1、一、复合函数函数 y=log2x 是对数函数，那么函数 y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设 y=log2u，u=2x-1，因此函数 y=log2(2x-1)是由对数函数 y=log2u 和一次函数 u=2x-1 经过复合而成的。一般地，如果 y 是 u 的函数，而 u 又是 x 的函数，即 y=f(u)，u=g(x)，那么 y 关于 x 的函数 y=fg(x)叫做函数 f 和 g 的复合函数，u 叫做中间变量。二、复合函数。定理：设 y=f(u)，u=g(x)，已知 u=g(x)在a，b上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间g(a)，g(b)(或g(b)，g(a)上是
2、单调增(减)函数，那么复合函数y=fg(x)在a，b上一定是单调函数，并有以下结论：同增异减u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数y=fg(x) 增函数 减函数 减函数 增函数判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。例 1.讨论函数 y=0.8x2-4x+3的单调性。解：函数定义域为 R。令 u=x2-4x+3，y=0.8 u。指数函数 y=0.8u在(
3、-，+)上是减函数，u=x2-4x+3 在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数 y=0.8x2-4x+3在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是 R，无需转化为自变量的取值范围。例 2.讨论函数 y=(log2x)2+log2x 的单调性。解：显然函数定义域为(0，+)。令 u=log 2x，y=u 2+u u=log 2x 在(0，+)上是增函数，y=u2+u 在(-，- 上是减函数，在- ，+)上是增函数(注意(-，- 及- ，+)是 u 的取值范围)因为 u- log2x- 0x ，(u- log2x- x )所以 y=(log2x)2+log2x 在(0， 上是减函数，在 ，+)上是增函数。
