1、1专题二 数列【考纲解读】1. 内容解读理解数列的定义及数列的分类，了解数列通项公式的意义。能根据递推公式写出数列的前几项，理解 an 与 sn 之间的关系。理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式。综合运用数列，特别是等差、等比数列的性质解决数列综合问题和实际问题。2. 能力解读培养观察能力、化归能力，会根据数列的前几项，通过观察，找出规律，写出数列的通项公式。把某些数列能转化为等差数列来解决，将非等比数列变形为等比数列，运用方程思想、分类思想（对公比）解决与等比数列有关的问题。学会数列有关等式的变形方法。提高
2、探索、猜想能力。【命题趋势】1. 热点预测：2012 年高考对数列的概念及表示的考查将主要是求通项公式、前 n 项和公式以及 an与 sn 之间的关系，以客观题为主，也有可能出现在解答题中的某一步；对于等差数列，仍着重考查学生对等差数列的概念、性质的掌握以及灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力，各种题型均有；而等比数列中，仍侧重于对等比数列的定义、通项及前 n项和的基本应用，也会考查等比数列与等差数列、函数、不等式的综合应用，主、客观题目都会出现。2. 趋势分析：数列的概念及表示在高考试题中出现频率并不高，概念创新、数列的前 n 项和 sn 与an 之间的关系的考查是命题的重点；以等
3、差数列的基础知识和等比数列的性质、公式运用与计算等基本能力为主，与函数、不等式结合是 2012 年高考命题的主要趋势；以求通项为核心，用基本方法对数列求和，将还是重点。数列的应用题以及数列与函数等的综合命题趋势较强，2012 年高考复习予以高度关注。知识回顾一. 两种基本数列的概念，公式与性质 1等差数列的概念及通项公式(1)定义：a na n1 d(d 为常数 )2a na n1 a n1 (n2，nN *)；(2)通项公式：a na 1(n1)da nanb(ad，ba 1d) 2等差数列的性质(1)ana m( nm)d，d ；am anm n(2)mnlka ma na la k(反之
4、不一定成立) ；特别地，当 mn2p 时，有ama n2a p；(3)若a n、 bn是等差数列，则ka ntb n(k、t 是非零常数)是等差数列；(4)等差数列中 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，(注：各项均不为 0)仍是等差数列23等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 dS nAn 2Bn( A ，Ba 1 ，n0) na1 an2 nn 12 d2 d24等比数列的概念及通项公式(1)定义： q(q0)a a n1 an1 (n2，nN *)；an 1an 2n(2)通项公式：a na 1qn1 a na qn(a ，q0)a1q5.等比数列前 n 项和公式Snna 1 (
5、q=1)()nsq6等比数列的性质(1)ana mqnm ；(2)若a n、 bn是等比数列，则ka n、a nbn等也是等比数列；(3)mnlka mana lak；(4)等比数列中 Sm，S 2mS m， S3mS 2m，(注：各项均不为 0)仍是等比数列；(5)等比数列a n中当项数为 2n 时， q；项数为 2n1 时， q.S偶S奇 S奇 a1S偶7数列求和的常用方法(1)公式法：等差数列求和公式( 三种形式)，等比数列求和公式(三种形式) ，123n n(n1)，135(2n1) n 2,135(2 n1)(n1) 2.12(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“ 和
6、式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中间到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 项和公式的推导方法) (4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法之一) (5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有： ，1nn 1 1n 1n 1 ( )1nn k 1k1n 1n k第一讲 等差数列3例题 1 (2011.四川)
7、 数列 的首项为 3，b n为等差数列且 bn=an+1-an(nN *), 若 b3=-2, nab10=12, a8 = ( )A. 0 B. 3 C. 8 D. 11变式训练：1. 为等差数列，且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d =（ ）nA. B. -2 C. D. 21212.已知 为等差数列，a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,则 a20 等于（ ）naA. -1 B. 1 C. 3 D. 73.（2011.湖北） 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则
8、第 5 节的容积为（ ）A. 1 升 B. 升 C. 升 D. 升674例题 2 (2011.全国) 设 sn 为等差数列 的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2, sk+2-sk=24,则ak=（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5变式训练：1. 设 为等差数列，公差 d=-2, sn 为其前 n 项和. 若 s10=s11，则 a1=( )naA. 18 B. 20 C. 22 D. 242. 记等差数列 的前 n 项和为 sn. 设 s3=12，且 2a1, a2, a3+1 成等比数列，求 sn.例题 3 已知等差数列 满足 的前 项和为 。na.6,7753anns求 的通
9、项公式na变式训练: 已知数列 是公差不为零的等差数列， 且 成等比数列。na,1a93,a求数列 的通项公式 ；na专题第二讲 等比数列4例题 1. 设 sn 等比数列 的前 n 项和，已知 3s3=a4-2, 3s2=a3-2，则公比 q=（ ）aA. 3 B. 4 C. 5 D. 6变式训练：1.已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 2122. (2011.广东)已知 是递增等比数列，a 2=2, a4-a3=4, 则此数列的公比 q=.n例题 2. (2011.全国)设等比数列 的前 n 项和为 sn，已知 a2=6, 6a1+a3=30，求 an 和 sn.变
10、式训练：1.（2011.湖北）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上2，5, 13 后成为等比数列bn中的 b3, b4, b5.（1） 求数列bn的通项公式；（2） 数列bn的前 n 项和为 sn，求证：数列 是等比数列 .4ns2. 已知等比数列 中，a 1= , 公比 q= .n31（1） sn 为 的前 n 项和，证明： = .ns2a（2） 设 bn= 3a1+ 3a2+ 3an，求数列bn的通项公式 .例题 3 已知数列 中， 是其前 项和，且 。nans 1),(24*1aNnasn（1）设数列 求证：数列 是等比数列；),(2*1Nb b（2）设数列 ，求证：
11、数列 是等差数列；*ncn nc练习 3 数列 的前 项和 ，点 在直线 上。nans)(*N),(nsanxy32（1）若数列 为等比数列，求常数 的值；cc（2）求数列 的通项公式 ；nna5第三讲 数列的通项公式与求和例题 4 设数列a n的前 n 项和为 sn，若 s9=72，则 a2+a4+a9=( )1. 等比数列a n的前 n 项和为 sn，已知 s1, s3, s2 成等差数列（1） 求a n的公比 q（2） 当 a1-a3=3，求 sn2. 等比数列a n中，已知 a1=2，a 4=16（1） 求数列a n的通项公式；（2） 若 a3,a5 分别为等差数列b n的第 3 项和
12、第 5 项，试求b n的通项公式及前项和 sn例题 5. 数列 中， 是常数， ,且 成公n caan(,211.)3,21321,a比不为 1 的等比数列。（1） 求 的值；c（2） 求 的通项公式 。nn变式训练: 设数列 满足na.23,2111nna求数列 的通项公式 ；练习：1.设各项均为正数的数列 的前 项和 。已知 数列 是公差为nans,231ans的等差数列。d求数列 的通项公式 (用 表示)；nand,2. 已知函数 数列 的前 项和 ，点 均在函数,231)(xxfnans)(*N),(ns的图象上。求数列 的通项公式 ；nana63. 已知数列 的前 项和 满足nans
13、).(12*Nna求数列 的通项公式例题 5. 设数列 的前 项和为 ,数列bn为等差数列，且na14(*)nnsN121,().bab(1) 求数列 和bn的通项公式；n(2) 设 ，求数列 的前 n 项和 Tncc变式训练：1.已知数列 的前 项和为 ，等差数列bn中， ,且 , nans201T2315b又 成等比数列.123,abb(1) 求数列 的通项公式；n(2) 求数列 的前 n 项和 Tn.2.数列 的前 项和为 ， ，点 在直线 上，nans1at1(,)nsa21yx*nN（1） 当实数 t 为何值时，数列 是等比数列？（2） 在（1）的结论下，设 ，T n.是数列 的前
14、n 项和，求 的31lognnba1nb 201T值.7数 列 的 综 合 应 用 一 、 选 择 题 1 (201年 高 考 天 津 卷 )已 知 an为 等 差 数 列 ， 其 公 差 为 2， 且 a7是 a3与 a9的 等 比 中 项 ， Sn为 an的 前 n项 和 ， n N*， 则 S10的 值 为 ( ) A 10 B 90 C 90 D 10 2 (201年 高 考 四 川 卷 )数 列 an的 首 项 为 3， bn为 等 差 数 列 且 bn an 1 an() N*.若 b3 2， b10 12， 则 a8 ( ) A 0 B 3 C 8 D 1 3 (201年 高 考
15、 江 西 卷 )已 知 数 列 an的 前 n项 和 Sn满 足 ： Sn Sm Sn m，且 a1 ， 那 么 a10 ( ) A 1 B 9 C 10 D 5 4. 设 Sn为 等 比 数 列 an的 前 n项 和 ， 280a， 则 52S=（ ） A. -1 B. -8 C. 5 D. 1 5. 已 知 正 项 等 比 数 列 an满 足 ： 6， 若 存 在 两 项 ,mna使 得 14mna， 则 4的 最 小 值 为 （ ） A. 32 B. 53 C. 256 D. 不 存 在 二 、 填 空 题 6 (201年 高 考 重 庆 卷 )在 等 差 数 列 an中 ， a3 a7
16、 37， 则 a2 a4 a6a8 _. 7 (201年 高 考 北 京 卷 )在 等 比 数 列 an中 ， 若 a1 2， a4 4， 则 公 比 q _； |a1| |a2| |an| _. 8 (201年 高 考 山 东 卷 )设 函 数 f(x) xx 2(x0)， 观 察 ： 8f1(x)f (x) ，xx 2f2(x)f (f1(x) ，x3x 4f3(x)f (f2(x) ，x7x 8f4(x)f (f3(x) ，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_.9(2011 年高考江苏卷)设 1a 1a 2a 7，其中
17、a1， a3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a2，a 4，a 6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_10(2011 年高考湖南卷)设 Sn是等差数列a n(nN *)的前 n 项和，且 a11，a 47，则S5_.11(2011 年高考陕西卷)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_米12(2011 年高考广东卷)等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a11，a ka 40，则 k_.三、解答题13(20
18、11 年高考辽宁卷)已知等差数列a n满足 a20，a 6a 810.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 114(2011 年高考安徽卷)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 (n2)个数构成递增的等比数列，将这(n2)个数的乘积记作 Tn，再令 anlg T n，n1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bntana ntanan1 ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.915(2011 年高考湖北卷)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足：a1a ，a n1 rS n .(a 0) (n N*，r R，r 1)求数列a n的通项公式；(
19、1)若存在 kN *，使得 Sk1 ， Sk，S k2 成等差数列，试判断：对于任意的 mN *，且(2)m2，a m1 ，a m，a m2 是否成等差数列，并证明你的结论16(2011 年高考浙江卷)已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1 为 a(aR )，设数列的前 n 项和为 Sn，且 ， ， 成等比数列1a1 1a2 1a4(1)求数列a n的通项公式及 Sn；(2)记 An ，B n ，当 n2 时，试比较 An1S1 1S2 1S3 1Sn 1a1 1a2 1a22 1a2n 1与 Bn的大小17(2011 年高考江苏卷)设 M 为部分正整数组成的集合，数列a n的首项 a11，前 n 项和为 Sn.已知对任意的整数 kM，当整数 nk 时，S nk S nk 2(S nS k)都成立(1)设 M1，a 22，求 a5 的值；(2)设 M3,4，求数列a n的通项公式18(2011 年高考山东卷)等比数列a n中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b na n( 1) nln an，求数列b n的前 n 项和 Sn.10
