1、12.4 等比数列2.4.1 等比数列的概念及通项公式 第十七课时教学目标1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题; 4.体会等比数列与指数函数的关系.教学重点 1.等比数列的概念;2. 等比数列的通项公式.教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.教学过程导入新课现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、，对折了三次，手中的报纸的层数就成了 8 层，对折了 5 次就成了 32 层.你能举出类
2、似的例子吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代 120 粒种子，用第二代的 120 粒种子可以繁殖出第三代 120120 粒种子，用第三代的 120120 粒种子可以繁殖出第四代 120120120 粒种子，1、每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1 ，2，4，8，2、 “一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 无穷等比数列：1， ， ， ， ， 1163：计算机病毒传播问题. 无穷等比数列：1 ，20，20 2，20 3，20 4， 4：银行存款利息问题. 各年末本利和 (单位：元)组成了下面数列：10 0001.019 8，10 0001.019 8 2，10 0001.019 83，10 000
3、1.019 84，10 0001.019 8 5. 引入课题：板书课题 2.4 等比数列的概念及通项公式推进新课合作探究从上面的数列中我们发现了它们的共同特点是： 具有等比关系.一、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列， 从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.1、定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common r atio)，公比通常用字母 q 表示(q0). 为什么 q0 呢？ 等比数列的首项和公比都不能为 0，等比数列中的任一项都不会是 0.二、等比中项的概念.如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a、G 、b 成等比数列，那么 G 叫做
4、a、b 的等比中项. 1、 想一想，这时 a、b 的符号有什么特点呢？你能用 a、b 表示 G 吗？ a、b 是同号的 ，GbaG= ，G 2=ab.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍，即 a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？ 得出：等比数列有类似的性质：a n-ka n+k=an2.教师精讲(1)一个数列 a1,a2,a3,an,(a10)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？每一个非零常数列都是公差为 0，公比为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列.(2)写出两个首项为
5、 1 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为 2 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？ 首项为 1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为 2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)任一项 an 及公比 q 相同，则这两个数列相同吗？ 这两个数列相同(4)任意两项 am、a n 相同，这两个数列相同吗？ 这两个数列相同(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？ 需要“首项和公比都相同”.合作探究推导等比数列的通项公式. 设等比数列 an首项为 a1，公比为 q，根据等比数列的定义，我们有：2a2=a1q,a3=a2q=a1q2,an=a n-1q=a1q
6、 n-1， 即 an=a1qn-1.知识拓展某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，设存期是 x,本利和为 y 元. （1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金 1 000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.教师精讲类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：等差数列 等比数列定 义 从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数首项、公差( 公比) 取值有无限制没有任何限制 首项、公比都不能为 0通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1相应图象的特点 直线 y=a1
7、+(x-1)d 上孤立的点 函数 y=a1qx-1 图象上孤立的点例题剖析【例 1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84，这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年) ？【例 2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？师 将打印出来的数依次记为 a1(即 A)，a 2，a 3，.可知 a1=1;a2=a1 ;a3=a2 .于是，可得递推公式.由于 ，因此，这个数列是等比数列.)(,1nn 1n练习：1.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项.2.课本第 59 页练习第 1、2 题.课堂小结本节学习了如下内容：1. 等比数列的定义 .2.等比数列的通项公式 .3.等比数列与指数函数的联系.布置作业课本第 60 页习题 2.4 A 组 第 1、2 题.板书设计等比数列的概念及通项公式1.等比数列的定义 实例剖析2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例 1练习：1.(学生板演) 例 2
