1、1向量复习知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行00单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
2、htp:/w.xjkygco126t:/.j2、向量加法：设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1） ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；0，但这时必须“首尾相连” ABCDPQR3、向量的减法： 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，作图法：abb可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaa4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的
3、长度与方向规定如下：（） ； （）当 时， 的方向与 的方向相同；a0当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是0a0a任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，b使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jba6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么21,e对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使：a21,2，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一21ea21,e组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二.平面向量的坐标表示1 头htp
4、:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记axiyj作 =(x,y)。 a2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1) 若 ，则12,xybxy12,bxy(2) 若 ，则BA2A(3) 若 =(x,y)，则 =( x, y)aa(4) 若 ，则12,xybxy121/0abxy(5) 若 ，则若 ，则a02121yx三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosbab叫做 与 的数量积（或内积） 头htp:/w.x
5、jkygcom126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R ，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j投影b|aba的绝对值称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom1
6、26t:/.j|a5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： ；22abb2a2ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：3交换律成立： ab对实数的结合律成立： abR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab128 头h
7、tp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= OABb（ ）叫做向量 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j00acos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jcos,ba212当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时ab=180 0，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom
8、126t:/.jabab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质21yx题型一：向量的概念与几何运算例 1出下列命题：若 ba，则 ； 若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 DCAB是四边形为平行四边形的充要条件； 若cba,，则 ； 的充要条件是 ba且 ； 若 ， ，则 a c。 其中，正确命题的序号是_答案：。4例 2（2011 四川）如图 12，正六边形 ABCDEF 中， ( )BA CD EF 图 12A0 B C. DBE AD CF 【解析】 ，所以选 D.BA CD EF BA A
9、F BC BF BC CF 例 3（2011 届杭二模）已知非零向量 a，b 满足|a + b| =|ab |= |a|，则 a + b 与 ab 的夹角为（ ）23A B C D 0601205答案：B例 4已知 ，设 ，如果,OcOdEetR，那么 为何值时， 三点在一条直线上？3,2acbd()etabt解：由题设知， ，23,(3)Datatb三点在一条直线上的充要条件是存在实数 ，使得 ，即,CEkCkD，()3ttk整理得 .)()atb若 共线，则 可为任意实数；,bt若 不共线，则有 ，解之得， .302k65t综上， 共线时，则 可为任意实数； 不共线时， .,at,ab【小
10、结】：1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意 与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 ABCD，需证 ，且 AB 与ABCDCD 不共线要证 A、B、C 三点共线，则证 即可ABC4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点题型二：平面向量的坐标运算例 1设 (ksin, 1)， (2cos, 1) (0 |a b|1 2 2ab 21ab coscos ， 所以 p1 为|a| |b|12 |a|b| 12 0，23)真命题，p 2 为假命题又因为 |a b|1 2 2ab 21ab coscos ，所以 p4 为真命|a| |b|12 |a|b| 12 (3，1234569题，p 3 为假命题
