1、线性代数,刘二根主编江西高校出版社,本学期教学安排,第一章 n 阶行列式 第二章 n维向量 第三章 矩 阵 第四章 线性方程组 第五章 相似矩阵(部分),本学期教学要求,1.认真听课,精神饱满,不迟到,不要睡觉. 2.按时完成作业,不要抄. 3.课后可以看一些参考书. 4.考前要认真复习. 5.平时成绩占40%,最后考试占60%.,第一章 n 阶行列式,1 行列式的概念 2 行列式的基本性质与计算 3 克莱姆法则,1 行列式的概念,1. 二、三阶行列式 2. n 阶行列式的定义,1. 二、三阶行列式,一、二阶行列式的引入,解二元线性方程组,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二
2、行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义1,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,因为二元线性方程组的解为,因为二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,则二元线性方程组的解可写为,例1,解,例2：计算,二、三阶行列式,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式,定义2,记,三阶行列式的计算,(1)沙路法,(2)对角线法则,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,注:三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,例3：按定义直接计算,方程左端,例4,解,2. n 阶行列式的定义,个数排成n行n列，,用两条直线画在两
3、边，称为n阶行列式.记为 ，,它的值由下面的方法来定义.,叫做元素 的代数余子式,例如,要定义n阶行列式，先以三阶行列式为例：,由代数余子式的定义，知,| A |,三阶行列式可由它的第一行元素分别乘以它对应的代数余子式,再相加来得到.,由此推广到n阶行列式上去.,定义1: n阶行列式,它的值定义为,其中 是 的代数余子式.这个等式也称为 n 阶行列式按第一行的展开式.,问题：是否可用其它行(列)的展开来定义n阶行列式？,aij,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,1、行列式是一种特定的算
4、式,它是一个数.,说明,例1：计算下列n阶行列式：（1）,解:,= ,例2. 计算三角行列式,= ,例3. 计算三角行列式,= ,例4. 证明,2 行列式的基本性质与计算,一、行列式的基本性质,记,行列式 或 称为 的转置行列式.,性质1 行列式与它的转置行列式相等,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,又例如,推论1：若行列式有一行（列）所有元素为零，则此行列式为零.,推论2: 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零.,证：将相同的两行交换，由性质2,就有DD，故D0.,证：当第一行元素为
5、零时，由定义D0.如果第i行元素为零时，可与第一行交换，所得行列式为零，由性质2，知D0.,则有,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,即,性质3:,当i1时，把第i行与第一行互换， 再按上面的办法把行列式成两个 行列式之和，然后再把这两个行 列式的第i行与第一行互换，即证.,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。即,即行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k， 等于用数k乘此行列式.,性质4:,若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式等于零。,推论3:,证:由性质4与推论2易得.,性质5:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(
6、行)对应的元素上去，行列式不变,例如,证:由性质3,性质4及推论2可以直接得到.,计算行列式常用方法：利用性质5把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值,例1,例2 计算n 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3：证明,证：,左边,=右边,练习1 计算,练习2 计算,解,练习1 计算,提取第一列的公因子，得,评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特
7、点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的,练习 2.,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形或下三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的性质,二、行列式按任一行（列）展开,定理1：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即,引理: 一个n阶行列式,如果其中第i行(或第j列)所有元素除aij 外都为零, 则这个n阶行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即,定理的证明：,推论：n阶行列式D中的任意一行(列)的各元素与另一行(列)的相
8、应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当i j时，有,及,关于代数余子式的重要性质总结如下,例5：计算行列式,解：,例7 计算,例9.证明范德蒙行列式：,其中记号 表示全体同类因子的乘积。,证明：用数学归纳法,练习1: 计算行列式,练习2：计算n阶行列式,练习1.,练习2：计算n阶行列式,解：,性质1 行列式与它的转置行列式相等,1 行列式的基本性质与计算,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.则可写成两个行列式的和,性质4 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,性质5:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数
9、 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,计算行列式常用方法：利用性质5把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值,2 行列式按任一行（列）展开,定理1：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即,或,引理: 一个n阶行列式,如果其中第i行(或第j列)所有元素除aij 外都为零, 则这个n阶行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即,推论：n阶行列式D中的任意一行（列）的各元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当i j时，有,一. 克莱姆法则 二. 齐次方程组的重要定理,3 克莱姆法则,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次
10、线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,欲证方程组(1)的解唯一，只须对任取方程组(1)的一组解,若能证明只能是：,则证得解的唯一性.,将解 代入(1)式中得恒等式,在上述这组恒等式中，分别用 乘这 个恒 等式两边，得到：,将 个恒等式相加，并应用定理
11、一及其推论，于是得到,因为,所以,故证得方程组(1)只有唯一解，且其解为：,例1 用克莱姆法则解方程组,解,二、重要定理,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,有非零解.,系数行列式,若 ，由克莱姆法则知方程有唯一的零解，与已知条件矛盾。,证明：用反证法,例2：判定下面齐次线性方程组是否有非零解：,解：因为,所以齐次线性方程组仅有零解。,例3 设齐次线性方程组,解:由齐次线性方程组有非零解的必要条件知,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,1、计算行列式,练习,2、计算行列式,1、计算行列式,2、计算行列式,3、,4、,
