1、 BPABPA y=f(x)BPA DCy=f(x)BPA图(2)图(1) APBy=f(x)C DE F l lFEDCy=f(x)BPA1我们说，在平面上，已知两个定点 A、B，点 P 为平面上一点，从点 P 处观测 A、B 两点所成的角叫张角2若线段 AB 为定长的线段，点 C 为线段 AB 所在的直线外一点，连接 AC，BC，我们称ACB 为线段 AB 的张角AB 叫做张角 ACB所对的张边一、问题的提出：1问题的提出：在平面直角坐标系中，已知 A、B 两定点，求具有某种属性的点 P(如 P 在某函数图象上，又或点 P 的坐标具有某种关系)，使APB 等于已知角2问题解决的方法与步骤：
2、下面以点 P 在某函数 yf(x )的图象上为例来说明特别的，当 AB 与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决(1)以 ABx 轴为例来说明在射线 AB 上取点 D，使 ，则ADPAPBtanPC则APDABP ，则 2AB设 P(m，f(m)，所以 C(m， ) 所以y22()()()()AABDAxfmyxx解方程可求出 m 的值，P 点可求(2)若点线段 AB 与 x 轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角如图：过点 P 作 lx 轴，再分别由 A，B 向 l 引垂线，垂足为 C，D，在 DC 延长线上取点 E，使 BPACDBAx-2xE
3、 FGx-3xx 23 23 CDBA， 在 CD 延长线上取点 F，使 ，则AEPBFPAPBtanACEtanBD可证AEP PFB 则 所以PEABPEAF设 P(m，f(m)，则 PE，PF，与 AE、BF 均可用含 m 的代数式表示，则方程可解，点 P 的坐标可解3对问题的解决提出质疑：以上问题可以过点 P 作 x 轴或 y 轴的平行线 l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m)，所以 C(m， )，所以 ，解方程可求出 mA22()()()()AABADxfyxx的值，P 点可求但当 yf(x) 为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!4抛
4、物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知 A、B 为抛物线 yf (x)上的两定点点 P 在 yf( x)的图象上，若 APB 等于已知角，求点 P 的坐标显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题二、问题准备1 解直角三角形的张角对张边的问题我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角) 三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题
5、称之为解三角形中的“角对张边问题” 如图，在ABC 中，BAC，AD BC ，垂足为 D，设 BDa，CDb，求高 AD DCB ACDB ACDBA如图，在锐角ABC 中，ADBC，垂足为 D，BAC45，若 BD3，CD2求 AD 的长思考一根据图形变换，转换特殊模型解法 1：把ABD 沿 AB 翻折得到ABE，把ACD 沿 AC 翻折得到ACF ABEABD ；ACF ACDAEAD AF，BEBD 3，CF CD2EF 90，BAEBAD，CAFCAD，EAF 2BAC90，延长 EB，FC 相交于 G，则四边形 AEGF 为正方形 设 ADx，则 BGx3，CGx2在 RtBCG 中
6、，由勾股定理可得： 2()()5FGEABDC GF4545EABDC FECDBAEFABDC NFEGCDBA ，解得：x6 或 x1(舍去)， AD 6250x解法 2：以 AD 为边作正方形 ADEF，过点 A 作 AGAB，交 EF 于 G，AGFABD，BDGF2，AG ABBAC45，GACBAC ，又 ACACACGACB， CGBC 5设 ADx，则 EGx 3，CEx2，在Rt CEG 中，由勾股定理得： 22(3)()5x ，解得：x6 或 x1(舍去)， AD 6250解法 3：在射线 DB 上取点 E，使 DEAD，在射线 DC 上取点 F，使 DFAD 则 AEAF
7、，AEF AFE45，EAF 90，把AEB 绕点 A 旋转，使 AE 于 AF 重合，得到AFG ，AFGAEB，FGEB，AG AB ，AFGE45，GAFBAE，BACEAF 90，又BAC 45，GACBAC， ACGACB ，CGBC 5 ，设 ADx，则 FGx 3，CFx2在 RtCED 中，由勾股定理得： 22(3)()x ，解得：x6 或 x1(舍去)， AD 6250思考二：构造一线三等角(M 型)解法 5：在 BC 的延长线上取点 E，使 CEAD，过点 E 作EFCE，使 EFCD，连接 AF，CEFADC，ACFC，CAF45， BAC 45，BAF90，连接 BF，
8、由勾股定理可得： ，22ABF， ，22BEF设 ADx，则 BEx 5， 2(3)()(5)xx ，解得：x6 或 x1(舍去)， AD 620解法 7：过点 B 作 BEAB，交 AC 的延长线于 E，过点 E作 EFBC，垂足为 F，由上题可证EBFBADEFBD 3， ，AEBCSSVV ，2112D设 ADx， ，5(3)x2560x解得：x6 或 x1(舍去)，AD6解法 8：过点 A 作 BC 的平行线，由 B，C 向该平行线引垂线，垂足为 E，F 则 BEADCF，AE BD 3，AFCD 2在 AE 的延长线上截取 EGBE，在 AF 的延长线上截取FNCFBGCN ，GN
9、45，2DGBACN， AGBCNA， ，ABN , 设 ADx，则 BGCN ，ABC 2xAGx 3，AN x 2，(x3)(x2) ，()2560解得：x6 或 x1(舍去)， AD6思考三：把 AD 看作是绕 A 旋转的直线，构造旋转相似解法 12在射线 DC 上截取 DEAD ，连接 AE，延长 AD 到 F，使 DFBD 3BF ，FE45，又BAFCAE，2F EABDC EFOABDC EABDCEDCAPBBCPABAF CAE， ，AF CEBFAE，AFBEC设 ADx，则 AE ，AFx3，CEx2， ， ，(3)2560解得：x6 或 x1(舍去)， AD6思考四：利
10、用三角形外接圆：解法 13：作ABC 的外接圆O，连接 OA，OB ，OC过点 O 作 OEBC，垂足为 EOAOB OC，BOC2BAC90 ， ， 15EBC52AB1D过点 O 作 OFAD，垂足为 F， ,5EF，由勾股定理可得： ，AD672思考六：构造斜射影相似解法 15在射线 DC 上截取 DEAD ，连接 AEE45BAC，又ABECBA ，ABE CBA， ABEC2CE设 ADx，则 BEx 3， 25(3)x ，解得：x6 或 x1(舍去)， AD 6250二、抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知 A、B 是抛物线 yf (x)上的两定点，点 P 在 yf(x)的图
11、象上，若APB 等于已知角，求点 P 的坐标方法与步骤： 第一步；过已知点 A 作 y 轴的平行线，与直线 BP 相交于点 C，构造“于涵定理” 根据“于涵定理”指引我们可求出 的值A第二步：解张角三角形，求出PAC 的函数值在PAC 中，APC 已知(APB 已知) 的值已知，根据PD斜射影可求出 PD、CD、AD 的比，进而求出PAC 的函数值第三步：利用PAC 的函数值求出点的坐标2 二次函数中的“于涵定理”(一) 如何使“于涵定理”合法化第一：当直线 AB 平行于 x 轴时，设二次函数为 ，则 P(x， )2()yahk2ahk设 A(m， )，利用对称轴可得： B(2hm， )，2
12、2(xkBPECDA22()()PCaxhkamhkaADBEx第二：当直线 AB 与二次函数的一个交点已知时，设 A(m，n)在二次函数为 的图象上，过点 A 的直线交二次2yxbc函数于另一点 B，则直线 AB 为 ，()ykx二次函数为 2()yaxmn则 ， ，()0xbkabkx即 B 点坐标可求，进而通过计算可得到 PCADBE如图，直线 AB 与二次函数 相交于 A、B 两点，点 P 为二次函数图象上一点，过点 P2yaxbc作 y 轴的平行线交直线 AB 于 C，分别过 A、B 向 PC 引垂线，垂足为 D、E则 PCADBE ，也a可写成 PADBE特别的，当 ABx 轴时，则 ，也可写出Pa PCaAB PCBADECBPABPECDA BCPA
