1、抛物线问题典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）yx42)0(2ayx分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（1） ，焦点坐标是（0，1） ，准线方程是：2p1y（2）原抛物线方程为： ，xay2ap1当 时， ，抛物线开口向右，0ap41焦点坐标是 ，准线方程是： ),( ax41当 时， ，抛物线开口向左，a2焦点坐标是 ，准线方程是： )0,41(x综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是：2ay)0,4
2、1(aax典型例题二例 2 若直线 与抛物线 交于 A、 B 两点，且 AB 中点的横坐标为2kxyxy822，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法” 求 k解法一：设 、 ，则由： 可得：),(1yxA),(2yBxy8204)8(2xkx直线与抛物线相交， 且 ，则 k01kAB 中点横坐标为： ，28421x解得： 或 （舍去） 2k故所求直线方程为： xy解法二：设 、 ，则有 ),(1xA),(2B2128xy两式作差解： ，即 )(8212xyy 2121，421x4)(2121 kkkx故 或
3、 （舍去） 8k则所求直线方程为： xy典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析：可设抛物线方程为 如图所示，只须证明 ，)0(2pxy 12MAB则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切证明：作 于 于 M 为 AB 中点，作lA1lB1,1于 ，则由抛物线的定义可知：lM1F1,在直角梯形 中：ABABF21)(2)(211 ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切M说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交典型例题四例 4（1）设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求 k 值xy42kxy253（
4、2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k， （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标解：（1）由 得：kxy240)4(22kxx设直线与抛物线交于 与 两点则有：),(1yA),(2yB4,122kxx)(5)(545)21( 212121 kxxxAB，即3)(5,3kk（2） ，底边长为 ，三角形高9S56392h点 P 在 x 轴上，设 P 点坐标是 )0,(x则点 P 到直线 的距离就等于 h，即42y 561240或 ，即所求 P 点坐标是（1，0）或（5，0） 10x5
5、0典型例题五例 5 已知定直线 l 及定点 A（A 不在 l 上） ，n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N为 l 上任一点，AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证P 的轨迹为抛物线分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由 A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 且N即可lPN证明：如图所示，连结 PA、 PN、 NB由已知条件可知：PB 垂直平分 NA，且 B 关于 AN 的对称点为 PAN 也垂直平分 PB则四边形 PABN
6、 为菱形即有 NAlPNlAB则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线典型例题六例 6 若线段 为抛物线 的一条焦点21 )0(2:pxyC弦，F 为 C 的焦点，求证： FP12分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来证法一： ，若过 F 的直线即线段 所在直线斜率不存在时，)0,2(p21P则有 , PF1 p12若线段 所在直线斜率存在时，设为 k，则此直线为： ，且21 )0(2kpxy设 ),(),(2
7、yx由 得：)2(pxky 04)2(22pkxpk221421px根据抛物线定义有： pxPpxFPpx 212121,则 FP2121 4)()( 212121请将代入并化简得： pFP21证法二：如图所示，设 、 、F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是 、 、1P2，且不妨设 ，又设 点在 、 上的射影分别是F 12mnP 21A、 B 点，由抛物线定义知， pFnP,12又 ，212P12PBA即 nmpp21)(故原命题成立典型例题七例 7 设抛物线方程为 ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 ，求证：)0(2pxy 焦点弦长为 sinAB分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定
8、理与抛物线定义解决问题证法一：抛物线 的焦点为 ，)0(2pxy)0,2(p过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： tanxy由方程组 消去 y 得：pxy2)(tan0tan)(ta4tan222 px设 ，则),(),(21yxBA 4)cot21(ta)(21pxp又 )(tan2121y2422221212sin1)cot(tsec4)tan(pppxxAB即 AB证法二：如图所示，分别作 、 垂直于准线 l由抛物线定义有：1ABcos1BFpBF于是可得出： cos1p2sinco1ssppA故原命题成立典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 ，它的一个焦点为 F（1，0） ，对
9、应于)32,(P该焦点的准线为 ，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB，若弦 AB 的长度不超1x过 8，且直线 AB 与椭圆 相交于不同的两点，求32y（1）AB 的倾斜角 的取值范围（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为 k，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出 k 的取值范围，从而可得的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即可解：（1）由已知得 故 P 到 的距离 ，从而4F1x4ddPF曲线 C 是抛物线，其方程为
10、 y2设直线 AB 的斜率为 k，若 k 不存在，则直线 AB 与 无交点232yxk 存在设 AB 的方程为 )1(xy由 可得：)1(42xy042k设 A、 B 坐标分别为 、 ，则：),(1yx),(2 442121yky2212122)(44)(kyyk弦 AB 的长度不超过 8， 即8)1(42k12k由 得：23)1(2yxk 0)()3(22 xAB 与椭圆相交于不同的两点， 32k由 和 可得： 或12k3211故 或tantan又 ，所求 的取值范围是： 或0 34432（2）设 CD 中点 、 、),(yxM),(3C),(yxD由 得：23)1(2yxk 0122kk9
11、325132)1(,43 2132kxkx则 即 235x3)1(23122xykxyk化简得： 0所求轨迹方程为： )325(32xyx典型例题九例 9 定长为 3 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 的中点ABxy2AB到 轴的距离的最小值，并求出此时 中点的坐标y分析：线段 中点到 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐y标问题，因此只要研究 、 两点的横坐标之和取什么最小值即可解：如图，设 是 的焦点， 、 两点到准线的垂线分别是 、 ，Fxy2ABACBD又 到准线的垂线为 ， 、 和 是垂足，则MNCD231)(21)(21ABFBDACMN设 点的横坐标为 ，纵坐标
12、为 ， ，则 xy4xMN451等式成立的条件是 过点 当 时， ，故45x4121Py，2)( 21221xy， 21y所以 ，此时 到 轴的距离的最小值为 ),45(My45说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简典型例题十例 10 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 、 两pxy2FAB点，求 的最小值AB分析：本题可分 和 两种情况讨论当 时，先写出 的表达22式，再求范围解：(1)若 ，此时 pAB(2)若 ，因有两交点，所以 20，即 )2(tanpxyAB： 2tanpyx代入抛物线方程，有 0故 ，22212 cs4tan4)( pp
13、y22121tant)()(x故 42cs)t(cs4ppAB所以 因 ，所以这里不能取“=” in2综合(1)(2)，当 时， AB最 小 值说明：(1)此题须对 分 和 两种情况进行讨论；2(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为 ；2sinpl(3)当 时， 叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦AB典型例题十一例 11 过抛物线 的焦点 作弦 ， 为准线，过 、 作 的pxy2)0(FABlABl垂线，垂足分别为 、 ，则 为（ ） ， 为（ ） ABFA大于等于 B小于等于 C等于 D 不确定90990分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直
14、线与圆是否相切解：点 在抛物线上，由抛物线定义，则 ，A 21 AF又 轴 x/ 31 ，同理 ，264而 ， ，803906 选 C9FBA过 中点 作 ，垂中为 ，Ml M则 ABF21)(21)(21 以 为直径的圆与直线 相切，切点为 ABl又 在圆的外部， F90BA特别地，当 轴时， 与 重合， xMF90BA即 ，选 B90A典型例题十二例 12 已知点 ， 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上移动，)2,3(MFxy2P当 取最小值时，点 的坐标为_PP分析：本题若建立目标函数来求 的最小值是困难的，若巧妙地利用F抛物线定义，结合图形则问题不难解决解：如图，由定义知 ，故 PEF 213MNEPFM取等号时， 、 、 三点共线， 点纵坐标为 2，代入方程，求出其横坐标为 2，所以 点坐标为 P)2,(说明：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换
