1、南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 1 页 共 12 页专题 11：等差数列、等比数列一、前测训练1(1)已知数列a n满足 a14，a n4 (nN*且 n2) ，令 bn ，求证：数列b n是等4an 1 1an 2差数列(2)数列a n前 n 项和为 Sn，若 anS nn，令 bna n1，求证：数列b n是等比数列.2已知数列a n满足 an2a n1 2 n1(n N*且 n2) ，a 12，令 bn (ant) (nN*)，否存在一12n个实数 t，使得数列b n为等差数列？若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由3(1)设等差数列a n的前 n 项和为
2、 Sn，且 S3 与 S4 的等差中项为 1，而 S3 与 S4 的等比中项是13 14 13 14S5，15则 an (2)若 a,b 是函数 f(x)x pxq(p0,q0) 的两个不同的零点，且 a,b,2 这三个数可适当排序2 后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于 南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 2 页 共 12 页4 (1)设在等比数列a n中，a 1a n66，a 2an1 128，S n126，求 ； q(2)若两个等差数列a n和b n的前 n 项之和分别是 Sn、T n，已知 ，则 SnTn 7nn 3 a5b5(3)已知一个
3、等比数列的前 10 项和为 10，前 20 项和为 30，则前 50 项的和为 5 (1)已知a n是等差数列，若 a120，公差 d2，求数列前 n 项和 Sn 的最大值(2)已知a n是等差数列，S n 是其前 n 项的和，且 S5S 6，S 6S 7S 8，则下列结论正确的是 d0 ；a 70；S 9S 5；S 6 和 S7 均为 Sn 的最大值.二、方法联想1等差、等比数列的证明方法 证明数列是等差数列：方法 证明数列是等比数列：2等差、等比数列的判断判断数列是等差数列判断数列不是等差数列判断数列是等比数列判断数列不是等比数列3基本量运算南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差
4、等比数列第 3 页 共 12 页4性质的应用5等差数列 Sn的最值问题南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 4 页 共 12 页三、例题分析例 1：已知数列a n的各项都为正数，且对任意 nN*，都有 a a nan2 k (k 为常数).2 n 1(1)若 k(a 2a 1)2，求证:a 1，a 2，a 3 成等差数列；(2)若 k0，且 a2，a 4，a 5 成等差数列，求 的值；a2a1(3)已知 a1a，a 2b (a，b 为常数) ，是否存在常数 ，使得 ana n2 a n1 对任意 nN* 都成立? 若存在.求出 ；若不存在，说明理由 .例 2：已知公差大于
5、零的等差数列a n的前 n 项和 Sn，且满足： a2a465，a 1a 518(1)求数列a n的通项公式 an；(2)若 1i21，a 1，a i，a 21 是某等比数列的连续三项，求 i 值；(3)是否存在常数 k，使得数列 为等差数列，若存在，求出常数 k；若不存在，请 Sn kn说明理由南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 5 页 共 12 页例 3：已知 Sn是数列a n的前 n 项和，且 anS n1 1(n2)，a 12(1)求数列a n的通项公式；(2)对于给定的 k (k1，2，n)设 T(k)表示首项为 ak，公差为 2ak1 的等差数列，求数列 T
6、(2)的前 10 项之和；(3)设 bi 为数列 T(i)的第 i 项，M nb 1b 2b 3b n，求 Mn例 4：已知无穷数列a n中，a 1，a 2，a m 是首项为 10，公差为2 的等差数列；am1 ，a m2 ，a 2m 是首项为 ，公比为 的等比数列（其中 m3，mN *） ，并对任意的12 12nN*，均有 an2m a n 成立 (1)当 m12 时，求 a2010；(2)若 a52 ，试求 m 的值；1128(3)判断是否存在 m（m3，mN *） ，使得 S128m3 2014 成立？若存在，试求出 m 的值；若不存在，请说明理由南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 1
7、1：等差等比数列第 6 页 共 12 页四、反馈练习 A1设等比数列a n的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn1 ， Sn，S n2 成等差数列，则 q 的值为 2已知等比数列a n满足 an0，n1，2，且 a5a2n5 2 2n (n3) ，则当 n1 时，log2a1log 2a3log 2a2n1 3已知数列a n的首项 a1 ，且满足 5 (nN*)，则 a6 13 1an 1 1an4已知各项为正数的等差数列a n的前 20 项和为 100，那么 a7a14 的最大值为 5函数 yx 2 (x0)的图象在点( ak，a )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak1 ，其中
8、kN *若2 ka116，则 a1a 3a 5 6已知数列c n，其中 cn2 n3 n，且数列 cn1 pc n为等比数列，则常数 p 7已知数列a n的前 n 项和 Sn n2kn(其中 kN )，且 Sn 的最大值为 8.则 an=_.128已知数列a n的为等差数列，若 1，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn0 的 n 的最a11a10大值为 9在正项等比数列a n中，a 5 ，a 6a 73，则满足 a1a 2a na 1a2an 的最大正整数 n 12的值 .10数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 nan1 S nn(n1)，nN*，且 a12，记 Tn ，如果存在
9、Sn2n南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 7 页 共 12 页正整数 M，使得对一切正整数 n，T nM 都成立，则 M 的最小值是 11已知等差数列a n的首项 a11，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列a n与b n的通项公式；(2)设数列c n对 nN *均有 a n1 成立，求 c1c 2c 3c 2 015c1b1 c2b2 cnbn12已知数列a n满足，a n+1+ an4n3( nN *) (1)若数列a n是等差数列，求 a1 的值；(2)当 a12 时，求数列 an
10、的前 n 项和 Sn；(3)若对任意 nN *,都有 a + a 20n15 成立，求 a1 的取值范围2 n 2 n+113已知数列a n的首项 a12a1（a 是常数，且 a1） ，a n2a n1 n 24n2（n2） ，数列bn的首项 b1a，b na nn 2（n2） (1)证明：b n从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；(2)设 Sn 为数列b n的前 n 项和，且 Sn是等比数列，求实数 a 的值；(3)当 a0 时，求数列a n的最小项南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 8 页 共 12 页五、反馈练习 B1在等差数列 na中， 836a，则 9S
11、 2设公比为 的等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 )0(qnns23,42asq3已知 an为等比数列， 106574,8,2aaa则4等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a58，S 36，则 S10S 7 的值是 5已知两个等差数列 na和 b的前 项和分别为 A n和 B，且 453n，则使得 nab为整数的正整数 的个数是 6在等比数列 an 中， ，则 5341,8a77(1)已知数列 的前 n 项和 S n +n，则数列 的前 5 项的和为 .2 21nanb(2)设等比数列 an各项均为正数，且 ，则 87465a 1032313loglogl aa 8等比数列 na
12、的前 项和为 nS，已知 1， 2S， 3成等差数列，则 na的公比为 9在等差数列 中， ，公差为 ，前 项和为 ，当且仅当 时 取最大值，则n17dnn8nS的取值范围_d南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 9 页 共 12 页10 设 ， ， 是各项不为零的 （ ）项等差数列，且公差 若将此数列删1a2nan40d去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对 所组成的集合为an1,_11在数列 an中， . (1)设 ，证明：数列 是等差数列；nna2,1 12nabnb(2)求数列 an的前 n 项和 .s12设等差数列 的前 项和为 且 nanS
13、， 513349aS，（1）求数列 的通项公式及前 项和公式；（2）设数列 的通项公式为 ，问: 是否存在正整数 t，使得nbnbt 12mb， ，成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由.(3)mN，13已知等差数列a n中，公差 d0，其前 n 项和为 Sn，且满足 a2a345，S 428(1)求数列a n的通项公式；(2)设由 bn (c0)构成的新数列b n，求证：当且仅当 c 时，数列b n是等差数列；Snn c 12(3)对于(2)中的等差数列b n，设 cn （nN *） ，数列c n的前 n 项和为 Tn，现有数8(an 7)bn列 f(n)， f(n
14、) T n（nN *） ，求证：存在整数 M，使 f(n)M 对一切 nN *都成立，并2bnan 2求出 M 的最小值 南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 10 页 共 12 页南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 11 页 共 12 页六、反馈练习 C1等比数列 x,3x3,6x 6， 的第四项等于_2等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a4a k0，则 k_.3已知a n为等比数列，a 4a 72，a 5a68，则 a1 a10_.4设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a n0.若 S6-2S35，则 S9-S6 的最小值为
15、_.5各项均为正数的等比数列a n中，若 a5a69，则 log3a1log 3a2log 3a10_.6设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3S 6S 9，则数列的公比 q 是_ 7已知等比数列a n中 a21，其前三项的和 S3 的取值范围是 _ 8在等差数列a n中，a 12 014，其前 n 项和为 Sn，若 2，则 S2 014 的值等于S1212 S1010_9数列a n的首项为 3，b n为等差数列且 bna n1 a n(nN *)若 b32，b 1012，则 a8 等于_10已知数列a n的前 n 项和 Sn n2kn(其中 kN )，且 Sn 的最大值为 8.则
16、an=_.12南京市秦淮中学高三二轮专题复习 专题 11：等差等比数列第 12 页 共 12 页11.在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1，2 a22，5a 3 成等比数列(1)求 d，a n；(2)若 d0，求|a 1|a 2|a n|.（等差数列各项绝对值求和）12已知首项都是 1 的两个数列a n，b n(bn0，nN *)满足 anbn1 a n1 bn2b n1 bn0.(1)令 cn ，求数列c n的通项公式；anbn(2)若 bn3 n1 ，求数列a n的前 n 项和 Sn. 13已知数列a n中，a 1=1，a 22，且 an+1=（1+ q）a n-qan-1(n2,q ).0(1)设 bn=an+1-an(nN *),证明 bn是等比数列；(2)求数列a n的通项公式；(3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项，求 q 的值，并证明：对任意的 nN *，a n 是 an+3 与 an+6 的等差中项.15已知等差数列a n的前 n 项的和为 Sn，等比数列b n的各项均为正数，公比是 q，且满足：a13，b 11，b 2S 212，S 2b 2q. (1)求 an 与 bn；(2)设 cn3b n2 ，若数列 cn是递增数列，求 的取值范围 an3
