1、物流学院20152016 学年度第 1 学期线性代数 课堂教学方案授课年级 2014 专业层次 会计学本科 授课班级 1、2、3、4 班 授课教师 2015 年 8 月 28 日线性代数教案任课教师 授课班级 2014级会计学本科班授课时间 教学时间安排 2学时授课题目（章节）第一章 行列式第一节 二阶与三阶行列式教学目的、要求（教学目标） 了解行列式的概念 掌握二阶、三阶行列式的计算方法教学重点与难点二阶、三阶行列式的计算教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有
2、着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具.二阶行列式与三阶行列式的内容在中学课程中已经涉及到,本节主要对这些知识进行复习与总结,它们是我们学习和讨论更高阶行列式计算的基础.内容要点一、二阶行列式 21121aa二、二阶线性方程组 )2(2211bxa本学期要求叙述 5分钟课程介绍 20 分钟理论讲解 35 分钟，习题选讲 25 分钟，练习、答疑 5 分钟提问：行列式是什么？是否具有几何意义？三、三阶行列式=32311a122123133.a三阶行列式有 6 项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其
3、运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。四、三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组 3231221,bxaxa记= =D,32311a1D,3231ab= =2,33121b,32311若系数行列式 ，则该方程组有唯一解：D0., 321 Dxxx例题选讲例 1 解方程组 .3281x例 2 计算三阶行列式 6054注：沙路法则是对角线发则的变形，仅适用于二阶、三阶行列式例 3 求解方程 .094321xD例 4 解三元线性方程组 .012321x作业与课外训练1.设 试给出 的充分必要条件.,104aDD2.求一个二次多项式 ，使)(xf.28)3(,2,0
4、)1( ffP5 2 3课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. http:/ 、行标、列标。ija线性代数教案任课教师 授课班级 2014级会计学本科班授课时间 教学时间安排 2学时授课题目（章节）第二节 n阶行列式教学目的、要求（教学目标） 了解排列、逆序数、对换的概念及相关结论 掌握 n 阶行列式的定义及计算方法教学重点与难点n 阶行列式的定义及计算方法，n 阶行列式一般项符号的确定教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程
5、问题导入：对角线算法能用于 4 阶以上的行列式吗？对于 4阶及 4阶以上行列式代表的代数和的形式又是如何呢？从三阶行列式的定义,我们看到:(1) 三阶行列式共有3!6 项；(2) 行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3) 行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关. 受此启示,我们可以引入 n 阶行列式的定义. 此外,在本节中,我们还要了解几个今后常用的特殊的 n 阶行列式(对角行列与三角形行列式等 )的计算方法.内容要点一、排列与逆序定义 1 由自然数 1,2,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个 n 级排列(简称为排列) 。例如，1234 和 4
6、312 都是 4 级排列，而 24315 是一个理论讲解 55 分钟，习题选讲 30 分钟，练习、答疑 5 分钟5 级排列.定义 2 在一个 级排列 中，若数n)(21nstii则称数 与 构成一个逆序.一个 级排列中逆序的,stitis总数称为该排列的逆序数, 记为 ).(21niN定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.逆序数的计算方法：先计算出排列中每个元素逆序的个数，即计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数，该排列中所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.二、 n 阶行列式的定义定义 4 由 个元素 组成的记号2 ),21,(njiannnaa 2
7、12112称为 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所n有取自不同行、不同列的 个元素乘积 的代njja21数和, 各项的符号是 : 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. n nnj jjjNnnn aaa 21 2121)(2112其中 表示对所有 级排列 求和. 行列式有时nj21 nj21也简记为 det 或 ，这里数 称为行列式的元素，)(ij|ijija提问：n 阶行列式代数和的构成是怎样的？称 为行列式的一般项.nnjjjNa 2121)(注: (1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数
8、相同的一次线性方程组的需要而定义的；(2) 阶行列式是 项的代数和, 且冠以正号的项和冠n!n以负号的项(不算元素本身所带的符号 )各占一半;(3 ) 的符号为 (不算元素本njja21 )(21njN身所带的符号);(4 ) 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,|三、对换为进一步研究 n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。定义 5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。定理 1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换
9、次数为偶数.定理 2 n 个自然数 (n1)共有 n!个 n 级排列，其中奇偶排列各占一半. （结论推导）定理 3 阶行列式也定义为 njijisaD21)(其中 S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即 S=。)()(2121nnjNi推论 n 阶行列式也可定义为 .)(21)(21niiiNnaD例题选讲排列与逆序例 1 计算排列 32514 的逆序数.例 2 求排列 的逆序数, 并讨论其321)(n奇偶性.n 阶行列式的定义例 3 计算行列式 04321D例 4 计算上三角形行列式 ).0(02121 nnnaa 同理，下三角形行列式 nnaa 2110.21na行列式中从左上角到右下角的
10、对角线称为主对角线.例 5 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号(1) ;651423aa(2) .4例 6 用行列式的定义计算.0012010nnD 提问：在什么情况下使用定义计算行列式？作业与课外训练1.若 是五阶行列式的一项，则 应为何521345)12()43(1kjijNki a kji,值？此时该项的符号是什么？2.用行列式的定义计算下列行列式: .103.已知 求 的系数.,123)(xxf3P10 3 4 课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
11、3. http:/ 三阶行列式共有 3!6 项；(2) 行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3) 行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关. 受此启示，本节我们引入了 n 阶行列式的定义. 此外，我们还介绍了几个今后常用的特殊的 n 阶行列式 (对角行列与三角形行列式等)的计算方法。线性代数教案任课教师 授课班级 2014级会计学本科班授课时间 教学时间安排 4学时授课题目（章节）第三节 行列式的性质教学目的、要求（教学目标） 熟练掌握行列式的性质 掌握化为上、下三角形行列式的步骤教学重点与难点利用行列式性质化行列式上、下三角教学方式、方法与手段讲授与练习相结合
12、、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：根据 n 阶行列式定义可知，对角线算法不能用于 4 阶以上的行列式得计算，从上节课的学习可知，当行列式中只含有极少量非零元素时，可以利用定义的方法进行计算，然而对于一般高阶行列式又该计算学习呢？行列式的奥妙在于对行列式的行或列进行了某些变换(如行与列互换、交换两行(列) 位置、某行( 列)乘以某个数、某行( 列 )乘以某数后加到另一行( 列) 等)后,行列式虽然会发生相应的变化,但变换前后两个行列式的值却仍保持着线性关系,这意味着,我们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算. 本节我们首先要讨论行列式的在这方面的重要性质,然后,利用进一步讨论如
13、何利用这些性质计算高阶行列式的值.内容要点理论讲解 55 分钟，习题选讲 100 分钟，练习、答疑 25 分钟一、行列式的性质将行列式 的行与列互换后得到的行列式,称为 的转DD置行列式,记为 或 ,即若T则 .,212112nnnaa nnnTaa 212121性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 .TD注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列 ),行列式变号.推论 若行列式中有两行 (列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质 3 用数 乘行列式的某一行(列), 等于用数 乘k k此行列式, 即 .2
14、111221112 kDaaaakakaDnniii nnniii n 第 行(列)乘以 ,记为 (或 ).ikikCi推论 1 行列式的某一行 (列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论 2 行列式中若有两行( 列)元素成比例,则此行列式为零.性质 4 若行列式的某一行( 列)的元素都是两数之和, 例如,.nnn iiiiinaacbcbaaD 211121 提问：什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？提问：交换行列式的任意两行（列） ，行列式有什么变化？则.21211221112 DaaccaaabbaDnniii nnniii n 性质 5 将行列式
15、的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.k注: 以数 乘第 行加到第 行上,记作 ; 以数kjijikr乘第 列加到第 列上，记作 .kjijikc二、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为 0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为 0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为 0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的
16、乘积就是所求行列式的值.例题选讲例 1 设 ,13231a求 1112233605.例 2 计算 312540203D例 3 计算 1.483分析 注意到行列式的各列 4个数之和都是 6.故把第2，3，4 行同时加到第 1行，可提出公因子 6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的结果: .)(11nbanaba 例 4 计算 1212330.4a分析 根据行列式的特点，可将第 1列加至第 2列，然后将第 2列加至第 3列，再将第 3列加至第 4列，目的是使 中的零元素增多.4D例 5 计算 4.234326106abcdabcaa 分析 从第 4行开始，后一行减
17、前一行：例 6 解方程.011321 213221 xaaaa xxaaaxa nnnn 分析 从第二行开始每一行都减去第一行得由 解得方程的,0)()(1221 xxn个根：n ., 1221 nnaax作业与课外训练1.计算行列式 .0120D2.计算 n 阶行列式 aba P16 2 4 5课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. http:/ 位置、某行( 列)乘以某个数、某行(列)乘以某数后加到另一行(列)等) 后,变换前后两个行列式的值仍保持着线性关
18、系, 使我们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算. 进一步讨论了如何利用这些性质计算高阶行列式的值.线性代数教案任课教师 授课班级 2014级会计学本科班授课时间 教学时间安排 2学时授课题目（章节）第四节 行列式按行( 列)展开教学目的、要求（教学目标） 掌握余子式、代数余子式的概念 掌握行列式按行(列)展开的方法、范德蒙行列式计算公式教学重点与难点使用降阶法计算行列式的方法，范德蒙行列式的计算教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，即使利用性质来计算，在有些时候也是很难得到想要的
19、结果，能不能把高阶行列式转换为低阶行列式呢，如果可以，又该如何操作呢？本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法降阶法内容要点一、行列式按一行(列)展开定义 1 在 阶行列式 中,去掉元素 所在的第 行nDijai和第 列后,余下的 阶行列式,称为 中元素 的余子j1ij理论讲解 35 分钟，习题选讲 50 分钟，练习、答疑 5 分钟式, 记为 , 再记 称 为元素 的代数余ijMijiijMA)1(ijAija子式.引理 一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除外都为零，则该行列式等于 与它的代数余子式的乘积，ijaija即i
20、jA定理 1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 ),2,1(21 niAaAaDinii 或 ).,(21 jnjjj 推论 行列式某一行(列) 的元素与另一行( 列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ,021 jiAaAajnijiji 或 .,jijijiji 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:;,0,1 jiDAaijnkji 当 当或 .,1 jiijnkjki 当 当其中， jiij,0二、用降价法计算行列式直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质
21、将行列式中某一行( 列) 化为仅含有一个非零元素 , 再按此行( 列) 展开 ,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直提问：推论结论说明了什么？到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例 1 试按第三列展开计算行列式 .502134D例 2 计算行列式 .502134例 3 计算行列式5172.1080435D例 4 求证 .21)(1231124nxxnx 例 5 证明范德蒙德(Vandermonde) 行列式 ,)(1112221jinjinn xxxD 其中记号“”表示全体同类因子的乘积.分析 用数学归纳法. 重点提示：降阶法与上节利用行列式性质把行列式化为上、下三角的异同注：重点讲解范德蒙德(V
22、andermonde)行列式作业与课外训练1. 计算行列式 .351102423D2.讨论当 k 为何值时 .020k3.设 阶行列式 求第一行各元素的代数余子式之n ,0131nnDn 和 .112nAP21 2 5 课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. http:/ n 阶行列式中，划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个 n1 阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记作 ij元素 aij 的余子式 ij 前面添上
23、符号( 1)i+j 称为元素 aij 的代数余子式 n 阶行列式可以用 n1 阶行列式来表示，利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算计算行列式时，一般利用性质将某一行(列 )化简为仅有一个非零元素，再按定理 1 展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶这在行列式的计算中是一种常用的方法线性代数教案任课教师 授课班级 2014级会计学本科班授课时间 教学时间安排 2学时授课题目（章节）第五节 克莱姆法则教学目的、要求（教学目标） 了解线性方程组解的存在条件 掌握应用克莱姆法则求解线性方程组教学重点与难点线性方程组解的存在性判断方法教学方式、方法与手段讲授与练习
24、相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：前面我们已经介绍了 n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解 n 元线性方程组的方法克莱姆法则它是第一节中二、三元线性方程组求解公式的推广内容要点n 元线性方程组的概念从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。含有 n 个未知数 的线性方程组nx,21 理论讲解 15 分钟，习题选讲 40 分钟，练习、答疑 25 分钟)1(,2122121nnnbxaxa 称为 n 元线性方程组.当其右端的常数项 不全为n,21零时,线性方程组(1)
25、称为非齐次线性方程组,当 全b,为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(.0,2122121nnnxaxa 线性方程组(1)的系数 构成的行列式称为该方程组的系数ij行列式 ，即D.nnnaa 212112克莱姆法则定理 1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式 , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为0D(3),21(njDxj 其中 是把 中第 列元素 对),21(nj njja,21应地换成常数项 而其余各列保持不变所得到的,b行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算
26、机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在提问：克拉默法则能解决什么样的线性方程组的问题？克拉默法则中，方程组的解的公式是怎样计算的？性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 则(1),0D一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 2则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见 一定该021nxx方程组的解, 称其为齐次线性方程组 (2
27、)的零解. 把定理 2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式则齐次线性方程组(2)只有零解.,0D定理 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式 .例题选讲例 1 用克莱姆法则解方程组.0674,5293,8414xx结论：,32781Dx,402,173Dx注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性,0D方程组(2)有非零解.1274Dx例 2 设曲线 通过四点 、3210xaxay)3,1(、 、 , 求系数)4,(3,)4(.,32解 曲线方程为.132xxy例 3 问 为何值时, 齐次方程组有非零解
28、?0)1(243123xx解 齐次线性方程组有非零解，则 所以 ,0D,或 时齐次线性方程组有非零解.23作业与课外训练1.如果下列齐次线性方程组有非零解, k 应取何值? .0324)(11kxxk2.判定齐次线性方程组 是否仅有零解. 0322414132xxP24 2 4 5课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. http:/ n 元线性方程组的方法克莱姆法则它是中二、三元线性方程组求解公式的推广。用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D当方程组(1) 中的常数项都等于时，称为齐次线性方程组。
