为 _. 16.已知 抛物线 2: 12yx的焦点为 F
7、，斜率为k的直线l与抛物线 交于 A、 B 两点，若线段 AB的垂直平分线的横截距为( 0),a n AF BF ，则2an. 三、简答题 17.（本小题满分 12分）在ABC中，角A B C、 、的对边长分别为a b c、 、，已知3 sin cos 1BB，且1b （ 1）若512A ，求 c的值； （ 2）设AC边上的高为h，求 的最大值 18 （本小题满分 12 分） 在某大学自主招生考试中，所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分别为 , , , ,A B C D E 五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与
8、逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10人 4 （ 1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数； （ 2）若等级 , , , ,A B C D E 分别对应 5分， 4分， 3分， 2分， 1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （ 3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A ，以在至少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取两人 进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率 19（本小题满分 12 分）如图，已知三棱锥 S ABC 的三条侧棱长均为 10，若 A S BC S AB S C , 且 2s in2s in2s in 222 . 求证：平面 SAB平
9、面 ABC； 若 32,2,3 ，求三棱锥 S ABC的体积 . 20（本小题满 分 12 分）已知曲线1: 22221 byaxC（0,0 ba）和曲线135: 222 yxC有相同的焦点，曲线 1C的离心率是曲 线 2C的离心 率的5倍 （）求曲线 的方程； （）设点 A是曲线 1的右支上一点， F为右焦点，连 AF交曲线 1C的右支于点 B，作 BC 垂直于定直线22: xl，垂足为 C，求证：直线 AC 恒过x轴上一定点 5 21（本小题满分 12分 ） 已知函数 xaxxxf ln)( 2 , .aR (1)令 2)()( xxfxg ,是否存在实数 a ,当 x ,0( e (e
10、是自然常数 )时 ,函数 )(xg 的最小值是 3,若存在 ,求出 a 的值 ;若不存在 ,说明理由； (2)当 x ,0( e 时 ,证明 : 22 5 ( 1) ln2e x x x x . 请考 生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10分）选修 4-4：参数方 程与极坐标系 在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 cos2 9 ， 点 (2 3, )6P 以极点 O 为原点 ， 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 （ 1）求直线 OP 的参数方程 的标准式 和曲线 C 的直角坐
11、标方程 ； （ 2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点 ， 求 11| | | |PA PB的值 23 （本题满分 10分） :选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 1f x x. （ I）解不等式 22f x x ； （ II）设 0a ，若关于 x 的不等式 5f x ax 解集非空，求 a 的取值范围 . 6 数学答案 1.D 2 C 3.B 4. C 5.C. 6 C 7.C 8.D 9 A 10 D 11 A 12 D 13.9 14 4x y 4 0或 x y 2 0 15 80 a . 16. 6 17解： (1)由已知，2sin( ) 16B ,1sin( )6
12、2B 2分 因为5 ,12 A B 70,12B 从而56 6 12B 所以,=6 6 3BB 即 3分 因为14A B b ，,由正弦定理，得 s ins in 2 64s in 33s in3bCcB 6分 （ 2） 因为11 s in , , 12 2 3ABCS bh ac B B b ，则 sin 32ac Bh acb 9分 由余弦定理，得2 2 2 2 22 c os 2b a c ac B a c ac ac ac ac ， 则1ac，所以32h当且仅当 时取等号，所以h的最大值为2 12 分 18 解：（ 1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10分， 所以该
13、考场有 10 0.25 40人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目 中成绩等级为 A 的 人数 4 0 (1 0 .3 7 5 0 .3 7 5 0 .1 5 0 .0 2 5 ) 4 0 0 .0 7 5 3 （ 2）该考场 考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1 ( 4 0 0 . 2 ) 2 ( 4 0 0 . 1 ) 3 ( 4 0 0 . 3 7 5 ) 4 ( 4 0 0 . 2 5 ) 5 ( 4 0 0 . 0 7 5 ) 2 . 940 （ 3）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 A ，又恰有两个的两科成绩等级均为 A ，所以还有 2人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲，
14、乙，丙，丁 ，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学， 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为 , , , , , , , , , , , 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁，一共有 6 个基本事件 7 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 ”为事件 ，所以事件 中包含的基本事件有 1个，则 1()6PB 19解： 在 .2s in400)c os1(200c os200200, 22 ABABS 中 同理 .2s in40 0,2s in40 0 222 BCAC 因为 2sin2sin2sin 222 ，所以 AC2+BC2+AB
15、2，即 ABC 是直角三角形（ ACB=90 ） .又 SA=SB=SC=10，则 S 在底面的射影 O 为 ABC 的外心，由 ABC 是直角三角形知 O为 斜边 AB 的中点 . SO平面 ABC， SO 平面 SAB. 平面 SAB平面 ABC. 可求得 .2502s in2s in20 021 BCACS AB C ,502c os10 022 AOSASO3 2250v 20解：（）由题知： a2+b2=2，曲线 C2的离心率为 曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的 倍， = 即 a2=b2， a=b=1， 曲线 C1的方程为 x2 y2=1； 4分 （）证明：由直线 AB的斜率
16、不能为零知可设直线 AB的方程 为： x=ny+ 5分 与双曲线方程 x2 y2=1 联立，可得（ n2 1） y2+2 ny+1=0 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 y1+y2= ， y1y2= ， 7分 由题可设点 C（ ， y2）， 8分 由点斜式得直线 AC的方程：)22(221122 xxyyyy 9分 令 y=0，可得 x= = = 11 分 直线 AC过定点（ ， 0） 12分 21、 (1)假设存在实数 a ,使 xaxxg ln)( ( ,0( ex )有最小值 3, xaxg 1)( xax1 当 0a 时 , )(xg 在 ,0( e 上单调递减 ,
17、 31)()( m in aeegxg , ea 4 (舍去 ), 当 ea10 时 , )(xg 在 )1,0( a 上单调递减 ,在 ,1( ea 上单调递增 8 22 解：（ 1）化为直角坐标可得 (3, 3)P ， =6 ， 直线 OP 的参数方程为 ：33,213.2xtyt 2 2 2 2co s sin 9 ， 曲线 C 的直角坐标方程 ： 229xy， 得 ： 2 4 3 6 0tt ， 12 43tt ， 12 60tt ， 121 2 1 2|1 1 1 1 2| | | | | | | | | |ttP A P B t t t t 23 解：（ I） 22f x x ，即
18、 2 1 2 2xx ，所以 221 2 2 ,1 2 2 ,xx 由 2 1 2 2xx ，解得 13x ，而 2 1 2 2xx 的解集为 R . 所以原不等式的解集为 13xx . （ II） 5f x ax 解集非空，即 2 15x ax 有解 . 注意到：当 0x 时， 5f x ax 左边大于 0 ，右边小 于等于 0 ，式子不成立，即不等式有解只能在区间 0, 上 . 9 当 1x 时， 2 15 4xaxxx ， 由 4424xxxx （ 2x 时，等号成立），即 4x x 的最小值为 4 . 所以 4a ； 当 01x时，不等式化为 2 15 6xaxxx . 因为 6 xx 的最小值为 5 ，所以 5a . 综上所述， a 的取值范围是 4, .
