1、工 程 数 学线 性 代 数,王常春（ ) 临沂大学汽车学院,引 言,课程介绍：线性代数是研究有限维线性空间的线性理论与方法的一门学科；同“解析几何”一起（可看作一门），与“微积分”、“概率与统计”， 以及“数学实验”并列为4门数学基础课；,3. 学习方法：课堂讲授为主，课下自学为辅；,4. 要求：按时上课，认真听讲，记好笔记，做好作业；,5. 考试：闭卷考试。,2. 学习内容：1-5章全讲；,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式2 全排列及逆序数3 n阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行(列)展开7 克拉默法则,第一章 行列式1 二阶与三阶行列式,一、二元线性方程组与二阶行列
2、式设二元线性方程组 (1),分母由方程组的四个系数确定,定义 把这四个数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表 （2）,用消元法解得,第一章 行列式1 二阶与三阶行列式,表达式a11a22-a12a21称为数表（2）所确定的二阶行列式，并记作,其中，数aij (i=1, 2; j=1, 2)称为行列式的元素，元素aij 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列.,二阶行列式的计算-对角线法则,第一章 行列式1 二阶与三阶行列式,若记：那么方程组（1）的解可写成：,说明：分母D是方程组(1)的系数所确定的
3、二阶行列式(称为系数行列式)，D1、D2分别是用常数项b1、b2替换D中x1、x2的系数所得的二阶行列式.,例1：P2 (自学),第一章 行列式1 二阶与三阶行列式,二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表 （3）记 （4）（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式。,第一章 行列式1 二阶与三阶行列式,三阶行列式的计算：（1）对角线法则,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,注：1.二阶、三阶行列式算出来都是一个数；2.对角线法则只适用于二阶、三阶行列式。,例2：P3 例3：P3 （自学）,第一章 行列式2 全排列及逆序数,问题,定义,把n个不同的元素排成一列，叫做这
4、n个元素的全排列（简称排列（permutation）,n个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.Pn=n(n-1) 321=n!,把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？,我们规定各元素之间有一个标准次序, n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,定义 在一个排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序 不同时,则称这两个元素组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,第一章 行列式2 全排列及逆序数,排列的奇偶性： 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列。,计算排列逆序数的方法： 分别计算出排列中每个元素前(后)面比它大(小)的元素个数之和
5、,即算出排列中每个元素的逆序数,每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,例4：求排列32514的逆序数。,第一章 行列式3 n阶行列式的定义,为给出n阶行列式的定义，让我们先来分析前面所讲的三阶行列式的定义。,从上述表达式可以发现三阶行列式有如下特点：(1)三阶行列式共有3!=6项，且每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积， 6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符号为负；,(2)如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列；,第一章 行列式3 n阶行列式的定
6、义,(3)排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2,而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇排列时，则该项的代数符号为负 。,因此，我们可以把三阶行列式的定义写成：,其中p1、p2、p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这个排列的逆序数，共有3!6项求和。,第一章 行列式3 n阶行列式的定义,类似的，我们可以定义n阶行列式：,定义: 设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表,记,式(5)称为(由上述数表构成的) n 阶行列式（determinan
7、t）, 简记作 det(aij). 其中 p1 p2 pn 为自然数1, 2, , n 的一个排列, t为这个排列的逆序数.,(5),第一章 行列式3 n阶行列式的定义,说明:1. 行列式是一种特定的算式, 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;,4.一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值符号相混淆, 一般不使用此符号.,2. n 阶行列式是 n! 项的代数和;,3. n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列 n 个元素的乘积,且每项的符号为(1)t;,第一章 行列式3 n阶行列式的定义,例5 证明对角行列式,记住结果,第一章 行列式3 n阶行列式的定
8、义,例6 证明下三角行列式（对角线以上的元素都为0）,同理，上三角行列式（对角线以下的元素都为0）,记住结果,作 业,习题一：2.(2) (3) (5) 3.,要求：要有推导过程，不能只写答案。如: 2. t(1234)=+= 3. 要有判断每一项的符号的过程。,第一章 行列式4 对换,（自学）,了解对换和相邻对换的概念。,第一章 行列式5 行列式的性质,一、行列式的性质,定义：记,行列式DT称为行列式D的转置行列式.,性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D.,说明：由性质1可知，行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立，反之亦然.,
9、第一章 行列式5 行列式的性质,性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号.,推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零.,性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.,即,推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.,第一章 行列式5 行列式的性质,性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式等于零,性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如,则D等于下列两个行列式之和:,第一章 行列式5 行列式的性质,性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后 加到另一列(行)对
10、应的元素上去, 行列式不变.,以上诸性质的证明作为练习请大家自己完成。,例如：,第一章 行列式5 行列式的性质,引入记号:以ri表示行列式的第i行(row)，以ci表示行列式的第i列(column)。 利用性质2交换行列式的第i , j两行（列）记作rirj （cicj）; 利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k, 记作ri k ( ci k ); 利用性质6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数k然后加到第 i 行(列)对应的元素上去, 记作ri + rj k ( ci + cj k );,二、行列式的计算,（2）利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而算得行列式的值.,第
11、一章 行列式5 行列式的性质,例7 计算,解 这个行列式的特点是各列4个数之和都是6，现把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行：,第一章 行列式5 行列式的性质,另外，该题还可通过把第2、3、4列同时加到第1列进行求解。,记住此类题的解法,注意：1.运算rirj与rjri不同；2.作rikrj运算时，第j行本身并没有发生变化！3.几个运算写在一起时，要注意各个运算的次序一般不能颠倒。,第一章 行列式5 行列式的性质,例8 计算,解,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,引例, 考察三阶行列式,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n 阶行列式
12、是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？,一、余子式与代数余子式,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,定义: 在 n 阶行列式中,把元素aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的 n - 1阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij的余子式,记作Mij； 记 Aij= (-1)i+j Mij， Aij 叫做元素aij的代数余子式.,例如：,注：行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,是大家所公认的理论，不需要证明，也无法证明； 是由定义、公理所推导出来的理论；是针对一条定理的前提定理，是专门为了证明定理所需
13、要的一些已经证明了的定理。,引理 一个n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除aij外都为零,那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即 D= aij Aij,例,公理定理引理,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,二、行列式按行(列)展开法则,定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n); 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+ + anj Anj ( j=1, 2, , n).,证:,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,D = ai1Ai1 +
14、ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).,由引理得:,类似地,若按列证明,可得：,D= a1j A1j+ a2j A2j+ + anj Anj ( j=1, 2, , n).,该定理叫做行列式按行(列)展开法则。显然，该法则提供了计算n阶行列式的一种方法：通过反复运用该法则，将一个n阶行列式归结为n!项的代数和，每一项是n个不同行不同列的元素的乘积。利用该法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,例9: 计算,解 可以看出,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,按第1行展开，有,这是一个递推公式，而D2= adbc，故
15、,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,例10: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证: 用数学归纳法,所以, 当 n=2 时, (6)式成立.,假设(6)式对于 n-1 阶范德蒙德行列式成立. 要证(6)式对于 n 阶范德蒙德行列式也成立。,为此，对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换： ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2).,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,得：,按第一列展开, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 可得：,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,推论: 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,
16、 即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;或 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,根据归纳假设可得:,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质：,或,其中,称为克朗尼克（Kronecker）符号。,第一章 行列式6 行列式按行(列)展开,例11: 设,D中元素aij余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14和M11+M21+M31+M41。,解：A11+A12+A13+A14,作 业,习题一：4. (2) (4) 8. (2) 9.,要求：要
17、有推导过程，不能只写答案。,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,克拉默法则 含有n个未知数x1, x2 , , xn的n个线性方程的方程组,如果线性方程组(7)的系数行列式不等于零, 即,(7),第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,那么,线性方程组(7)有唯一解,（8）,其中Dj (j = 1,2, , n)是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,证: （自学）,例12: 用克拉默法则 解方程组,解: （自学）,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,定理4 如果线性方程组(7)
18、的系数行列式D0,则方程组一定有解,且解是唯一的.,克拉默法则还可以叙述为下面的重要定理：,定理4 如果线性方程组(7)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.,其逆否定理为：,定义:线性方程组(7)右端的常数项b1, b2 , , bn不全为零时,线性方程组(7)叫做非齐次线性方程组,当b1, b2 , , bn全为零时,线性方程组(7)叫做齐次线性方程组.,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,对于齐次线性方程组,（10）,x1 =0 , x2 = 0, , xn =0一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组(10)的零解. 如果一组不全为零的数是(10)的解,则它叫做齐次线性
19、方程组(10)的非零解.,齐次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解.,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,把定理4应用于齐次线性方程组(10)，可得定理5 如果齐次线性方程组(10)的系数行列式D 0,则齐次线性方程组(10)没有非零解.定理5 如果齐次线性方程组(10)有非零解,则它的系数行列式必为零.,定理5 （或定理5）说明，系数行列式D0是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在第三章中还将证明这个条件也是充分的。,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,例13 问取何值时,齐次线性方程组,有非零解？,（11）,解 由定理5可知，若齐次线性方程组（11）有非零解，则其系数
20、行列式D0，而,第一章 行列式7 克拉默(Cramer)法则,由D=0,得=2, =5 或=8.,注：1. 用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项 之间的关系. 它主要适用于理论推导, 并不适用于实际计算.,第一章 行列式 习题课,1.内容提要,第一章 行列式 习题课,2.几种常用的求解行列式的方法法一：利用行列式性质把行列式化成等值的三角行列式进行计算；,法三：建立递推关系进行计算； 在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验，也可能要费一番功
21、夫。,法二：利用行列式性质降阶计算； 这种方法的基本思想是利用行列式的性质6将行列式某一行(或列)尽量多的元素变成零，然后按该行（或列）展开，从而将一个n阶行列式化成若干个n1阶行列式进行求解。,第一章 行列式 习题课,说明: 计算行列式的方法比较灵活, 同一行列式可以有多种计算方法， 有的行列式计算需要几种方法综合应用. 在计算时, 首先要仔细考察行列式在构造上的特点, 利用行列式的性质对它进行变换后, 再考察它是否能用常用的几种方法.,第一章 行列式 习题课,例1 计算行列式,解 这个行列式的特点是各列n个元素之和都为x+(n1)a。今把后n1行同时加到第1行，提出公因子x+(n1)a，然
22、后各行减去第1行的a倍：,第一章 行列式 习题课,第一章 行列式 习题课,解 D及D1的区别仅在于元素a35不同，将D及D1均按第5列展开，有,例2 已知,求D1的值。,第一章 行列式 习题课,例3 行列式 （ ） (2014年考研试题，4分）（A） （B） （C） (D),第一章 行列式 习题课,解：,【答案】B,第一章 行列式 习题课,第一章 行列式 习题课,解:,第一章 行列式 习题课,解,第一章 行列式 习题课,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,第一章 行列式 习题课,例6: 证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0, bx+cy+a=0, cx+ay+b=0
23、交于一点的充分必要条件是a+b+c=0. (2003年考研试题，8分）,行列式在几何上的应用,证: 必要性.,设所给三条直线交于一点(x0, y0)，则 x=x0, y=y0, z=1 可视为齐次方程组,的一个非零解.因此, 其系数行列式为零, 即,第一章 行列式 习题课,由于三条直线互不相同, 所以a, b, c不全相同, 则由上式得: a+b+c=0.,充分性: 如果a+b+c=0, 将方程组,的第一, 二个方程加到第三个方程得:,(1),第一章 行列式 习题课,(2),ac=(a+c)2=a2+2ac+c2.,于是, ac=-(a2+c2) 0.,第一章 行列式 习题课,这与题设矛盾.,因此, 方程组(1)也有唯一解. 即三条直线交于一点.,则由克拉默法则得:方程组(2)有唯一解.,因此,从而有 ac=0.,再由a+b+c=0, 得 c=0.,Thanks !,
