1、1何谓抛物线“形状相同”？黄家礼（上海市浦东教育发展研究院 200127） 1问题的提出有段时间连续接到几位老师的电话，问：何谓抛物线形状相同？如下面几例：例 1 已知二次函数 y=a(x+m)2的形状和 y=2x2相同，且顶点坐标为 A(-2,0),求二次函数关于 y 轴对称的图形的解析式.(文汇出版社，08 年 8 月版走进新课程九年级数学 P78 页第 8 题.该书答案（P 223）：y=2(x -2)2)例 2 一条抛物线与抛物线 y=- 有公共顶点，且形状也相同，只是开口方向相反.求此抛物线的42x表达式，并画图像.(华东师大 2011 年 6 月版一课一练P90,该书答案(P 28
2、9)： y= ，图略)42x例 3 某抛物线的形状、大小与抛物线 y=2 的形状、大小相同，顶点在（-4，-3） ，那么这条抛2x物线的表达式为 . （华东师大 2011 年 6 月版一课一练P99,该书答案(P 290)： y=2-3 ） 24x老师的疑问是：抛物线 与抛物线 形状相同，是表示 还是cbxay21 2xay21a？若是 ，例 2 答案错；若表示的是 ，那么例 1 漏了一解：21a1 21，例 3 也漏了一解：y=-2 -3.)(xy 24x笔者还在初中数学同步学习与辅导 （上海科技教育出版社，2008 年版，P157 页 12 题） 、 9 年级（第一学期）数学同步训练与拓展
3、 （原子能出版社，2010 年版，P76 页第 8 题） 、 初中数学双基过关堂堂练 （光明日报出版社，2011 年版，P69 页第 4 题）等资料均发现有抛物线“形状相同”的题目.2教材的说法北师大版教材对两抛物线形状相同的表述较明确，如该版九年级下册数学教师教学用书(2009年版)第 P55 页：“函数 的图象与函数 的图象形状相同” ；P61 页：“函数2xy2xy的图象与函数 的图象形状相同” ； P62 页：“函数 的图象与函数12xy 213xy的图象形状相同”.该书从 P55 页-P64 页， “形状相同”这一概念出现了 12 次.32人教版九年级下册数学教师教学用书P11 页：
4、把“函数 ， 与函数12xy2xy进行对比， 从而得出形状相同” ； P12 页：“类似，把函数 ，2xy 21与函数 进行对比，从而得出形状相同”.2121xy上海科技版教材九年级（上册,09 年 6 月版）P12 也出现有“抛物线 与 的形kaxy22axy状、开口大小和开口方向相同”的表述.按北师大版教材，两抛物线 与 形状相同，则 .人教版教材只cbxay212xay21谈了当 时，其抛物线 与 形状相同.上海科技版与人教版较一致.21a2而关于两图形“形状相同”教材还有如下说法：如人教版九年级教材数学下册（07 年 10 月版）P36 页明确指出：“形状相同的图形叫做相似图形.”上教
5、版九年级教材数学第一学期（试用本） （10 年 6 月版）P2 页：“我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.”北师大版(教材八(下)P110)、华东师大版（教材九（上）P42） 、上海科技版教材(教材九（上）P53)都是这样定义的.也就是说“两图形形状相同”与“两图形相似”是同义语.而任意两个抛物线都是相似的（证明见文） ，那就是说任意两个抛物线都形状相同.既然如此，那么在 或 的条件下，才有抛物线 与 形状相同的说法就值21a21 cbxay212xay得商榷.3.几点思考与建议数学的核心工作是计算和推理，而计算法则的确立和推理方法的严谨都依赖于思维的正确.史宁中教授说
6、：“逻辑学的本质告诉我们，在讨论或者研究问题的时候，每一个术语和概念的使用，每一步计算和推理的进展，都必须经得起最严格的检验.”数学是思维的科学，概念是思维的细胞，没有概念或概念不清，就无法进行计算、推理和论证.李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”所以正确地理解和使用概念是学好数学的基础！既然教材对两图形“形状相同”有明确的说法是相似形.那么，对于抛物线，仅就 或 时，说抛物线21a21与 形状相同，概念的内涵和外延都发生了变化，前后说法不一致，自然引cbxay212xay出矛盾.鉴于此，对于前面教材和 3 道例题所述的情况，笔者对其表述提出如下调整方案：3 当
7、时，抛物线 与 形状的描述，采用“开口大小相同，开口21acbxay212xay方向相同”.它表示两个抛物线通过平移能重合.当 时，抛物线 与 形状的描述，采用“开口大小相同，开口21 212方向相同或相反”.它表示两个抛物线通过平移、翻折能重合.从变换的角度讲，任意两个抛物线 与 （ ）相似或说cbxay212xay21一a它们形状相同，是说它们之间存在一个相似变换；而当 或 时，它们之间存在一个等距212变换.这样处理，保证了教材概念体系的一致、严密，也保证与相似理论和变换理论的一致性.要真正把两个抛物线形状之间的关系说透切，可以借助下面的一张变换的“谱系” （见文）,它揭示了变换之间其“
8、父母” 、 “子女”及相互关系：显然，当 时，由抛物线 到抛物线 的变换是平移变换；当21acbxay21 2xay时，由抛物线 到抛物线 的变换是旋转（或反射）变换 .平移、旋转、反射21a21x2变换都是等距变换.而相似变换除了等距变换外，还有位似变换和旋转相似变换，如对于抛物线和抛物线 ，当 时.cbxy21 2ay21a以上为一孔之见，不妥之处，请读者批评指正！参考文献 张海堂 熊先香，所有的抛物线都相似吗？数理天地高中版，2008 年第 11 期. 史宁中，数学思想概论（第 2 辑） ，东北师范大学出版社，2009 年版 P37 页.中 心 对 称中 心 相 似 变 换旋 转平 移反
9、 射 旋 转 相 似 变 换位 似 变 换等 距 变 换反 射 等 积 变 换相 似 变 换仿 射 变 换连 续 变 换变 换4 李邦河，数的概念的发展，数学通报，2009 年 8 期. HSM考克塞特 SL格雷策，几何学的新探索，北京大学出版社，1986 年版 P117页. 课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，义务教育课程标准实验教科书，数学九年级下册教师教学用书，人民教育出版社，2007 年版. 马复，义务教育课程标准实验教科书，数学九年级下册教师教学用书，北京师范大学出版社，2009 年版. 新时代数学编写组，义务教育课程标准实验教科书，数学九年级上册，上海科学技术出版社，2010 年 6 月版. 邱万作，九年义务教育课本，数学九年级第一学期（试用本） ，上海教育出版社，2010 年 6 月版.
