1、1第一章 行列式1.学习目标2.学习指南3.知识内容4.练习5.实践（matlab 部分）6.作业7.测验8.案例（与本章有关的应用题）9.常见问题（典型题）10.知识结构1.学习目标1.了解排列、逆序数、对换的定义。2.会利用对角线法则求二、三阶行列式的值。3.掌握行列式的概念及行列式的性质。4.掌握应用行列式性质、行列式按行（列）展开及范德蒙德行列式计算行列式的值。5.会用克莱姆法则解线性方程组。2.学习指南知识点：1.行列式的定义2.行列式的性质3.行列式的计算4.行列式的应用重点：1.行列式的概念和性质2. 行列式的计算方法3. 克莱姆(Cramer)法则2难点：1.行列式概念的理解2
2、.行列式计算方法的掌握3.知识内容一、 行列式的定义1.引例2.二阶和三阶行列式3.排列、逆序数与对换4.n 阶行列式二、行列式的性质1.将行列式的行、列互换，行列式的值不变. 2.互换行列式的两行（列） ，行列式的值仅改变符号.3.以数 乘行列式的某一行（列）中的所有元素，就等于用 去乘以此行列k k式.4.如果行列式的某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两行列式之和. 5.把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.三、行列式的计算1.应用行列式的性质计算行列式的值2.余子式与代数余子式3.应用行列式按行（列）展开计算行列式的值
3、4.应用范德蒙德行列式计算行列式的值四、行列式的应用1.线性方程组的基本概念2.克莱姆(Cramer)法则4.练习一、填空题1.在五阶行列式中，项 的符号应取_. 123542a32.在函数 中， 的系数是_.1023()xf3x3.行列式 的 的代数余子式及其值是_.1453281a4. 的充分条件是 _.210kk二、选择题1.下列（ ）是 4 级奇排列A. B. C. D.321123124234152. 是 5 阶行列式 中前面冠以负号的项，那么 的值可54ijkaija,ijk以是（ ） A. B.1,3ij4,13ijkC. D.4k三、计算下列行列式1. 2. 251237946
4、ab5.实践（matlab 部分）6.作业1. 确定 和 的值,使得 9 级排列.ij(1) 成偶排列 (2) 成奇排列127456372154ij2. 下列各项，哪些是五阶行列式 中的一项；若是，确定该项的符号.ija(1) (2) (3)125341a312452432154a43. 在四阶行列式 中，写出同时含 和 的那些项，并确定它们121342341243aa21a的正负号.4. 计算下列行列式：（1） （2） 4205171432506（3） （4）abcedff11ab5. 用克莱姆法则解方程组： 12342341xx6. 取什么值时,齐次线性方程组 仅有零解. k0kxyz7.
5、测验一、填空题1. 若 ，则 _, _.1203122. 有非零解，则_.123()0xkx3. 设 ，则 _.578120364D41243AA4. 四阶行列式中，带负号且包含因子 和 的项为_.23a155. _.21036. 已知 ，则 _.12133an212233311aa二、单项选择题1. 已知行列式 ，则行列式 D 中 x 的一次项系数是（ ） 101xDA. B. C. D. 112 22. 当（ ）时， 有非零解02kxzyA. B. C. D. 0k1k2k2k3. 设 ，则 的根是（ ） 21()fxx()0fxA. B. C. D. 1,21,1,21,2,三、计算下列
6、行列式的值1. 2. 034510267 01abcd3. 4. 11xx000xyxyy 四、解答题6问 ,取何值时,齐次线性方程组 有非零解？1230x8.案例（应用题）设三种食物每 100 克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表.表中还给出了美国流行的剑桥大学医学院的简洁营养处方.现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？每 100g 食物所含营养（g）营养脱脂牛奶 大豆面粉 乳清减肥所要求的每日营养量蛋白质 36 51 13 33碳水化合物 52 34 74 45脂肪 0 7 1.1 39.常见问题（典型题）1利用行列式
7、定义直接计算计算行列式 01020nDn2化为三角形行列式计算 n 阶行列式 nabbDba 3降阶法7计算 n 阶行列式 010010naDa4逆推公式法证明等式 1221100nnxDxaa 121,(2)nnnxaxax5利用范德蒙行列式计算行列式 122 2112121nnnnxxxD6加边法（升阶法）计算 n 阶行列式 1212nn nxaaDaxa 10.知识结构8行列式性质概念应用不同行不同列元素乘积的代数和转置行列式值不变两行互换 ， 行列式变号用 乘某行 ， 等于用 乘此行列式kk某行所有元素都是两元素的和 ， 则可写成两个行列式之和某行的 倍加到另外一行 ， 行列式的值不变
8、对列均成立计算用定义展开式用性质（ 按第 行展开 ）1nikaAi（ 按第 行展开 ）1nkjj克莱姆法则练习答案 ：一、填空题1.正; 2. ; 3. ; 4. -2 或 31532()18二、选择题 1.B; 2.B;三、计算题1 25123749463c2461759231234r0210365432r02135r 93012ab43rr abba9提 取 公 因 式 aba132314rbaba011)(b作业答案：1 (1) ; (2) 8,3ij8,6ij2. 是,负; 不是; 是,负()(2)(3)3. 符号分别为正，负.1234a143a4.(1) 0517234c10204按
9、 第 四 行 展 开 4310()2441023321c907(2) 21350624c2130564r210314r230(3) abcedff每 列 都 提 取公 因 式 bceadf每 列 都 提 取公 因 式 1adfbce10123r102abcdef按 第 一 列 展 开 02abcdef4abcdef(4) 11ab2143c010b1234r01ab按 第 一 行 展 开 01ab按 第 一 行 展 开 2201a5. 因为系数行列式 100D故方程组有惟一解，而121920D121802D121503 121304所以线性方程组的解为 12349413,5210xxxxDD6
10、.系数行列式为12k32r01k231kk若齐次方程组仅有零解,则必有 ,所以 ,即 .0D201且11测验答案：一、填空题1.3,任意实数 2. 或 3. 0; 4. 5. 6.6n1k1423a5二、选择题1.D; 2.C; 3.C三、计算题 1. ; 2. ; 3. ; 4. 961abcdad4x1()nnxy 四、解答题 01或案例答案解 设脱脂牛奶的用量为 个单位（100g） ，大豆面粉的用量为 个单位，1x 2x乳清的用量为 个单位，则由它们的组合所具有的营养应达到减肥所要求的每3x日营养量，故 12365475,0.xx用克莱姆法则求得该方程组的解 123.709.x即脱脂牛奶
11、的用量为 27.7g，大豆面粉的用量为 39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量.常见问题答案1.解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.121!nnaa该项列标排列的逆序数 t（n1 n21n）等于 ，故(1)2n()2!.nD122.解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得()(1)anbbaDanba ()1bba 00()baanab 1()nb3.解 将 Dn按第 1 行展开 1000()00nnaaa 12()nna.24.证明：将 Dn按第 1 列展开得 12321100nnxxaa 13100()1nxax 1nxD由此得递推公式： ，利用此递推公式可得na112()n nxxaD2n11naxx 5.解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式1221112()nijijnnxxDx6.解： 0nnaD（箭形行列式）1202,1ni aaxnx 第 行 减 第 1行 1200nj naaxx1njax
