1、【名师解析】江西省红色六校 2015 届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）（2015江西二模）复数 z= （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）A i B i C i D i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：z= = ，z 的共轭复数为i故选：B【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5 分）（2015江西二模）设集合 M=x|y2=3x，xR，N=y|x 2+y2=4，x R，yR，则MN等于（
2、 ）A B C （1， ），（1， ） D 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出 M 中 x 的范围确定出 M，求出 N 中 y 的范围确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解析】： 解：根据题意得：M=R，N= ，则 MN=故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5 分）（2012黑龙江）已知 0，0 ，直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴，则 =（ ）A B C D 【考点】： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 计算题【分析】： 通过函数的对称轴求出函数的周期，利
3、用对称轴以及 的范围，确定 的值即可【解析】： 解：因为直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin（x+ ）图象的两条相邻的对称轴，所以 T= =2所以 =1，并且 sin（ +）与 sin（ +）分别是最大值与最小值，0 ，所以 = 故选 A【点评】： 本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力4（5 分）（2015江西二模）若幂函数 f（x）=mx 的图象经过点 A（ ， ），则它在点 A处的切线方程是（ ）A 2xy=0 B 2x+y=0 C 4x4y+1=0 D 4x+4y+1=0【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
4、【专题】： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】： 由幂函数的定义，可得 m=1，运用代入法，可得 f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程【解析】： 解：因为 f（x）=mx 为幂函数，故 m=1，又图象经过点 A（ ， ），则有 = ，则 = ，即有 f（x）= 则 f（x ）= ，则 f（x）在点 A 处的切线斜率为 =1，则有切线方程为 y =x ，即为 4x4y+1=0故选：C【点评】： 本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键5（5 分）（2015江西二模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该
5、几何体的表面积为（ ）A 10+96 B 9+96 C 8+96 D 9+80【考点】： 由三视图求面积、体积【分析】： 由三视图知几何体为一个正方体和一个圆柱的组合体，根据三视图的数据求出正方体表面积和圆柱的侧面积，再相加可得答案【解析】： 解：由三视图知几何体为一个正方体与一个圆柱的组合体，其中圆柱的直径为 2，高为 4，S 侧面积 =214=8，正方体的边长为 4，S 正方体 =642=96，几何体的表面积 S=8+96故选 C【点评】： 本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量6（5 分）（2015江西二模）阅读右边程序框图，为使输出
6、的数据为 30，则判断框中应填入的条件为（ ）A i4 B i5 C i6 D i7【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【解析】： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 0 1 第一圈 2 2 是第二圈 6 3 是第三圈 14 4 是第四圈 30 5 否所以当 i4时输出的数据为 30，故选 A【点评】： 本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力
7、，属于基础题7（5 分）（2015江西二模）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 的值为（ ）A B C D 【考点】： 任意角的三角函数的定义【专题】： 三角函数的求值【分析】： 由条件利用任意角的三角函数的定义可得 tan=2，再利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得 的值【解析】： 解：由题意可得，tan=2， = sin2+ cos2= = = = ，故选：D【点评】： 本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题8（5 分）（2015江西二模）设变量 x，y 满足： ，则 z=|x3y
8、|的最大值为（ ）A 3 B 8 C D 【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】： 由题意作出其平面区域，m= 表示了区域内的点到直线 x3y=0 的距离；而m 取得最大值时 z 也取得最大值；从而求解【解析】： 解：由题意作出其平面区域，m= 表示了区域内的点到直线 x3y=0 的距离；而 m 取得最大值时 z 也取得最大值；当取点 A（2，2）时，m 取得最大值；故 z=|x3y|的最大值为|232|=8；故选 B【点评】： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题9（5 分）（2015江西二模）在ABC 中，AB=4，ABC=30，D 是
9、边 BC 上的一点，且 = ，则 的值为（ ）A 0 B 4 C 8 D 4【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 将已知等式 = 变形得到 ADBC，得到 AD 的长度，然后利用向量的数量积解答【解析】： 解：因为 = ，所以 ，即 =0，所以 ADBC，又 ABC=30所以BAD=60，AD=ABcosBAD=2 ，所以 =24cos60=4；故选 B【点评】： 本题考查了向量的运算以及向量垂直的判断、数量积公式的运用；属于基础题10（5 分）（2015江西二模）已知函数 f（x）= 若数列a n满足an=f（n）（nN +），且a n是递增数列，则实数 a
10、的取值范围是（ ）A 内随机取两个数 a、b，则使得函数 f（x）=x 2+ax+b2 有零点的概率为 【考点】： 几何概型【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 根据题意，以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形 OABC 及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数 f（x）=x2+ax+b2 有零点时满足 a2b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线 a2b=0 的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率【解析】： 解：两个数 a、b 在区间内随地机取，以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所
11、示直角坐标系，可得对应的点（a，b）在如图的正方形 OABC 及其内部任意取，其中 A（0，4），B（4，4），C（4，0），O 为坐标原点若函数 f（x）=x 2+ax+b2 有零点，则=a24b20，解之得 a2b，满足条件的点（a，b）在直线 a2b=0 的下方，且在正方形 OABC 内部的三角形，其面积为 S1= =4正方形 OABC 的面积为 S=44=16函数 f（x）=x 2+ax+b2 有零点的概率为 P= = =故答案为：【点评】： 本题给出 a、b 满足的关系式，求函数 f（x）=x 2+ax+b2 有零点的概率，着重考查了面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算
12、公式等知识，属于基础题15（5 分）（2015江西二模）用两个平行平面同截一个直径为 20cm 的球面，所得截面圆的面积分别是 64cm2、36cm 2，则这两个平面间的距离是 2cm 或 14cm 【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可【解析】： 解：设两个截面圆的半径别为 r1，r 2球心到截面的距离分别为 d1，d 2球的半径为 R由 r12=36cm2，得 r1=6cm由 r22=64cm2，得 r2=8cm如图所示当球的球
13、心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即 d2d1=86=2cm如图所示当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和即 d2+d1=8+6=14cm故答案为：2cm 或 14cm【点评】： 本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解16（5 分）（2015江西二模）已知点 A 是抛物线 C1：y 2=2px（p0）与双曲线 C2：的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线的离心率等于
14、【考点】： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 取双曲线的一条渐近线： ，与抛物线方程联立即可得到交点 A 的坐标，再利用点 A 到抛物线的准线的距离为 p，即可得到 a，b 满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出【解析】： 解：取双曲线的一条渐近线： ，联立 解得 ，故 A点 A 到抛物线的准线的距离为 p， ，化为 双曲线 C2 的离心率 故答案为 【点评】： 熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17（12 分）（2015江西二模）为了更好的了解某校高
15、三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取 40 名学生，将他们的数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图（1）若该校高三年级有 1800 人，试估计这次考试的数学成绩不低于 60 分的人数及 60 分以上的学生的平均分；（2）若从这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10 的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数【专题】： 概率与统计【分析】： （1）根据图中所有小矩形的面积之和等于 1 建立关于 a 的等式，解之即可求出所求；根据频率分
16、布直方图，成绩不低于 60 分的频率，然后根据频数=频率 总数可求出所求；（2）成绩在分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可【解析】： 解：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于 1，所以 10（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1 解得 a=0.03 根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率为 110（0.005+0.01 ）=0.85由于高三年级共有学生 1800 人，可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数约为18000.85=1530 人 可估计不低于
17、 60 分的学生数学成绩的平均分为：650.2+750.3+850.25+950.1=66.25（2）解：成绩在分数段内的人数为 400.1=4 人，若从这 6 名学生中随机抽取 2 人，则总的取法有 15 种如果两名学生的数学成绩都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10如果一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 7 种，所以所求概率为 【点评】： 本题考查由频率分布直方图求频率、频数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是读懂频率分布直方图，应用相关数
18、据进行准确计算18（12 分）（2015江西二模）已知a n是正数组成的数列，a 1=1，且点（ ，a n+1）（nN *）在函数 y=x2+1 的图象上数列b n满足 b1=1，b n+1=bn+2an（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）若数列c n满足 cn=anbn，求c n的前 n 项和 Sn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由已知得数列a n是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，由此能求出an=1+（a 1）1=n ，从而 bn+1bn=2n由此利用累加法能求出 bn（2）由 Cn=n2nn，利用分组求和法和错位相减法能求出
19、c n的前 n 项和 Sn【解析】： 解：（1）由已知得 an+1=an+1、即 an+1an=1，又 a1=1，所以数列a n是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列故 an=1+（a 1）1=n （3 分）从而 bn+1bn=2nb n=（b nbn1）+（b n1bn2）+ （b 2b1）+b 1=2n1+2n2+2+1= =2n1（6 分）（2）C n=n2nn令 ，则 2Tn=122+223+324+n2n+1， ，得： Tn=2+22+23+2nn2n+1= n2n+1=（ 1n）2 n+12，由错位相减法可得 （10 分）从而 （12 分）【点评】： 本题考查数列的通项公式的求法
20、，考查数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法、分组求和法和错位相减法的合理运用19（12 分）（2015江西二模）如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E ，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点（1）求证：平面 EFG平面 PAD；（2）若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积【考点】： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （1）由线面垂直的性质定理，证出 CD平面 PAD在PCD 中根据中位线定理，证出 EFCD ，从而
21、EF平面 PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面 EFG平面 PAD；（2）根据线面平行判定定理，得到 CD平面 EFG，所以 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，得到三棱锥 MEFG 的体积等于三棱锥 DEFG 的体积再由面面垂直的性质证出点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，算出 EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥 DEFG 的体积，即可得到三棱锥 MEFG 的体积【解析】： 解：（1）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，CD 平面ABCD，CD ADCD平面 PAD（3 分）又PCD 中，E 、F 分
22、别是 PD、PC 的中点，EFCD，可得 EF平面 PADEF平面 EFG，平面 EFG平面 PAD；（6 分）（2）EFCD，EF 平面 EFG，CD平面 EFG，CD平面 EFG，因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，V MEFG=VDEFG，取 AD 的中点 H 连接 GH、EH，则 EFGH，EF平面 PAD，EH 平面 PAD，EFEH于是 SEFH= EFEH=2=SEFG，平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PAD=EH， EHD 是正三角形点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为 ， （10 分）因此，三棱锥 M
23、EFG 的体积 VMEFG=VDEFG= SEFG = （12 分）【点评】： 本题给出底面为正方形的四棱锥，求三棱锥 MEFG 的体积并证明面面垂直，着重考查了锥体体积的求法和空间线面平行、面面垂直等位置关系判定的知识，属于中档题20（12 分）（2015江西二模）已知函数 f（x）= x3alnx （a R，a0）（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若对任意的 x上是减函数，在【点评】： 本题考查导数与函数的单调性以及函数的最值，运用了分类讨论、等价转化思想想同，属于中档题21（12 分）（2015江西二模）已知点 F 是抛物线 y2=2px 的焦点，其中 p 是正常数，AB，CD 都
24、是抛物线经过点 F 的弦，且 ABCD，AB 的斜率为 k，且 k0，C ，A 两点在 x 轴上方（1）求 + ；（2）当|AF|BF|= p2 时，求 k；设AFC 与BFD 的面积之和为 S，求当 k 变化时 S 的最小值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）设 ，由，得 ，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件得 （2） =，由此能求出 由|CF|DF|=（ k2+1）p 2， ，能求出当 k=1 时，S 有最小值 2p2【解析】： 解：（1）设由 ，得 ，由韦达定理，得： （2 分）由抛物线定义得同理，用 ， （5 分）（2）=
25、 （8 分）当 时，又 k0，解得 （9 分）由同理知|CF|DF|= （k 2+1）p 2，由变形得 ，（10 分）又 ABCD ， = （12 分）当 k=1 时，S 有最小值 2p2（14 分）【点评】： 本题考查 + 的求法，考查直线斜率的求法，考查两个三角形的面积之和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用四、解答题（共 3 小题，满分 30 分）22（10 分）（2015江西二模）如图，已知ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于H，B=60，F 在 AC 上，且 AE=AF（1）证明：B，D，H，E 四点共圆；（2）证明：CE 平分DEF【考点】：
26、三角形中的几何计算【专题】： 证明题；综合题【分析】： （I），要证明 B，D，H，E 四点共圆，根据四点共圆定理只要证EBD+EHD=180即可（II）由（I ）知 B，D，H ，E 四点共圆可得CED=30 ，要证 CE 平分DEF，只要证明CEF=30即可【解析】： 解：（I）在ABC 中，因为B=60所以BAC+ BCA=120因为 AD，CE 是角平分线所以AHC=120（3 分）于是EHD=AHC=120因为EBD+EHD=180，所以 B，D，H，E 四点共圆（5 分）（II）连接 BH，则 BH 为ABC 得平分线，得HBD=30由（I）知 B，D，H，E 四点共圆所以CED=
27、HBD=30（8 分）又AHE=EBD=60由已知可得，EFAD，可得CEF=30所以 CE 平分DEF【点评】： 本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用，解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理，属于基本定理的简单运用23（10 分）（2015江西二模）已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点 P（x，y）在该圆上，求 x+y 的最大值和最小值【考点】： 点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程【专题】： 计算题【分析】： （1）极坐标方程即 24 （ + ），即 x2+y24x4y+6=0（2）圆的参数方程为 ，故 x+y=4+ （sin+co
28、s ）=4+2sin（+ ），由于 1sin（+ ）1，可得 2x+y6【解析】： 解：（1） 即 24 （ +），即 x2+y24x4y+6=0（2）圆的参数方程为 ，x+y=4+ （sin+cos）=4+2sin （+ ）由于1sin （+ ）1，2x+y6，故 x+y 的最大值为 6，最小值等于 2【点评】： 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的参数方程，得到圆的参数方程为 ，是解题的关键24（10 分）（2012黑龙江）已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含，求 a 的取值范围【考点】
29、： 绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【专题】： 计算题；压轴题【分析】： （1）不等式等价于 ，或 ，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x 在上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解析】： 解：（1）当 a=3 时，f（x）3 即|x3|+|x 2|3，即 ，或，或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或 x4（2）原命题即 f（x）|x4|在上恒成立，等价于|x+a|+2x4 x 在上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2 x 在上恒成立故当 1x2时， 2x 的最大值为21=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
