随机过程论文.doc

1、湖南大学应用随机过程课程论文题 目： 马尔科夫过程的发展和应用 学院名称： 金融与统计学院 专业班级： 11 级统计二班 学生姓名： 任瑞雪 20111903201 1.随机过程发展简述在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如 1907 年前后，A.A.马尔科夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔科夫链（见马尔科夫过程） ；又如

2、1923 年 N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程） ，这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于 30 年代。1931 年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法 ；三年后，A.R.辛钦发表了平稳过程的相关理论 。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953 年，J.L.杜布的名著随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951 年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开

3、辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60 年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。2.马尔科夫过程发展2.1 马尔科夫过程简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设 X(t)是一随机过程，当过程在时刻 t0所处的状态为已知时,时刻 t(tt0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后

4、效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。2.2 马尔科夫过程的发展Markov process 是 一 类 随 机 过 程 。 它 的 原 始 模 型 马 尔 科 夫 链 ， 由 俄国 数 学 家 A.A.马 尔 科 夫 于 1907 年 提 出 。 该 过 程 具 有 如 下 特 性 ： 在 已 知 目前 状 态 (现 在 )的 条 件 下 ， 它 未 来 的 演 变 (将 来 )不 依 赖 于 它 以 往 的 演 变 (过去 )

5、。 例 如 森 林 中 动 物 头 数 的 变 化 构 成 马 尔 科 夫 过 程 。 在 现 实 世 界 中 ，有 很 多 过 程 都 是 马 尔 科 夫 过 程 ， 如 液 体 中 微 粒 所 作 的 布 朗 运 动 、 传 染 病 受感 染 的 人 数 、 车 站 的 候 车 人 数 等 ， 都 可 视 为 马 尔 科 夫 过 程 。 关 于 该 过 程 的研 究 ， 1931 年 A.H.柯 尔 莫 哥 洛 夫 在 概 率 论 的 解 析 方 法 一 文 中 首 先 将 微分 方 程 等 分 析 的 方 法 用 于 这 类 过 程 ， 奠 定 了 马 尔 可 夫 过 程 的 理 论 基

6、 础 。1951 年 前 后 ， 伊 藤 清 建 立 的 随 机 微 分 方 程 的 理 论 ， 为 马 尔 科 夫 过 程 的 研 究开 辟 了 新 的 道 路 。 1954 年 前 后 ， W.费 勒 将 半 群 方 法 引 入 马 尔 科 夫 过 程 的 研究 。 流 形 上 的 马 尔 科 夫 过 程 、 马 尔 科 夫 向 量 场 等 都 是 正 待 深 入 研 究 的 领 域 。马 尔 科 夫 过 程 是 一 类 重 要 的 随 机 过 程 ， 它 的 原 始 模 型 马 尔 可 夫 链 由 俄国 数 学 家 A.A.马 尔 科 夫 于 1907 年 提 出 。 人 们 在 实 际

7、 中 常 遇 到 具 有 下 述 特 性的 随 机 过 程 ： 在 已 知 它 目 前 的 状 态 （ 现 在 ） 的 条 件 下 ， 它 未 来 的 演 变 （ 将来 ） 不 依 赖 于 它 以 往 的 演 变 （ 过 去 ） 。 这 种 已 知 “现 在 ”的 条 件 下 ， “将来 ”与 “过 去 ”独 立 的 特 性 称 为 马 尔 科 夫 性 ， 具 有 这 种 性 质 的 随 机 过 程 叫 做马 尔 科 夫 过 程 。 荷 花 池 中 一 只 青 蛙 的 跳 跃 是 马 尔 科 夫 过 程 的 一 个 形 象 化 的例 子 。 青 蛙 依 照 它 瞬 间 或 起 的 念 头 从

8、一 片 荷 叶 上 跳 到 另 一 片 荷 叶 上 ， 因 为 青蛙 是 没 有 记 忆 的 ,当 现 在 所 处 的 位 置 已 知 时 ,它 下 一 步 跳 往 何 处 和 它 以 往 走过 的 路 径 无 关 。 如 果 将 荷 叶 编 号 并 用 X0,X1,X2,分 别 表 示 青 蛙 最 初 处 的 荷叶 号 码 及 第 一 次 、 第 二 次 、 跳 跃 后 所 处 的 荷 叶 号 码 ， 那 么 Xn， n 0就 是 马 尔 可 夫 过 程 。 液 体 中 微 粒 所 作 的 布 朗 运 动 ， 传 染 病 受 感 染 的 人 数 ，原 子 核 中 一 自 由 电 子 在 电

9、子 层 中 的 跳 跃 ， 人 口 增 长 过 程 等 等 都 可 视 为 马 尔科 夫 过 程 。 还 有 些 过 程 （ 例 如 某 些 遗 传 过 程 ） 在 一 定 条 件 下 可 以 用 马 尔 科夫 过 程 来 近 似 。 关 于 马 尔 科 夫 过 程 的 理 论 研 究 ， 1931 年 A.H.柯 尔 莫 哥 洛 夫 发 表 了 概率 论 的 解 析 方 法 ， 首 先 将 微 分 方 程 等 分 析 方 法 用 于 这 类 过 程 ， 奠 定 了 它 的理 论 基 础 。 1951 年 前 后 ， 伊 藤 清 在 P.莱 维 和 C.H.伯 恩 斯 坦 等 人 工 作 的

10、基 础上 ， 建 立 了 随 机 微 分 方 程 的 理 论 ， 为 研 究 马 尔 科 夫 过 程 开 辟 了 新 的 道 路 。1954 年 前 后 ， W.弗 勒 将 泛 函 分 析 中 的 半 群 方 法 引 入 马 尔 科 夫 过 程 的 研 究 中 ，E.E.登 金 （ 又 译 邓 肯 ） 等 并 赋 予 它 概 率 意 义 （ 如 特 征 算 子 等 ） 。 50 年 代 初 ，角 谷 静 夫 和 J.L.杜 布 等 发 现 了 布 朗 运 动 与 偏 微 分 方 程 论 中 狄 利 克 雷 问 题 的 关系 ， 后 来 G.A.亨 特 研 究 了 相 当 一 般 的 马 尔 科

11、 夫 过 程 （ 亨 特 过 程 ） 与 位 势 的关 系 。 目 前 ， 流 形 上 的 马 尔 科 夫 过 程 、 马 尔 科 夫 场 等 都 是 正 待 深 入 研 究 的领 域 。 强 马 尔 科 夫 过 程 在 马 尔 科 夫 性 的 定 义 中 ， “现 在 ”是 指 固 定 的 时 刻 ，但 实 际 问 题 中 常 需 把 马 尔 可 夫 性 中 的 “现 在 ”这 个 时 刻 概 念 推 广 为 停 时（ 见 随 机 过 程 ） 。 例 如 考 察 从 圆 心 出 发 的 平 面 上 的 布 朗 运 动 ， 如 果 要 研 究 首次 到 达 圆 周 的 时 刻 以 前 的 事

12、件 和 以 后 的 事 件 的 条 件 独 立 性 ,这 里 为 停时 ,并 且 认 为 是 “现 在 ”。 如 果 把 “现 在 ”推 广 为 停 时 情 形 的 “现 在 ”，在 已 知 “现 在 ”的 条 件 下 ， “将 来 ”与 “过 去 ”无 关 ， 这 种 特 性 就 叫 强 马 尔科 夫 性 。 具 有 这 种 性 质 的 马 尔 科 夫 过 程 叫 强 马 尔 科 夫 过 程 。 在 相 当 一 段 时间 内 ， 不 少 人 认 为 马 尔 科 夫 过 程 必 然 是 强 马 尔 科 夫 过 程 。 首 次 提 出 对 强 马尔 科 夫 性 需 要 严 格 证 明 的 是 J

13、.L.杜 布 。 直 到 1956 年 ， 才 有 人 找 到 马 尔 科夫 过 程 不 是 强 马 尔 科 夫 过 程 的 例 子 。 马 尔 科 夫 过 程 理 论 的 进 一 步 发 展 表 明 ，强 马 尔 科 夫 过 程 才 是 马 尔 科 夫 过 程 真 正 研 究 的 对 象 。 扩 散 过 程 历 史 上 ， 扩 散 过 程 起 源 于 对 物 理 学 中 扩 散 现 象 的 研 究 。 虽 然 现在 扩 散 过 程 的 最 一 般 的 定 义 是 轨 道 连 续 的 马 尔 科 夫 过 程 ， 但 在 1931 年 柯 尔莫 哥 洛 夫 对 于 扩 散 过 程 的 奠 基 性

14、 研 究 中 ， 却 是 按 照 转 移 函 数 来 定 义 扩 散 过 程的 。50 年 代 ， 费 勒 引 进 了 推 广 的 二 阶 微 分 算 子 ， 用 半 群 方 法 解 析 地 研 究 了 状态 空 间 E =【 r1,r2】 的 扩 散 过 程 ， 解 决 了 在 r1 和 r2 处 应 附 加 哪 些 边 界 条件 ,才 能 使 向 后 方 程 有 一 个 且 只 有 一 个 转 移 密 度 函 数 解 的 问 题 ， 而 且 找 出 了全 部 这 样 的 边 界 条 件 。 对 于 状 态 空 间 是 开 区 间 或 半 开 半 闭 区 间 的 情 形 也 作了 研 究 。

15、 登 金 、 H.P.麦 基 恩 及 伊 藤 清 等 人 对 于 扩 散 过 程 轨 道 的 研 究 ， 阐 明 了费 勒 的 结 果 的 概 率 意 义 ， 从 而 使 一 维 扩 散 过 程 有 了 较 完 整 的 理 论 。 多 维 扩 散 过 程 是 和 一 个 椭 圆 型 偏 微 分 算 子 联 系 在 一 起 的 ， 它 还 有 许 多 未解 决 的 问 题 ， 但 核 心 问 题 之 一 是 多 维 扩 散 过 程 的 存 在 性 和 惟 一 性 问 题 ； 借 助于 偏 微 分 方 程 和 概 率 论 方 法 已 经 得 到 一 些 结 果 。 有 趣 的 是 ， 概 率 论

16、得 到 的 结果 反 过 来 也 可 以 解 决 微 分 方 程 的 求 解 问 题 ， 例 如 ， 可 以 把 方 程 的 解 用 一 个 马尔 科 夫 过 程 表 现 出 来 。 近 年 来 ， 人 们 重 视 从 轨 道 变 化 的 角 度 来 研 究 扩 散 过 程 。 常 用 的 方 法 是 随机 微 分 方 程 和 鞅 问 题 的 求 解 。 流 形 上 的 扩 散 过 程 理 论 是 近 十 年 来 日 益 受 人们 重 视 的 新 领 域 ， 它 是 用 随 机 微 分 方 程 研 究 扩 散 过 程 的 必 然 延 伸 。 3.马 尔 科 夫 分 析 法 的 应 用马尔科夫分

17、析法（markov analysis）又称为马尔科夫转移矩阵法，是指在马尔科夫过程的假设前提下，通过分析随机变量的现时变化情况来预测这些变量未来变化情况的一种预测方法。马尔科夫分析起源于俄国数学家 A.A.马尔可夫对成链的试验序列的研究。1907 年马尔科夫发现某些随机事件的第 n 次试验结果常决定于它的前一次(n-1 次)试验结果。马尔科夫假定各次转移过程中的转移概率无后效性（见马尔可夫决策过程） ，用以对物理学中的布朗运动作出数学描述。1923 年由美国数学家 N.维纳提出连续轨道的马尔科夫过程的严格数学结构。3040 年代由 A.H.柯尔莫戈罗夫、W.费勒、W.德布林、P.莱维和 J.L

18、.杜布等人建立了马尔科夫过程的一般理论，并把时间序列转移概率的链式称为马尔科夫链。马尔科夫分析已成为市场预测的有效工具，用来预测顾客的购买行为和商品的市场占有率等。单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 市场占有率的预测可采用马尔科夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。俄国数学家马尔科夫在 20 世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第 N 次结果只受第 N1 次

19、结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。 在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。 马尔科夫分析法的一般步骤为： 1、调查目前的市场占有率情况； 2、调查消费者购买产品时的变动情况； 3、建立数学模型； 4、预测未来市场的占有率。马尔科夫分析法在市场预测方面的应用：马尔科夫分析法是研究随机事件变化趋势的一种方法。市场商品供应的变化经常受到各种不确定因素的影响而带有随

20、机性，企业要根据对市场占有率的预测结果采取各种措施争取顾客，如果这种随机性具有无后效性，则用马尔科夫分析法可以对其未来发展趋势进行市场趋势分析，从而采取相应措施提高市场占有率。提高市场占有率一般可采取三种策略： （1）设法保持原有顾客； （2）尽量争取其他顾客； （3）既要保持原有顾客又要争取新的顾客。 第三种策略是前两种策略的综合运用，其效果比单独使用一种策略要好，但其所需费用较高。如果接近于平稳状态时，一般不必花费竞争费用，所以既要注意市场平稳状态的分析，又要注意市场占有率的长期趋势的分析。 争取顾客、提高市场占有率的策略和措施一般有： （1）扩大宣传。主要采取广告方式，通过大众媒体向公众

21、宣传商品特征和顾客所能得到的利益，激起消费者的注意和兴趣。 （2）扩大销售。除联系现有顾客外，积极地寻找潜在顾客，开拓市场。如向顾客提供必要的服务等。 （3）改进包装。便于顾客携带，增加商品种类、规格、花色，便于顾客挑选，激发顾客购买兴趣。 （4）开展促销活动。如展销、分期付款等。 （5）调整经营策略。根据市场变化，针对现有情况调整销售策略，如批量优待、调整价格、市场渗透、提高产品性能、扩大产品用途、降低产品成本等，以保持市场占有率和扩大市场占有率。马尔科夫分析在人力资源方面的应用：在应用到人力资源管理方面时，马尔科夫分析法是组织内部人力资源供给预测的一种方法，这种方法用于具有相等时间间隔的时

22、刻点上各类人员的分布状况。在具体运用中，假设给定时期内从低一级向上一级或从某一职位转移到另一职位的人数是起始时刻总人数的一个固定比例，即转移率一定，在给定各类人员起始人数、转移率和未来补充人数的条件下，就可以确定出各类人员的未来分布状况，作出人员供给的预测。这种分析方法通常通过流动可能性比例矩阵来进行预测某一岗位上工作的人员流向组织内部另一岗位或离开的可能性。马尔科夫分析法的适用范围包括：（1）适用于人员流动比例相对稳定的公司；（2）适用于每一级别员工人数至少有 50 人的公司，但人数稍多时也可使用；（3）流 向 某 岗 位 的 人 数 取 决 于 该 岗 位 空 缺 的 数 量 。此外在企业

23、中，马尔科夫分析除了应用于市场预测外，还可用于以下 6 个方面。确定企业劳动力的需求：如考虑到离职、退休和死亡等因素，为了从企业内外进行补充，可用马尔可夫分析来确定劳动力的需求。引进新产品：马尔可夫分析在确定用户对某种牌号产品的信任是如何转向另一种新产品时，为企业开发新产品提供有用信息。选择广告计划：通过对未来市场占有率的估计来评价和选择几种广告计划的优劣。预测随机服务系统的工作负荷。预测最优维修方案。产品可靠性预测。有趣的是，人生实际上也是一个马尔科夫过程，将来的发展只与你现在的状态相关，而与你的过去无关，即所谓的无后效性。你可能以前一直都洁身自好，做的很好，但一旦放纵了自我，那评价你这个人

24、就会以你的现在犯的错误作结，而不会管你的过去。老人们常说“一失足成千古恨”也就是这个道理。我们根据马氏过程的无后效性，同样可知道，只要我们现在奋起努力，那将来与过去半个学期的放纵就无关了，只取决于现在的积极向上。如果将问题升华级，当代大学生的素质培养、通才教育、思想道德教育的加强尤为重要，我们缺少的是德育，这也许就导致了我们国家多年来没有科学上的突破，而仅仅停留在技术层面上的发展，且大都是简单的 copy or approve。民族习气现在缺少一种安心做学问、几十年如一日苦心孤诣的精神纯科研在现行体制下只能靠微薄的自然基金生存，而且那个基金还不是每个人都能评下来的。大家在刚开始做的都很好，如本科及其以前，但一旦专业上达到一定水平后，不是一心把技术应用于实际生产以获得利益，即现在的繁荣的制造业经济，要不就是从政、从事管理学科。不是说这样不好，但是大家都这样就有问题了。好比马尔科夫链，一旦转变，也就把原始积累的那一点点完全抛弃了这就是我国现在经济过热的隐患所在，过分专注于技术上的推广、转现。所以政府下大力支持纯学术研究是十分急迫的，要稍一丝功利性。而不能等到经济发达后才想起来做，那就晚了。从更高的角度看问题，人生以及国家发展实质上都是马尔科夫过程。不要问一个人或一个国家的过去，只要现在做的好、积极向上，前景就一定是光明的！