1、高考数学导数专题复习考试内容导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值证明不等式恒成立考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题知 识 要 点导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则1.
2、 导数（导函数的简称）的定义：设 0x是函数 )(xfy定义域的一点，如果自变量 x在 0处有增量 x，则函数值 y也引起相应的增量 )(00xff；比值 ffy)(0称为函数 )(xf在点 0到 x之间的平均变化率；如果极限 xfxlimli 000 存在，则称函数 )(fy在点 0x处可导，并把这个极限叫做 )(fy在 处的导数，记作 )(0xf或 0|x，即 )(f=xfxlili 000.注： x是增量，我们也称为“改变量” ，因为 x可正，可负，但不为零.以知函数 )(xfy定义域为 A， )(fy的定义域为 B，则 A与 关系为 BA.2. 函数 在点 0处连续与点 0x处可导的关
3、系：函数 )(xfy在点 处连续是 )(fy在点 0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 )(xfy在点 0处可导，那么 )(xfy点 0处连续.事实上，令 0，则 相当于 x.于是 )()(lim)(li)(lim000 xfffxfxf ).(0)()(limlili 0000 xffxffxf xx 如果 )(xfy点 处连续，那么 )(fy在点 0处可导，是不成立的.例： |在点 0处连续，但在点 x处不可导，因为 xy|，当x0 时， 1xy；当 x0 时， 1y，故 xy0lim不存在.注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义和
4、物理意义：（1）几何意义：函数 )(xfy在点 0处的导数的几何意义就是曲线 )(xfy在点)(,0xf处的切线的斜率，也就是说，曲线 )(xfy在点 P )(,0xf处的切线的斜率是 )(0xf，切线方程为 ).(00xfy（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。4. 求导数的四则运算法则： )(vu )(.)()(.)( 2121 xfxffyxfxffy nn )(cvcv （ 为常数）)0(2 vuu注： vu,必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.例如：设 xxf2sin)(， xg2cos
5、)(，则 )(,xgf在 0处均不可导，但它们和 gco在 0处均可导.5. 复合函数的求导法则： )()( xufxf或 xuxy复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 )(xfy在某个区间内可导，如果 )(xf0，则 )(xfy为增函数；如果 )(xf0，则 f为减函数.常数的判定方法；如果函数 )(xfy在区间 I内恒有 )(xf=0，则 )(xfy为常数.注： 0)(xf是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 32xy在 ),(上并不是都有 )(，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0，同样 0)f是 f（x）递减
6、的充分非必要条件.一般地，如果 f（ x） 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在 0x附近所有的点，都有 )(xf )0f，则)(0f是函数 )(f的极大值，极小值同理）当函数 x在点 0处连续时：如果在 附近的左侧 )(xf0，右侧 )(xf0，那么 )(0xf是极大值；如果在 0x附近的左侧 f0，右侧 f0，那么 f是极小值.也就是说 是极值点的充分条件是 x点两侧导数异号，而不是 )(xf=0 . 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小
7、关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点 0x是可导函数 )(xf的极值点，则 )(xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数 3)(xfy， 使 )(xf=0，但 0x不是极值点.例如：函数 |，在点 0处不可导，但点 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I. 0C（ 为常数） xcos)(sin 21)(arcsinx)(x（ Rn） xxsin)(
8、cos 21)(arcosxII. x1)(ln exaalog1)(l 1)(arctn2xxe)(xln)( )ot(2rIII. 求导的常见方法：常用结论： x1|)(ln.形如 ).(21naaxy或 ).(21nbxbxaay两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如 xy这类函数，如 xy取自然对数之后可变形为 xylnl，对两边求导可得 xxylnln1ln.经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. 是 的导函数，则 的值是 。()fx312fx(1)f解析： ，所以 321f答案：3考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则()yfx(
9、1)Mf， 12yx。(1)f解析：因为 ，所以 ，由切线过点 ，可得点 M 的纵21k2f (1)f，坐标为 ，所以 ，所以55f 31f答案：3例 3.曲线 在点 处的切线方程是 。324yx()，解析： ， 点 处切线的斜率为 ，所 13， 543k以设切线方程为 ，将点 带入切线方程可得 ，所以，bxy5()， 2b过曲线上点 处的切线方程为：(13)， 025yx答案： 025yx点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 C： ，直线 ，且直线 与曲线 C 相切于xxy23kxyl:l点 ，求直线 的方程及切点坐标。0,yxl解析：
10、直线过原点，则 。由点 在曲线 C 上，则0xyk0,yx， 。又 ， 在0230xxy230202632x处曲线 C 的切线斜率为 ，0, 00xxfk，整理得： ，解得： 或2632002 xx 0320x230x（舍） ，此时， ， 。所以，直线 的方程为 ，83y41kly41切点坐标是 。,2答案：直线 的方程为 ，切点坐标是lxy4183,2点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 在 R 上是减函数，求 的取值范围。13
11、2xaxf a解析：函数 的导数为 。对于 都有 时，1632xaf Rx0xf为减函数。由 可得 ，解得xf xa01632 2360a。所以，当 时，函数 对 为减函数。3afx9. 当 时， 。 983132xxf由函数 在 R 上的单调性，可知当 是，函数 对 为减函3yaxfR数。10. 当 时，函数 在 R 上存在增区间。所以，当 时，函数axf 3a在 R 上不是单调递减函数。xf综合（1） （2） （3）可知 。3a答案： a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数 在 及 时取得极值。32()8fxax
12、bc1x2（1）求 a、 b 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围。0， 2()f解析：（1） ，因为函数 在 及 取得极值，则2()63fxaxb()fx12x有 ， 即 ，解得 ， 。()0ff 041， 3a4b（2）由（）可知， ，32()98fxxc。2()6186)fx当 时， ；当 时， ；当 时， 。0， ()0fx(12， ()0fx(23)， ()0fx所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， 。58c8fc98c则当 时， 的最大值为 。因为对于任意的 ，有3x， ()fx(3)9f x，恒成立，2()fc所以 ，解得 或 ，因此 的取值范围为2981c
13、9c。(1)()， ，答案：（1） ， ；（2） 。3a4b(1)()， ，点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 的极值步骤：xf求导数 ；xf求 的根；将 的根在数轴上标出，得出单调区间，由00xf在各区间上取值的正负可确定并求出函数 的极值。xf xf考点六：函数的最值。例 7. 已知 为实数， 。求导数 ；（2）若 ，aaxxf42f 01f求 在区间 上的最大值和最小值。xf2,解析：（1） ， 。xaxf23432axxf（2） ， 。04 f 11 令 ，即 ，解得 或 ， 则 和 在区0x3xx3xff间 上随 的变化情况如下表：,x21,34,12,34f 0 0 x
14、0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0， 。所以， 在区间 上的最大值为 ，291f 27534f xf2,27534f最小值为 。f答案：（1） ；（2）最大值为 ，最小值为432axxf 275034f。29f点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 在区间 上的最xfba,值，要先求出函数 在区间 上的极值，然后与 和 进行比较，xfba,从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8. 设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线3()fxc(0)(1,)f与直线 垂直，导函数 的最小值为 。 （1）求 ， ， 的值；670yfx2abc（2）求函数 的单调递增区间，
15、并求函数 在 上的最大值和最小()fx()fx,3值。解析： （1） 为奇函数， ，即()f()(fxf33axbcaxbc ， 的最小值为 ， ，又直线02()f12b的斜率为 ，因此，67xy16， ， ， (1)3fab2ab0c（2） 。 ，列表如下：321xx2()16(2)fxxx(,2)(2,)(2,)f00(x增函数 极大 减函数 极小 增函数所以函数 的单调增区间是 和 ， ，()f (,2)(,)(1)0f， ， 在 上的最大值是 ，最小值是(2)8f318)fx1338。答案：（1） ， ， ；（2）最大值是 ，最小值是ab0c()1f。(2)8f点评：本题考查函数的奇偶
16、性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练1. 选择题1. 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）24xy12A1 B2 C3 D42. 曲线 在点（1，1）处的切线方程为 （ ）3xA B C D4y2xy3xy5xy3. 函数 在 处的导数等于 （ D ）)(2xA1 B2 C3 D44. 已知函数 的解析式可能为 （ )(,31)( xff 则处 的 导 数 为在 ）A B)()(2xxf )1(2)xfC D11f5. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 =（ ）93)(23xaxf )(xf3a（A）2 （B）3 （C）4 （
17、D）56. 函数 是减函数的区间为( )32()1fx（） （） （） （）2,(,0)(,2)7. 若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ cbxf2 xf）8. 函数 在区间 上的最大值是（ ）231()fxx0,6A B C D32 1299. 函数 的极大值为 ，极小值为 ，则 为 （ ）xy3mnmA0 B1 C2 D410. 三次函数 在 内是增函数，则 （ ）af3,xA B C D 01a31a11. 在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数xy834的点的个数是 （ ）A3 B2 C1 D012. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图
18、所示，)(xf ),(ba)(xf,ba则函数 在开区间 内有极小值),(点（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个xyoAxyoDxyoCxyoBabxy)(xfO 2. 填空题13. 曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为3xy1,x2x_。14. 已知曲线 ，则过点 “改为在点 ”的切线方程是34(,4)P(,4)P_15. 已知 是对函数 连续进行 n 次求导，若 ，对于任意()nfx()fx 65()fx，都有 =0，则 n 的最少值为 。xR()16. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为 万元，要使一年
19、的总运费与总存储费用之和最小，则4x吨3. 解答题17. 已知函数 ，当 时，取得极大值 7；当 时，cbxaxf23 13x取得极小值求这个极小值及 的值,18. 已知函数 .93)(2axxf（1）求 的单调减区间；x（2）若 在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 .)(f19. 设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象的一个tt cbxgaxf 23)()(与公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线。（1）用 表示 ；tcba,（2）若函数 在（1，3）上单调递减，求 的取值范围。)(xgfy t20. 设函数 ，已知 是奇函数。32()fxbcxR()()gxfx（
20、1）求 、 的值。bc（2）求 的单调区间与极值。()g21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点321()fxaxb1)， (3，（1）求 的最大值；24ab（1） 当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点8()yfx()Af， l处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，A()f ()yfx经过点 时，从 的一侧进入另一侧） ，求函数 的表达式l ()fx强化训练答案：1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.
21、A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A4. 填空题13. 14. 15. 7 16. 203804xy5. 解答题17. 解： 。baf2据题意，1，3 是方程 的两个根，由韦达定理得032x312ba 9,a cxxf23 ，71极小值 253932f极小值为25， ， 。,bac18. 解：（1） 令 ，解得.6)(2xxf 0)(xf ,31x或所以函数 的单调递减区间为 .,31,（2）因为 218)2( af ,28)( af 所以 因为在（1，3）上 ，所以 在1，2上.0x)(xf单调递增，又由于 在2，1上单调递减，因此 和 分别是)(xf 在区间 上的最大值和最小值
22、 .于是有 ，解得)(xf, 2a.2a故 因此.932xxf ,7931)(f即函数 在区间 上的最小值为7.)(,19. 解：（1）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0） ，所以 ，)(xfgt0)(tf即 .因为 所以 . 03at,t2ta.,)(2abcbt所 以即又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以)(xfgt )(tgf而 .23,2)(,32 ttbx 所 以将 代入上式得 因此 故 ， ，ta.t.3ac2ttb.3tc（2） .)(,)( 2323 xxytxxgfy 当 时，函数 单调递减.0)(3txy )(xgfy由 ，若 ；若0tx3,则 3,0tt则由题意
23、，函数 在（1，3）上单调递减，则)(gfy所以.,(),()3,1( tt或 .9.tttt 或即或又当 时，函数 在（1， 3）上单调递减.9)(xfy所以 的取值范围为t .,39,(20. 解：（1） ， 。从而32fxbcx23fxbc 是()()()gxf c2()()bxc一个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ；0g（2）由（）知 ，从而 ，由此可知，36x26gx和 是函数 是单调递增区间；(,)(2,)()是函数 是单调递减区间；在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小gx4()gx2值，极小值为 。421. 解：设长方体的宽为 （m） ，则长为 (m)，高为x2
24、.30()35.4128xh故长方体的体积为 23069.232xxxxV从而 ).1(8)5.4(18)(2令 ，解得 （舍去）或 ，因此 .0x0xx1x当 时， ；当 时， ，V230V故在 处 取得极大值，并且这个极大值就是 的最大值。1x x从而最大体积 ，此时长方体的长为 2 m，高为32169 mx1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 。3m22. 解：（1）因为函数 在区间 ， 内分别有一321()fxaxb1)， (3，个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根，2()fab0)， (3，设两实根为 （ ） ，则
25、，且 于是12x， 12x2214x2104x， ，且当 ，即 ， 时等204ab 046 ， 2a3b号成立故 的最大值是 16（2）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是(1)fab()fx1()f， l，即 ，(1)yfx23ya因为切线 在点 处空过 的图象，l()Af， ()fx所以 在 两边附近的函数值异号，则1()12gxfabx不是 的极值点1而 ，且()x32()3xxa2 211()1)gabxa若 ，则 和 都是 的极值点1xag所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 2248b32()fxx解法二：同解法一得 21()(1)3gxfxa213()(132ax因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的l)Af， ()yfx()gx1函数值异号，于是存在 （ ） 12m， 12当 时， ，当 时， ；1mx()0gxx()0x或当 时， ，当 时， 2g设 ，则23()12ahxx当 时， ，当 时， ；1mx()0hx21xm()0hx或当 时， ，当 时， 由 知 是 的一个极值点，则 ，()0hx() 3(1)02a所以 ，又由 ，得 ，故 2a248abfxx
