1、备课教案 第一章 行列式1第一章 行列式1.1 行列式的概念与性质一二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如（1.1）121221aa1231231231233 aa（1.2）321321321a分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如 表示该元素位32a于第 3 行、第 2 列。二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。【例】 ； ；51()3122()abb2034162()0(5)340。()(5)6()(6)()3120二 阶行列式的全面展开n用 个元素可以构成 阶行列式 。2nnnnaa 2121
2、12行列式有时简记为 。一阶行列式 就是 。高于 4 阶的行列式不能用jia对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1） 、 （1.2） ，规定 阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的 个元素的乘积。n（2）取自不同行、不同列的 个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺n序安排，则每一项对应列标的一个排列。如 对应的排列是 2 1 3。所有321a不同的搭配，对应所有不同的列标排列， 个自然数共有 种排列，因而全面!展开式共有 项。!n（3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数为偶（奇）数。比如排列 4 3 1 2
3、 中，4 后面有比它小的3、1、2（算作 3 个逆序） ，3 后面有 1、2，合计共有 5 个逆序，是奇排列。全面展开式的 !n备课教案 第一章 行列式2项中有半数的前置符号为正，另一半为负。通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法。三行列式的性质将行列式的行与列互换D后得到的行列式，称为 的转置行列式，记为 。T即 nnnaa 212112， TDnnnaa 212121实际书写时， “横着看，竖着写” ，便可得到转置行列式。性质 1 行列式转置后，其值不变，即 。DT【例】 543692781567981证 在行列式中，每一行取D一个元素，这 个n元素位于不同的列，它们的
4、乘积添上前置符号构成了的展开式中的备课教案 第一章 行列式3一项。该项中的元素也可以理解为取自不同的列，并位于不同的行，而这正是的展开式中的一项。可见 和 的展开式中各项都对应相同，因此它们相TDDT等。这条性质告诉我们，行列式的行具有某一性质，它们的列也具有相同的性质。性质 交换行列式的两行（列） ，行列式的值变号。【例】 498567321567498321证 交换行列式的两行，相当于在展开式每一项所对应的列标排列中，交换了两个数字的位置。这两个数字之间的逆序发生了变化，而这两个数字和其它数字之间的逆序变化是成对发生的，因此整个排列的逆序数变化量为奇数，从而排列的奇偶性发生改变。即行列式展
5、开式中的每一项都改变了符号，于是行列式的值变号。性质 3 行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面。【例】 567498321567498321kk证 行列式的某一行有公因子 时，因为行列式展开式的每一项中都出现了该行的一个元素，所以每一项都有了公因子 ，当然可以提取出来。这条性质也可以反向运用：行列式乘数 ，等于把 乘到行列式的某一行k（列）上去。推论 以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例。备课教案 第一章 行列式4证 其中第一种行列式有公因子 ；第二种行列式交换两行（列）后，其0
6、值不变，同时又改变符号，即 ，故 ；第三种行列式提取公因子D后，即第二种行列式。性质 4 一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。【例】 43214321ccbbaa432143210cba432143211cba证 因为在行列式展开式的各项中，可以把来自于某行（列）的元素拆分成两数之和，再利用分配律将每一项都拆成两项之和，由此组合成两个行列式，而且行列式中除被拆分的元素外，其它元素都未变。这条性质给出了行列式的拆分规则。若反向运用，则成了行列式的合并规则。拆分与合并规则特别强
7、调：除某一对应行（列）外，其余元素都相同。性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。证 做了这种变换后的行列式可以拆分成两个行列式，一个是原行列式，另一个是推论中的第三种行列式（其值为零） 。比如在一个三阶行列式中将第 1 列乘数 后加到第 3 列，所得行列式可拆分为：k1 1112222233333abcabcabk1.2 行列式的降阶算法一、代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下的njiaij阶行列式叫做元素 的余子式，记为 。再记)1(ji jiM（1.3）jijiA)1(叫做 的代数余子式。jiAji
8、a二特殊行列式的计算公式若行列式第一行元素除 外均为零，则有如下计算式1annnn aaaD 22121210证：等式右端的 阶行列式是 的余子式 。在行列式 中，每)(11MD行选取一个元素（不同列）做乘积，构成展开式的各项。可以只考虑不等于零的项，备课教案 第一章 行列式5显然第一行只能取，于是各项有1a了公因子 。选1取第 2 至第 行的n元素，和全面展开的选取方式1M完全相同；另一方面 与其它元素a不构成逆序，因此的展开项与D的展开项前1置符号也相同。提取公因子 后，1a即得 。M若行列式的第一列除 外均1a为零，则有同样的计算式。现在考虑一般的降阶条件。如果在行列式 D 中，非零元素
9、 所在jia的行（第 行）或列（第 列）的其j他元素均为零，那么可以将第 行依i次与第 ，)1(，2，1 行交换，然后再将第 列依j次与第 ，)(，2，1 列交换，共经过次换行)(ji备课教案 第一章 行列式6与换列，把 换到左上角的位置，其所在的行与列也换到了第一行和第一列，jia而其它行、列的排列顺序没有改变。根据前面的公式可知，最后的行列式的值变成了 。由于行列式的值变了 次符号，所以jiM)2(ji（1.4）jijiji AaD2)1(定理 1.1 如果行列式的某行（或某列）中，仅有一个元素非零， 那么行列式的值等于该非零元素与它的代数余子式的乘积。定理 1.1 是行列式降阶算法的基础
10、。比如下面的行列式经逐次降阶，很容易得到它的值 nnnn aaaa 32132132100我们称这种行列式为下三角行列式。类似地，上三角行列式也有同样的计算公式 nnnaa 321332210更特殊的对角行列式的值为 nnaaa 3213210我们把行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线。三角行列式中，主对角线一侧的元素全为零；对角行列式中，主对角线两侧的元素全为零。推论 三角行列式及对角行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积。备课教案 第一章 行列式7三行列式的降阶算法对于一般的行列式，可以利用行列式的性质 5 把某些元素变为零，来达到降阶条件。具体做法是：在行列式中选定一个非零元素
11、，称之为主元，将主元所在的行乘以适当的数加到其他行上，由此把主元所在列的其他元素都变为零。例 1.1 计算行列式 215339780D解 选 为主元，为将第 4 列的元素 变为零，进行行变换：124a,第 2 行乘 加到第 1 行；第 2 行乘 加到第 3 行；第 2 行乘 2 加到第 4 行。得到 2513764)1(0251374692D降阶后的行列式可继续降阶：取 26 为主元，将第 2 行分别乘 和加到第 1、第 3 行，得到26133184)1(268042D从本例看出，要注重主元的选取，适当地选择主元可以简化计算。行列式的降阶运算也可以做列变换，即通过列变换把主元所在行的其它元素都
12、变为零。阶数较高的行列式计算常常借助于计算机。计算机不怕烦琐的计算，但无法“灵活”地选择主元，所以计算机一般是先把行列式变为三角行列式，即从第一列开始，通过行变换依次将各列主对角线下方的元素变为零。例 1.2 将例 1.1 的行列式 化为上三角行列式，并计算其值。D解 108729315D08723.41.54108723.4.1.459.3.8108723.4.1.41.590.68备课教案 第一章 行列式8数值计算有误差是难免的。为了减少误差，可以选取绝对值较大的数作为主元，同时通过换行把主元换到主对角线上的位置。这种做法还有一个好处是可适应主对角线上元素出现零的情况。1.3 克莱姆法则一
13、行列式的按行（列）展开按照行列式的拆分规则，一个三阶行列式可作如下拆分： 32311aD32310a3231323110a再根据定理 1.1，得到 13121AaAaD这叫做行列式按第备课教案 第一章 行列式91 行展开。因为拆分可针对不同的行、列进行，所以行列式也可按其他行展开，还可以按各列展开，而且这种展开能直接推广到更高阶的行列式。一般地，对于阶行列式 ，有如下展开式。nD（ =1，2， ）niii AaAa21 in（ =1，2， ）jjj这两个公式分别称为行列式的按行展开式与按列展开式。展开式右端是某行（列）元素与它们的代数余子式乘积之和。以后，我们把这种两两相乘再相加的运算叫做“组
14、合” ，组合运算是线性代数中常见的运算。行列式的按行或按列展开，起到了降阶的效果，可以用来计算行列式的值。比如例 1.1 的行列式，按第 3 行展开为21539780D2153978)(70)( 25397801539780不过用这种方法要计算 个 阶行列式，如果连环地不断展开，计算量与n)1(全面展开不相上下，是非常庞大的。备课教案 第一章 行列式10二代数余子式组合定理在三阶行列式 32311aD中，改写第 1 行，使之与第 2 行相同，将这个值为零的行列式按第 1 行展开，注意到代数余子式未变，有 132121232310 AaAaa一般地，在 阶行列式 中，把第 行改写为第 行 ，再按
15、第 行nDik)(ji展开，可得 021 nikikik AaA把第 列改写成第 列 ，再按第 列展开，可得j )(jj21 jnkjkjka将这两个公式与行列式的按行（列）展开式结合起来，即（1.5）ikDAnjjik,01（1.6）janijik,1我们把这些公式归结为代数余子式组合定理：定理 1.2 行列式的某行（列）元素与本行（列）元素的代数余子式相组合，结果等于该行列式的值。行列式的某行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式相组合，结果等于零。三克莱姆法则含有 个未知量、 个方程的线性方程组为n（1.7）nnnnbxaxa 21 222 121未知量的所有系数构成的行列式 Dnnn
16、aa 212112称为方程组（1.7）的系数行列式。用 的代数余子式 （ 1，2，DiA备课教案 第一章 行列式11）依此乘方程组（1.7）的各个方程，再把所有方程相加，得到n niini niii AbxaxaA1121)(将左端的乘积展开，再合并含同一未知量的项，对照公式（1.6）发现，除 的1x系数是 外，其余未知量的系数都是零；右端的和式正是以下行列式按第 1 列D展开的展开式 1nnnab 22112于是得到 。如果 ，立即可算出 的值。一般地，用代数余子式1Dx01x（ 1，2， ）乘方程组（1.7）的各个方程后再相加，能够保留 而jiA jx消去其他所有未知量。综合以上推导，可形
17、成解线性方程组的克莱姆法则：定理 1.3 线性方程组（1.7）当其系数行列式 时，有且仅有唯一解0D（ 1，2， ） （1.8）Dxjjjn其中 （ 1，2， ）是以方程组的常数项 ， ， 替换 的j n1b2nbD第 列元素后形成的行列式。例 1.3 求解线性方程组 123412341x+x=-解 用降阶法计算行列式，所选主元作了标记：1220430321D12011240460321-=-61230-=-21264602343030D类似地可算得备课教案 第一章 行列式12，0241302D 1421304 D所以 ， ， ， 。1x2x03x24Dx用克莱姆法则解线性方程组要计算 个 阶
18、行列式，计算量很大而且)1(n包含了大量的重复计算。我们将在第三章介绍更好的方法。如果线性方程组（1.7）的常数项全为零，即（1.9）02122121nnnxaxa 则称之为齐次线性方程组，而方程组（1.7）当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组。显然，方程组（1.9）一定有零解 （ 1，2， ） 。如果系数行jjn列式 ，则根据克莱姆法则，它只有唯一的零解，没有非零解。以后还可0D以证明：如果 ，则方程组（ 1.9）一定有非零解（未知量的取值不全为零） 。我们提前归纳为以下定理：定理 1.4 齐次线性方程组（1.9）有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零。定理 1.4 将在第五章有重要的应用。例 1.4 已知齐次线性方程组 有非零解，问032CzByAx， ， 应满足什么条件?ABC解 根据定理 1.4，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零： 。计算行列式的值，得到03124CBA这就是 应满足的条件。CB,本例的几何意义是过坐标原点的三个平面共线。备课教案 第一章 行列式9
