1、1从全等三角形的基础图形解决中考问题教学说起摘要：通过一个数学课堂活动案例，以此来发展学生的数学思维，积累基本的数学活动经验，提高解决数学问题的能力。关键词：基础图形、平移、对称、旋转二、方法探究随着新课程改革不断深入，数学教学的内涵有了新的发展。有学者指出，在数学教学过程中，要注意关注让学生积累“数学活动经验” 。这节课引导学生对图形做出变换，以此来发展学生的数学思维，积累基本的数学活动经验，收到很好的教学效果。首先，笔者通过复习全等三角形的判定方法来引入新课，以此为基点展开全等三角形基础图形的探究，从而解决中考问题。主要通过在活动中动手操作、积累经验、总结规律来进行探究。【活动探究】请同学
2、们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、对称、旋转几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系？请小组合作、交流，并把有代表性的摆放进行投影。学生的摆放形式很多，包括那些平时数学成绩不好的学生也跃跃欲试，教师给予肯定和鼓励激发他们学习的积极性和主动性。在这个探究活动中，主要让学生熟记全等三角形的基本形式，提醒学生注意两个全等三角形的对应边和对应角，为学生提供一个研究全等三角形的平台，并积累为“全等三角形的基础图形”的思维活动经验，让学生达到“会学”的境界。三、归纳 类型（一） 、平移型如图 1，此类图形可以看成由对应边在同一直线上移动所构
3、成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到。在这个基础图形中，平行线无疑是解决问题的关键。2（二） 、对称型如图 2，此类图形的特征是可沿某一直线翻折，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就 是全等三角形的对应顶点。在这个基础图形中要注意基本的一些轴对称图形，例如等腰三角形，并且要注意图形的对称轴。（三） 、旋转型如图 3，此类图形可以看成是绕三角形的某一顶点旋转一定角度所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、公共角、某些角的和或差中。在这个基础图形中要注意的是一些本身具有旋转对称或中心对称性质的图形，同时旋转角往往是解决问题的关键。（四） 、复合型在很多的三角形全等问
4、题中，往往混合了多种的图形变换，因此，往往会综合之前几种基本图形，例如旋转平移型、轴对称平移型。这时就需要对之前的一些解决问题的基本方法进行综合的运用。在这个活动环节，设计的理念主要是让学生通过实践活动发现不同问题中图形的变化规律，掌握知识间的内在联系，从而建立起一个知识网络，归纳出基础图形的类型，这样也能让学生感觉到数学学习是那么的生动而有趣。并找到解决这类问题的基本办法，也为解决中考问题积累了经验。四、解决中考问题学习数学离不开解题，因此解题是学好数学的主要标志之一。我们通过以下几道中考题，训练学生将全等三角形的基础图形运用到具体的习题中。（一）（2009，武汉；2011，福建）如图 4，
5、已知点 E、C 在线段 BF 上，.,/, FACBDECFB求证： .DFAB分析：该图形可看作 沿 BC 边向右平移 BE 的长度，得到 E。所以，同一直线上的线段 BE+EC=EC+CF。证明： .,/., FBCECBFE即 ：.DFA（陕西铜仁中考）如图 5， ,， 14AE的 长 是 （ ） 。则 DA. 5 B. 4 C. 3 D. 2图4AB CDE FAEDBFC图 53解析：因为 BE=4，AE=1，所以 AB=BE+AE=4+1=5，又因为 DEFABC，所以 DE=AB=5. 答案：A。这两例主要目的是为了使学生运用平移型基础图形解决问题。（二）（2007，北京）如图
6、6，OP 是 BODAC和 的平分线 ，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD.分析：要证边相等，我们可通过证两个三角形全等 来解决，这是证两条边相等的常用的方法。题中已经给出了两条边相等，所以只要再说明其夹角相等即可，再由“SAS”即可推出两个三角形全等，从而得到对应边相等。证明： .,DOPBCPOP 的 平 分 线 ，和是.)(, .CDABSAOCABAODP中 ，和在 即 ：（2009， 河南）如图 7，已知 ,BDACB点 O 是 AD、BC 的交点，点 E是 AB 的中点。试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给出证明。分析：要证等腰三角形，只需证该三角形的两边或两角相等即可。
7、解： ABOE证明： 中 ，和在 DC.,ABOEABEOBDC中 点 ，是又 这两例主要目的是为了使学生运用对称型基础图形解决问题。（三）（2009，株洲）如图A BC DEO图 7OA CB DP图 6A BPD C图 8 ABCDE12图 948，已知线段 AC、BD 交于点 P，AP=CP，请增加 一个条件，使 CDPAB(不能添加辅助线)，你增加的条件是 _。分析：图中隐含着一组对顶角相等，即 CPAB,若添加 ，可构成“SAS”，能判定 CDAB;若添加 ，可构成“ASA”能判定P;若添加 ，则构成“AAS” ， 能判定 ;若添 加DAB/，则可分别得到也能判定 D。答案： 或 或
8、 或 /。（2006，十堰）如图 9，已知， ,21A， 增加下列条件：AB=AE;BC=ED; ;DC ,EB其中能使 AEBC的条件有（）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个分析：熟练掌握判定两个三角形全等的条件是解本题的关键。其中可以构成“SAS”构成“ASA”构成“AAS”都能够推出 ADC。答案：B这两例主要目的是为了使学生运用旋转型基础图形解决问题。（湖北黄石；2011，广东东莞）如图 10，C、F 在 BE 上， ,DA ,/FACECBF试说明：AB=DE.分析：（旋转平移型）欲说明 AB=DE，需说明 ,EFBC为此需要说明,DABC=EF. 解： .,/
9、DAFACF, EFBCEBE.),(SD(2011，黑龙江绥化)如图 11，点 B、F、C 、E 在同一条直线上，点 A、D 在直线 BE 的两侧，,/FDAB请添加一个适合的条件_，使得 AC=DF.解析：（轴对称平移型）由已知条件可得 .,EFBC只需再有 AB=DE 或或 都可证明 .A从而得出 AC=DF.（2011，北京中考）如图 12，点 A,B,C,D 在同一条直线上， ,/ADAB=FD,说明：AE=FC.5分析：（旋转平移型）要证 AE=FC,需说明 .FDCABE由 /得出,DABE得出 .FDCABE解：如图， ,/.在 中 ，和,FADBEFCAESFDCABE）（这
10、三例主要目的是为了使学生运用复合型解决问题。从学生运用基础图形解决以上中考题可以看出，本节课设计是从学生已有的知识储备和现有的认知基点出发，通过实践操作活动，将学生紧紧栓牢在数学思维活动这一具有数学本质的维度中。这样不仅有助于我们对全等三角形知识的理解和记忆、加深巩固了全等三角形的知识，又发展了图形变换的思维，提高解决数学问题的能力。与此同时，能对学生有效地进行数学思维训练，而且还能为学生积累基本的数学活动经验，提供有效的活动载体，为后续学习打好基础，提供保障。参考文献：1卜以楼， 数学教学研究2010 年第 29 卷第 7 期2张梦杰，姜自卫初中数学教与学2011 年第 2 期3刘凤， 初中数学教与学2011 年第 4 期4天府数学2010 第 31 期，四川省数学会，四川大学数学学院，四川师范大学数学与软件科学学院5荣德基， 剖析新课标新教材 ，内蒙古少年儿童出版社
