1、1江夏一中 2013 届文科数学一轮复习专题讲座抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一.弦长问题：例 1 斜率为 1 的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交 AB 两点，求线段 AB 的长。24yx二.通径最短问题：例 2：已知抛物线的标准方程为 ，直线 过焦点，和抛物线交与 A.B 两点，求 AB 的最小值2ypxl并求直线方程。三两个定值问题：例 3：过抛物线 的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为 、 、 、2ypx 1x21y，求证： ， 。2y1421四一个特殊直角问题：例 4：过抛物线 的焦点 F 的直线与抛物线交与 A、B
2、两点，若点 A、B 在抛物线的准2(0)ypxP线上的射影分别是 ， 求证： 。1AB190五线段 AB 为定长中点到 y 轴的最小距离问题例 5：定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 上移动，设点 M 为线段 AB 的中点，求点 M 到 y 2yx轴的最小距离。六一条特殊的平行线例 6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点 P、Q, 经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，求证：直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。2七一个特殊圆例 7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。八一个特殊值：例 8：已知抛物线 过焦点 F 弦 AB 被焦点分成 m、n 的两部分，则2y
3、px 12mnp【练习】1.已知抛物线 的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且yx42（ 0） ，过 A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M，FBA（1）证明： 的值；（2）设 的面积为 S，写出 的表达式，并求 S 的Mf最小值2.对每个正整数 n， 是抛物线 上的点，过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一nyxA,yx42点 ，ntsB,（1）试证： （n1）4ns（2）取 ，并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点，求证：x（n1）21 FFC3抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一弦长问题：例 斜率为
4、 1 的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交 A .B 两点，求线段24yxAB 的长。分析：利用弦长公式 能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够21dR运用抛物线第二定义，把焦点的距离和转化到准线的距离较为简单。解： 根据抛物线的定义， 同理 1AFx21BFx于是得 12ABFx由题已知 消去 y 得214yx260故 126x8注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式： 或 。12ABxp12AByp二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为 ，直线 过焦点，和抛物线交与 A.B 两点，2ypxl求 AB 的最小值并求直线方程。解：如果直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 l l2p2
5、ABp如果斜率存在，不妨设斜率为 ，则直线的方程为 ，与抛物线方程联立k()ykx方程组得 消去 得2()ypxky22()04kpkxpx若 则 0k2240p122k则 1222pABxk当 时 最小 即 此时 kminAB2pxBAFoyx4三两个定值问题：例：过抛物线 的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为 、2ypx 1x、 、 ，求证： ， 。2x1221421yp证明：联立 消去 y 得 2()ypxk22()0()4kpkxx214px同理消去 y 可得 ；21p斜率为 0 时，直线与抛物线不能有两个交点；斜率不存在时， ， 同样是定值；214x21y从上所述：
6、，21py21p四一个特殊直角问题：过抛物线 的焦点 F 的直线与抛物线交与 A、B 两点，若点 A、B 在抛物线2(0)xP的准线上的射影分别是 ， 求证： 。1AB190A解： 设 A 坐标为（ ， ）B 坐标为（ ， ）1xy2xy，11(,)2py2(,)p, 1FBP12,FPy2Ay又由上题可知 ， 。120FA12y五线段 AB 为定长中点到 y 轴的最小距离问题例：定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 上移动，设点 M 为线段 AB 的中点，2x求点 M 到 y 轴的最小距离。解：抛物线焦点 ,准线 ，设点 A、 B、M 在准线 上的射影分别是 、1(0)4F1:4lxl
7、1A、 ，设点 则1B0(,)xy11()22A又AMx ox Fx yx x A x o Fyx1A1BBA5， ，所以 ，104Mx3AB01342x054x即 的最小值是05点 M 到 y 轴的最小距离是 ，当且仅当 AB 过点4F 是取得最小距离。六一条特殊的平行线例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点 P、Q, 经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，求证：直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。解： 设抛物线的标准方程为 ，设 P、Q 的坐标为 2ypx，1(,)xy2(,)则 PO 的直线坐标为 又1(,)2yx21yxp带入 M 的纵坐标 211PPy又 M 的坐标为 故直线平
8、行于抛物线的对称轴。2211Pyy02y七一个特殊圆例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。证明： 设抛物线的方程为 ，则焦点 ，2ypx(,0)2PF准线 ，设以过焦点的弦为直径的圆Px的圆心， 、在准线 上的射影分别是 l、 、 则1AB1M1ABFAB又 2 ，即 为以为直径的圆的半径，且准线 12MAB1Ml1M命题成立。本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。BAFAyB xFM QPyxx 6八一个特殊值：例：已知抛物线 过焦点 F 弦 AB 被焦点分成 m、n 的两部分，则2ypx 12mnp证明： 假设直线 AB 的斜率
9、不存在 则12mnpnp若 AB 的斜率存在，不妨设斜率为 k 则直线 AB 的方程为设 ，2()pykx1(,)Ay2(,)Bxy则 又 2124pxy12pmx2pnx122()4nmpxx【练习】 （2006 年重庆高考（文）22）对每个正整数 n， 是抛物线 上的点，nyxA,yx42过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点 ，ntsB,（1）试证： （n1）4sx（2）取 ，并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点，求证：n（n1）21 C（1）证明：焦点（0，1）设直线 An Bn 方程为： xky消去 y 得 xky42 042n ns（2）由 则x1 2nx故 在 An 处切线方程为 ，即 类似的， 在 Bny4nnxy42nxyyx42处切线方程为 ，即nsxt242sFBAoyxx 7两式相减得 代入可得2nsx14nxsy则点 1,nC22222 44nnnnn xxsxsxF从而 n nnxxxFCC 112212221 2 112 nnn
