1、专题二 万能答题模板助你解题得高分数学解答题题型解读数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块
2、中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分模板 1 三角函数的性质问题例 1 已知函数 f(x)cos 2 ，g(x)1 sin 2x. (x 12) 12(1)设 xx 0 是函数 yf(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值；(2)求函数 h(x)f( x)g( x)的单调递增区间审题破题 (1)由 xx 0 是 yf(x)的对称轴可得 g(x0)取到 f(x)的最值；(2) 将 h(x)化成yAsin( x)的形式解 (1)f(x) ，121 cos(2x 6)因为 xx 0 是函数 yf(
3、x)图象的一条对称轴，所以 2x0 k (kZ)，6即 2x0k (kZ)6所以 g(x0)1 sin 2x01 sin ，kZ .12 12 (k 6)当 k 为偶数时，g( x0)1 sin 1 .12 ( 6) 14 34当 k 为奇数时，g( x0)1 sin 1 .12 6 14 54(2)h(x)f(x) g( x) 1cos 1 sin 2x12 (2x 6) 12 12( 32cos 2x 12sin 2x) 32 sin .12 (2x 3) 32当 2k 2x 2k (kZ)，2 3 2即 k xk (kZ)时，512 12函数 h(x) sin 是增函数12 (2x 3)
4、 32故函数 h(x)的单调递增区间为(kZ)k 512，k 12第一步：三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x )h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；第二步：由 ysin x、y cos x 的性质，将 x 看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数 值的范围， 规范写出 结果；第四步：反思回顾，检查公式使用是否有 误， 结果估算是否有 误跟踪训练 1 已知函数 f(x)2cos xsin sin2xsin xcos x1.(x 3) 3(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数 f(
5、x)的单调递增区间解 f(x )2cos x sin2xsin xcos x1(12sin x 32cos x) 32sin x cos x (cos2xsin 2x)13sin 2x cos 2x132sin 1.(2x 3)(1)函数 f(x)的最小正周期 为 .22(2)1sin 1，(2x 3)12sin 13.(2x 3)当 2x 2k，kZ，即 x k ，kZ 时， f(x)取得最大值 3；3 2 12当 2x 2k，kZ，即 x k，k Z 时，f (x)取得最小值1.3 2 512(3)由 2k2x 2k，k Z，2 3 2得 kx k，k Z.512 12函数 f(x)的单调
6、递增区间为 (kZ ) 512 k，12 k模板 2 三角函数与向量、三角形例 2 在锐角ABC 中，已知内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，且 (tan Atan B)31tan Atan B，又已知向量 m(sin A，cos A)，n (cos B，sin B)，求|3m 2n|的取值范围审题破题 由已知 A，B 关系式化简，利用向量的数量 积求出 |3m2n| 并化简为一个角的三角函数形式解 因为 (tan Atan B) 1tan Atan B，3所以 ，即 tan(AB) ，tan A tan B1 tan Atan B 33 33又ABC 为锐角三角形，则 00，且 a
7、1) 的图象上的一点等比数列a n的 (1，13)前 n 项和为 f(n)c.数列b n (bn0)的首项为 c，且前 n 项和 Sn满足 SnS n1 Sn(n2) Sn 1(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)若数列 的前 n 项和为 Tn，问满足 Tn 的最小正整数 n 是多少？1bnbn 1 1 0012 012解 (1)f(1)a ，f(x) x.13 (13)由题意知，a 1f(1) c c，13a2f(2) c f(1)c ，29a3f(3) c f(2)c .227又数列a n是等比数列，a 1 c， c1.a2a3481 227 23 13又公比 q ，a n n1a2
8、a1 13 23(13)2 n (nN *)(13)S nS n1 ( )( )Sn Sn 1 Sn Sn 1 (n2)Sn Sn 1又 bn0， 0， 1.Sn Sn Sn 1数列 构成一个首项为 1、公差 为 1 的等差数列，Sn 1(n1)1n，即 Snn 2.Sn当 n2 时，b nS nS n1 n 2(n1) 22n1，当 n1 时，b 11 也适合此通 项公式b n2n1 (nN *)(2)Tn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1 113 135 157 12n 12n 1 12 (1 13) 12 (13 15) 12 (15 17) 12 ( 12n 1 12
9、n 1) .12 (1 12n 1) n2n 1由 Tn ，得 n ，n2n 11 0012 012 1 00110满足 Tn 的最小正整数 n 的值为 101.1 0012 012模板 6 概率与统计问题例 6 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米 )有关据统计，当 X70 时，Y460；X 每增加 10，Y增加 5.已知近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成下列频率
10、分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率120 420 220(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率 ， 求 今 年 六 月 份 该 水 力 发 电 站 的 发 电 量 低 于 490(万 千 瓦 时 )或 超 过 530(万 千 瓦 时 )的 概 率 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算解 (1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，160 毫米的有 7 个，200 毫米的有 3个故近 2
11、0 年六月份降雨量频 率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220频率120 320 420 720 320 220(2)由题意知，当 X70 时，Y 460；X 每增加 10，Y 增加 5，故 Y4605 425.X 7010 X2P(“发电量低于 490 万千瓦时 或超过 530 万千瓦时”)P(Y530)P(X 210)P(X 70)P(X110) P(X220) .120 320 220 310故 今 年 六 月 份 该 水 力 发 电 站 的 发 电 量 低 于 490(万 千 瓦 时 )或 超 过 530(万 千 瓦 时 )的 概 率 为 .310第一步：理解题目
12、中的数据和变量的意义，完成 频率分布表；第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.跟踪训练 6 (2013陕西)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6(2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持
13、1 号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率解 (1)由题设知，分 层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1，a2，a3，其中 a1，a2 支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6 个评委为 b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2 支持 1 号歌手从a 1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取 1 人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1
14、 号歌手的有 a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共 4 种，故所求概率 P .418 29模板 7 圆锥曲线的定点问题例 7 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为 e .222(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使 MP 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由MQ 审题破题 (1)利用待定系数法求 E 的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明解 (1)设椭圆 E 的方程为 1(ab0)，x2a2 y
15、2b2由已知得 解得所以 b2a 2c 21.所以椭圆 E 的方程为 y 2 1.x22(2)假设存在符合条件的点 M(m,0)，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 (x 1m，y 1)， (x 2m ，y2)， ( x1m)(x 2m)y 1y2x 1x2m(x 1x 2)MP MQ MP MQ m 2y 1y2.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1) ，由 得 x22k 2(x1) 220，即(2k 2 1)x2 4k2x2k 220，则 x1x 2 ，x1x2 ，4k22k2 1 2k2 22k2 1y1y2k 2(x11)( x21)k 2x1x2(x 1
16、x 2)1 ，k22k2 1所以 m m 2MP MQ 2k2 22k2 1 4k22k2 1 k22k2 1 .2m2 4m 1k2 m2 22k2 1因为对于任意的 k 值， 为定值，MP MQ 所以 2m24m12(m 22)，得 m .54所以 M ，此时， .(54，0) MP MQ 716当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，则 x1x 22，x 1x21，y 1y2 ，12由 m ，得 .54 MP MQ 716综上，符合条件的点 M 存在，且坐标为 .(54，0)第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引 进相关参数 .一般地，引 进的参数是直线的夹角、直线的
17、斜率或直 线的截距等； 第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出 对应的动态直 线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将 动态的直 线方程转化成 yy 0kx x0的形式，则 kR 时直线恒过定点x 0，y0；若是动态的曲线方程，将 动态的曲线方程转化成 fx，ygx，y0 的形式，则 R 时曲线恒过的定点即是 fx，y0 与 gx，y0 的交点； 第四步：下结论； 第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定 值问题时 ，引 进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目 标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练 7 已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l
18、 过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的斜率；3(2)设 A， B 为抛物线上的两点，且直线 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值(1)解 由已知得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k(x4) ，由 题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点 F 到直线 l 的距离为 ，所以 ，3|3k|1 k2 3解得 k ，所以直线 l 的斜率为 .22 22(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线 AB 不与 x 轴垂直，所以 AB
19、斜率存在，所以直线 MN 的斜率为 ，直线 AB 的斜率为 ，y0x0 4 4 x0y0直线 AB 的方程为 yy 0 (xx 0)，4 x0y0联立方程得消去 x，得 y2y 0yy x 0(x04) 0，(1 x04) 20所以 y1y 2 ，4y04 x0因为 N 为线段 AB 的中点，所以 y 0，即 y 0，y1 y22 2y04 x0所以 x02.即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.模板 8 圆锥曲线中的范围、最值问题例 8 已知双曲线 1( a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点( a,0)和(0，b) ，且点(1,0)到x2a2 y2b2直线 l 的距离与点(1,0) 到
20、直线 l 的距离之和 s c，求双曲线的离心率 e 的取值范围45审题破题 用 a，b 表示 s 可得关于 a，b，c 的不等式，进而转化成关于 e 的不等式，求 e的范围解 设直线 l 的方程为 1，即 bxayab0.xa yb由点到直线的距离公式，且 a1，得到点 (1,0)到直线 l 的距离 d1 ，ba 1a2 b2同理可得点(1,0)到直线 l 的距离 为 d2 ，ba 1a2 b2于是 sd 1d 2 .2aba2 b2 2abc由 s c，得 c，即 5a 2c 2，45 2abc 45 c2 a2可得 5 2e 2，即 4e425e 2250，e2 1解得 e 25.54由于
21、 e1，故所求 e 的取值范围是 .52，5第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式； 第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集； 第三步：下结论.根据不等式的解集，并 结合圆锥曲线中几何量的范 围，得到所求参数的取值范围； 第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范 围， 圆锥曲线的定义 中的 a，b，c 的大小关系等.跟踪训练 8 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，直线222l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且 3 .AP PB
22、(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围解 (1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，y2a2 x2b2设 c0，c2a 2b 2，由题意，知 2b ， ，所以 a1， bc .2ca 22 22故椭圆 C 的方程为 y2 1，即 y22x 21.x212(2)设直线 l 的方程为 ykx m(k0) ，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(k 22)x 22kmx(m 21) 0，(2km) 24( k22)(m 21) 4(k 22m 22)0，(*)x1x 2 ，x1x2 . 2kmk2 2 m2 1k2 2因为 3 ，所以x 13x 2，
23、AP PB 所以所以 3(x1x 2)24x 1x20.所以 3 24 0.( 2kmk2 2) m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220，即 k2(4m21)(2m 22)0.当 m2 时，上式不成立；14当 m2 时，k 2 ，14 2 2m24m2 1由(*)式，得 k22m22，又 k0，所以 k2 0.2 2m24m2 1解得10f(x) 1 (x0) ax 2a2x2根据题意，有 f(1) 2，所以 2a2a30，解得 a 1 或 a .32(2)解 f(x) 1ax 2a2x2 x2 ax 2a2x2 (x0)x ax 2ax2当 a0 时，因 为 x0，由 f(x
24、)0 得(xa)(x2a)0，解得 xa；由 f(x )0，由 f(x )0 得(xa)(x2a)0，解得 x2a；由 f(x )0，使得| g(x)g( x0)|0 成立？若存在，求出 x0 的取值范围；1x若不存在，请说明理由审题破题 (1)先求出 f(x)，再求 g(x)，然后讨论 g(x)的单调区间，最 值；(2) 可构造函数 h(x)g(x)g ，通过 g(x)的单调 性比较 g(x)，g 的大小；(3)对任意 x0 若不存在 x0，只需(1x) (1x)取一特殊值即可；若存在 x0，一般利用最值解决解 (1)由题设易知 f(x)ln x，g(x)ln x ，g( x) ，令 g(
25、x)0，得 x1，1x x 1x2当 x(0,1)时，g(x )0.故(1，) 是 g(x)的单调增区间，因此，x1 是 g(x)的唯一极值点，且 为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 g(1)1.(2)g ln x x，(1x)设 h(x)g(x) g 2ln xx ，(1x) 1x则 h(x) ，x 12x2当 x1 时，h(1)0，即 g(x) g ，(1x)当 x(0,1)(1，)时，h(x)h(1)0，即 g(x)g ，(1x)当 x1 时，h( x)0，使|g(x )g(x 0)|0 成立，即对任意 x0，1x有 ln x0，使|g(x) g( x0)|0 成立1x第一步：构造
26、函数 hxgx g ；(1x)第二步：根据求单调性、极值的步 骤探求函数 hx的单调性；第三步：根据 hx的单调性比 较 hx和 0 的大小；第四步：下结论，反思回顾.跟踪训练 10 已知函数 f(x)ax 2bxc ln x.(1)当 ab 时，若函数 f(x)在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 f(x)在 x ，x1 处取得极值，且 f(1)1，若对任意的 x ，f(x) m12 14，2恒成立，求 m 的取值范围 (参考数据：e2.7)解 (1)ab 时， f(x)ax 2 axcln x，f(x )2axa (x0)1x 2ax2 ax 1x当 a0 时，f(x
27、) 0，此时 f(x)在(0 ， ) 上单调递增；1x当 a0 时，x0，2ax 2ax10， f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当 a0，故在 14， )(0，) 上，函数 g(x)的符号不确定，即此时 f( x)的符号不确定，函数 f(x)在(0， )上不单调综上可知，a 的取值范围是0，) (2)f(x) 在 x ，x1 处取得极值，12f(1)f 0，(12)即Error! ，Error!，即 f(x ) ，2x2 3x 1x 2x 1x 1x且 f(x)x 23xc ln x .又f(1)1，13c1，得 c1，f(x)x 23x1ln x.当 x 时，f(x)0 ，14，12)函数 f(x)在 上单调递增；14，12)当 x 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,2 上单调递增f(x) 极大值 f 1 ln ln 2，(12) 14 32 12 14而 f(2)1ln 2，f(2) f ln 4(12) 34ln 4ln e ，由于 4ee ，故 f(2)f ，(12)f(x) max1ln 2，m 1ln 2.34 34
