1、湖南省 2017 届高三 十三校联考第二次考试数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 为虚数单位，若复数 （ ）的实部为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D2. 同学聚会上，某同学从爱你一万年，十年，父亲，单身情歌四首歌中选出两首歌进行表演，则爱你一万年未选取的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,所以选 B.3. 下列函数既是奇函数又在 上是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , 在 上是增函数，所以排除 A,D,
2、在上不单调，所以选 C.4. “ ”是“ 与直线 平行”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 与直线 平行，得,检验 时，两直线 重合（舍去），所以 时与直线 平行的充要条件.5. 圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设圆心（2，0）为 A,A 关于 对称点为 B,则易知 ,所以关于直线 对称的圆的圆心为 B .所以选 D.6. 等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则数列 的前 项和取最小值时的 为（ ）A. 3 B. 3 或 4 C. 4
3、 或 5 D. 5【答案】B7. 已知实数 ， 满足 则 的最大值为（ ）A. 7 B. 1 C. 10 D. 0【答案】C【解析】易知过点（10，0）时，目标函数取最大值，所以选 C.点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.8. 在 中，角 ， ， 所对应的边长分别为 ， ， ，面积为 ，若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B9. 在
4、 中， 为三角形所在平面内一点，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直线 AD,BC 交于点 E,并设 ,由 E,B,C 三点共线得， , , ,设 ,则 ,又 , ,所以选 C.10. 如图所示，某几何体的三视图是三个边长为 1 的正方形及每个正方形内一段半径为 1，圆心角为 的圆弧，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 点睛:三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、
5、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图11. 已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，点 是双曲线在第一象限内的点，直线 ， 分别交双曲线 的左、右支于另一点， ，若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点睛：解答本题时，充分利用题设中的条件与双曲线的对称性构造平行四边形，先运用余弦定理，求出 ，再借助平行四边形的几何性质建立方
6、程 ，建立关于离心率的方程，从而使得问题获解。12. 已知函数 （ ）的图象与直线 相切，当恰有一个零点时，实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 ,取切点 ( m,n), 则 ,m=2n, a=e. ，, 函数 f(x) 在 (0, e) 上单调递增 ,( e,+) 上单调递减，f(1)=0,x+, f(x)0 ，由于 f(e)=1,f(1)=0 ， 当函数 g(x)=f(f(x)t 恰有一个零点时 , 实数 t 的取值范围是 0 ，故选 A.点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
7、；分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， 是两个向量， ， ，且 ，则 与 的夹角为_【答案】14. 执行如图所示的程序框图，则输出的 为_【答案】13【解析】试题分析：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断 时，n+1 的值当 n=2 时，当 n=3 时， ，当 n=4 时， ，此时 n+1=5，输出的 n=5，选 C15. 已知四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 ， 于点 ， ， ， ，则三棱
8、锥 的外接球半径为_【答案】216. 已知数列 满足 ， （ ， ），且 是递减数列， 是时递增数列，则 _【答案】【解析】由于 是递减数列，因此 ，于是因为 ，所以.由知 .因为 逆增数列，所以，所以 .于是所以 .故填 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 （ ， ），且函数图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 （）求 的值及 的对称轴方程；（）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的值【答案】（） （ ）;（） 试题解析：（）由函数 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，得 ， ，求得
9、 所以 由 （ ），求得 （ ）即 的对称轴方程为 （ ）18. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对 1 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段： ； （单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（）写出 列联表；判断是否有 的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）0.10 0.05 0.010 0.0052.706 3.841 6.635 7.879（）现计划在这次场外调
10、查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名幸运选手中恰好有一人在 岁之间的概率 （参考公式： ，其中 ）【答案】（）见解析;（） 【解析】试题分析：（）根据频率分布表写出 列联表，代入公式计算即可.（）根据古典概型计算公式求解即可.试题解析：（）正误年龄正确 错误 合计10 30 4010 70 80合计 20 100 120由上表可知 ，有 的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用
11、于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，点 ， 分别为 ，的中点.（）证明： 平面 ；（）求点 到平面 的距离.【答案】（）见解析;（） 试题解析：（）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ， 且 ， 且 ，四边形 为平行四边形， ， 平面 （）解：由（）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等的，故转化为求点 到平面 的距离，设为 利用等体积法： ，即 ， ， ， ， 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力
12、，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20. 已知椭圆 ： 的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为 1（）求椭圆 的方程；（）设 ， 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆 的一个内接平行四边形的一组对边过点和 ，求这个平行四边形面积的最大值【答案】（） ;（） 【解析】试题分析：（）由条件列式 解得 即得椭圆 的方程.试题解析：（）依题意 解得 即椭圆 的方程为 （）设过椭圆右焦点 的直线 ： 与椭圆交于 ，
13、两点，则 整理得 ， ， ， ，椭圆 的内接平行四边形面积为 ，令 ，则 ，注意到 在 上单调递减，所以 ，当且仅当 ，即时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为 21. 已知函数 ， ，其中 是 的导函数（）求曲线 在点 处的切线方程；（）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围【答案】（） ;（） 【解析】试题分析：（） ，切线的斜率 ，所以切线方程为，即 （） 在 上恒成立，即 在 上恒成立，即，构造 求最小值即可.（） ， ， 在 上恒成立，即 ，即 在 上恒成立，即 令 ，则 ，令 ， ，当 时， ， 在 上单调递增 ， （ ）， ， 在 上单调递增，当然在 上也单调递增， ， 点晴:
14、本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性,最值问题处理请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），（）求曲线 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（）设曲线 与曲线 的交点为 ， ， ，当 时，求 的值【答案】（） ，该曲线为椭圆;（） 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ， ）的值域为 （）求实数 的值；（）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围【答案】（） 或 ;（） 【解析】试题分析：（）利用绝对值三角不等式得，可知 ，可得解.（）依题意有 ，可得 ，解得 试题解析：（）对于任意 ， ，可知 ， 或 （）依题意有 ， ，解得
