1、第一章 行列式,第一节 二、三阶行列式 第二节 全排列与逆序数 第三节 n阶行列式的定义 第五节 行列式的性质 第六节行列式按行（列）展开 第七节 克拉默法则,将抽象思维形象化 将理论知识实用化,第一节 二、三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,两式相减消去 ，得,一、二阶行列式,1、引入,类似的，消去 ，得,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,2、定义,称为二阶行列式，记为,主对角线,副对角线,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,3、计算,1）对角线法则,行标,列标,记,记,则二元线性方程组的解为,系数行列式,系数行列式,今有牛五羊二，值金十两，牛二羊五，值金八两，问牛羊各值几金？,例
2、1,1、定义,二、三阶行列式,（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式.,记为,构成数表,（5）,（6）,确定一个表达式，,由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）,2)沙路法,2、计算,1)对角线法则,以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.,解,按对角线法则，有,例2,求行列式,解,按对角线法则，有,例3,求解方程,所以,若系数行列式,3、三元线性方程组,则,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式为,且,同理可得,故方程组的解为:,其中 为将系数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.,第二节 全排列与逆序数,一、排列与逆序数,“”六个数字可以组成多少个六位数？,没有重复元素
3、,2、定义,1、引例,级排列共有 种,如：,把正整数、的每一种有确定次序的排列，称为一个级（阶、元）排列.,记作：,级排列共有种：,级排列共有种：,例 排列的逆序数为5,我们规定各元素之间有一个标准次序, 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,3、逆序数,3 2 5 1 4,定义,分析,定义,的逆序.,则称这两个数组成一个逆序.,中，若数,在一个排列,前面比,大的元素的个数称为元素,排在元素,请同学们以最快的速度写出所有级排列.,记为,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.,4、排列的奇偶性,逆序数为奇数的排列称为奇排列；,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,计算下列排列的逆序数
4、.,1） ,解：,故此排列为偶排列.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,解：,2）,3）求j、k，使9级排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为 偶排列,解：由题意可知， j、k 的取值范围为3，8,当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列,当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列, j = 8，k = 3,第三节 n阶行列式的定义,二阶行列式,三阶行列式,一、n阶行列式的定义,分析,（1）二阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于
5、位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列,三阶行列式共有 项，即 项,例,列标排列的逆序数为奇,列标排列的逆序数为偶,列标排列的逆序数为奇,负号,正号,负号,三阶行列式定义为,123,231,312,132,213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,每项都是位于不同行、不,同列的3个元素的乘积,三阶行列式可以写成,其中 是1，2，3的排列,阶行列式是 项的代数和;,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积;,猜,定义,由 个数组成n阶行列式等于所有取自不同行列的,n个元素的乘积的代数和,记作：,为这
6、个排列的逆序数。,说明,1、行列式是一种特定的算式，行列式的行数与列数必须相同；,2、 阶行列式是 项的代数和；,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积；,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,例1.3,计算行列式,1）,2）,分析,1）显然得,2）易见，只有项,所以,例,计算行列式,1）,2）,分析,1）显然得,2）易见，只有项,所以,例 用行列式的定义计算,解,小结,第五节 行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,行列式的转置,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式的性质,例：,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,例,推论 如果行列式有
7、两行（列）完全相同，则此行列式为零.,互换行列式相同的两行，则有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论 行列式中如果有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式为零,例,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,2、请问若给 阶行列式的每一个元素都乘以同一数，等于用 乘以此行列式.,？,1、请问若给三阶行列式的每一个元素都乘以同一数，等于用 乘以此行列式.,？,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则行列式等于下列两个行列式之和：,例,性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素
8、上去，行列式不变,例,例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,第六节 行列式的展开,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，,叫做元素 的代数余子式,一、余子式与代数余子式,记作,注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 一个代数余子式,二、行列式按行（列）展开,定理1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,例如,1,计算行列式常用方法：化零，展开.,三、应用举例,解,2,按第五行
9、（或第五列）展开,例3 计算n阶行列式,将行列式按第一列展开,解,例4 已知,求,解,是行列式第一列元素的代数余子式，第三列的对应元素是1，-1，-1，1,是行列式第四行元素的代数余子式，第二行的对应元素是2，1，-1，4,1,2,解,3,解,(1),(2),法一：将行列式化为上三角形,法二：先将第二列化为只有一个元素非零，再按第二列展开,第七节 克拉默法则,设线性方程组,若常数项 不全为零，则称此方程组,若常数项 全为零，则称此方程组为,1、非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,为非齐次线性方程组；,齐次线性方程组.,使得方程组成立的一组数 称为此方,程组的解.,如果线性方程组,的系
10、数行列式不等于零，即,2、克拉默法则,定理,那么线性方程组必有惟一解,右端的常数项代替后所得到的 阶行列式.,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组,二、齐次线性方程组的相关定理,如果齐次线性方程组的系数行列式,，则,齐次线性方程组没有非零解.即仅有零解.,如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行,列式必为零.,定理,定理,例1 已知 不全为零，证明齐次线性方程组,只有零解,证,方程组只有零解,1、用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2、克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于解的判定.,三、小结
11、,3、如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是惟一的 .,4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,计算行列式常用方法小结,1. 用行列式定义,2. 利用特殊行列式（对角行列式、三角行列式）,3. 利用行列式性质,4. 奇数阶反对称行列式值为零,5. 行列式按某行（列）展开,6. 利用范德蒙行列式,7. 利用升阶方法（合理地添加一行一列）,8. 利用数学归纳法,9. 利用递推公式法,上述方法均可综合运用。,一般情形,例10 计算n 阶行列式,答案,提示 按第1列展开.,例11 计算n+1 阶行列式,答案,提示 每一列都加到第1列上.,例12 计证明范德蒙行列式,证明 计用数学归纳法. 因为,设对于(n-1)阶结论成立, 证n阶情形,从第n行开始, 后行减去前行的x1倍,有,按第1列展开,并提出每列的公因子(xi- x1), 有,
