1、第 1 页 共 10 页影院座位设计的优化模型摘 要随着社会的进步，人们更注重精神的享受，到影院看电影已成为我们生活中不可缺少的一部分.在可以看到好的电影的同时，观众还希望影院能为他们提供一个舒适的环境，如何把影院设计得更好，使观众的满意程度达到更大，获取更大的利润，已成为商家重点考虑的问题.要找出地板线倾角 时的最佳座位，必须同时考虑视角 与仰角 的取值，01最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众的综合满意程度达到最大，作出综合满意度函数： ， ，用数学软件 Maple8.0 求解得)(S30 1最佳座位在点（6.23,1.4）处，此处的仰角 ，视角 .在设计使观众的0921平均满
2、意程度达到最大的地板线倾角 值的问题上，我们采用了离散化的思想，让地板线倾角 在 内搜索，求出每一个 所对应的观众平均综合满意度，找出平均20,综合满意度最大时所对应的地板线倾角 ，用数学软件 MATLAB6.5 编程求解得，使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角 为 . 经分析可以知道，观众的眼睛在051上时，视角 达到最大值，把地板线设计在直线 上时，观众1.4y 84.195.xy都能无遮挡的看到整个屏幕，又能使观众的眼睛尽可能分布在 的附近，且在此.区域内，所有观众的仰角都在 以内，此时观众的平均满意度可达到最大.03模型能抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角 和视角 ） ，合理构造
3、满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理，实用性强，对现实有很强的指导意义.关键词：最佳座位；综合满意度；地板线设计1 问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角 和仰角 .视角 第 2 页 共 10 页是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角， 越大越好；仰角 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角， 太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求 不超过 . 03设影院屏幕高 h, 上边缘距地面高 H，地板线倾角 ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为 d 和 D, 观众平均坐高为 c（指眼睛到地面的距离）.已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1
4、.1（单位：m）.(如图所示)(1) 地板线倾角 ，问最佳座位在什么地方.o10(2) 求地板线倾角 （一般不超过 ） ，使所有观众的平均满意程度最大.o20(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度.2 模型的假设21 在小于 的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同.3022 观众的满意度只取决于仰角 和视角 ，与其他因素无关.23 同一排座位，观众的满意程度相同.3 符号约定: 观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角） （单位：度）: 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角） （单位：度）: 地板线倾角（单位：度）: 影院屏幕高（单位：m）h: 上边缘
5、距地面高（单位：m）H: 第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）d: 最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）D: 观众平均坐高（指眼睛到地面的距离） （单位：m）cL: 相邻两排座位间的间距（单位：m）l: 相邻两排座位间的水平间距（单位：m）n: 座位的总排数第 3 页 共 10 页4 模型的建立4.1 最佳座位（地板线倾角 ）o10设屏幕所在直线为 y 轴，地面所在直线为 x 轴，在图上建立直角坐标系，如图 1所示：仰角 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，视角 是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，设某一观众的眼睛的坐标为（x,y） ，则有：（ ） (1)xyHtan195.4x（
6、） (2)h)(.由公式 可得：tan1ttan(3)t(tt将（1） 、 （2）式代入式（3） ，得：（ ） (4)(tan2yhHxx195.4x又 （ ） (5)cdyta(.oxy图 1第 4 页 共 10 页有： (6) xcdHcdxhH tan)(arctn tan)(2作出仰角 和视角 沿着 x 轴的变化曲线，如图 2、图 3 所示：由图 2、图 3 可见，沿着 x 轴，仰角 和视角 都是单调递减的.视角 越大越好，即座位越往前越好，然而仰角 太大（座位过于靠前）使人的头部过分上仰，会引起不舒适感.要考虑观众的满意程度就必须要同时考虑 与 的取值，最佳位置就是要在这两者之间找到
7、一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大.然而 与 又存在一定的矛盾，要使 大， 也跟着大， 小 又跟着小，难以同时满足，但 在小于 的范围内，观众都感到满意，毫无不舒适感，且满意程度相同，此30(单位:度)X(单位 :米)图 2(单位:度)X(单位 :米)图 3第 5 页 共 10 页时可以只考虑 的取值.综合以上的分析可得问题一的求解模型为： maxSin30 1 .ts由（6）式知道， 、 两个函数都是角度，数值上有良好的可比性，可以简单地取其加权和作为单一目标函数.题目中没有关于优先权及权重的规定，可以设 的权重为 ， 的权重为 ，这里 .这样便有：)1(10max (*)Ss.
8、t. 30 这里主观设 0.7，把（6）式代入（*）式，并进行化简，代入已知参数 h=1.8、 H=5、d=4.5、c=1.1、 ，用数学软件 Maple8.0 求解得，最佳座位约在01点（6.23,1.4）处，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为 6.23 米，此处的仰角，视角 .03092134.2 使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角 值（一般不超过 ）02设第 i 排观众的满意度为 ，则所有观众的平均满意程度 ，可见，平均iS nSni1满意度 S 的大小由每一排的满意度 所决定，而 又是由仰角 和视角 所决定，i iS所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：（1） 仰角 不
9、超过 的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大.03（2） 所有座位的视角 的均值越大，观众的平均满意程度就越大.地板线倾角 （ ）的改变将同时使所有座位的仰角 和视角 的大小002 发生改变，由（6）式可知，在某一座位（即 x 取某一定值） ，在 （ ）逐002渐增大的过程中， 增大，则 减小，仰角 不超过 的区域扩大，即地板线倾tan03第 6 页 共 10 页角 （ ）越大，仰角 不超过 的座位所占的比例越大，由（1） 、 （5）00203式可得， 时 x 与 的关系：3（7）tan7.1)5(9查阅相关资料可知，相邻两排座位间的间距一般为 0.8m，随着地板线倾角 L的变化，相邻
10、两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变. 由图 4 可看出，相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角 的关系为 cosLl，座位的总排数 ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，1ldDn用数学软件 MATLAB6.5 编程求出使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角 值（）.（具体程序见附录）002算法设计思想：（1） 让地板线倾角 在 内逐一取值，步长为 0.01;20,（2） 让 x 在4.5,19内逐一取值，步长为 ；l（3） 对一个取定的 ，判断 x 所在的位置仰角 是否超过 ，若仰角 超过03，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角 和视角 的取值，否则，0只
11、需要考虑视角 的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时 的取值；（4） 改变 值，重新求值、判断.计算结果为： ，这个结果不影响最后一排观众，所以使观众的平均满意05.1程度达到最大的地板线倾角 约为 .04.3 设计地板线形状以进一步提高观众的满意程度由上两问可知，观众的满意程度与仰角 、视角 和地板线倾角 都有关，而每一座位到屏幕的水平距离（ ）基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角 、ix l地板线L图 4第 7 页 共 10 页视角 随着 y 的变化情况.由（4）式可得： （8
12、）81.0).4(arctn)2.3(581arctn 222 yxyx由（8）式可知，当 x 取某一定值时， 随 y 先增后减，当 时， 取得最大.4y值.其实，由图 5 我们可以很直观的看出，当观众的眼睛在屏幕的中垂线上时(即)，视角 达到最大值，越往两边，视角 就越小，当 x 取某一定值时，视角1.4y都在 处取得最大值.图 6 为 时 随 y 的变化曲线：10x所以，要使每一个座位所对应的视角 取最大值，对应的 y 值应在直线 上.14y设计地板线应考虑以下几个方面：（1） 第 排座位所在的位置应高于第 排座位所在的高度（ ） ；i 1i ni,.32（2） 前一排的观众不会挡住后一排
13、观众的视线；（3） 视角 尽可能大，即眼睛的位置应尽可能分布在直线 的附近； 1.4y图 6屏幕（0，3.2）（0，5）（0，4.1） 图 5第 8 页 共 10 页（4） 仰角 的座位所占的比例尽可能大.03由上述可知，当观众的眼睛在 上时，视角 达到最大值，所以在设计地板1.4y线时，应尽量使观众的眼睛分布在 的附近.在影院的最后一排作一与屏幕平行且等长等高的线段 ，连接屏幕的下端与线段1l的上端，记此连接直线为 ，取座位区域的中点 M，平移直线 使其经过中点 M，把1l 2l 2地板线设计在与直线 平行且在此直线的正下方与此直线相距 1.1 米处，如图 7 所示：由图 7 可得：地板线的
14、倾角： 041.5)/arctn(Dh第一排观众眼睛所在的位置离地面的高度： （m）41.32)(tan1.4dDh第一排观众的仰角： 017.9arctnd地板线前端离地面的高度： （m）3.212h地板线所在的直线： 84.095.xy若观众的眼睛都在直线 上，就都能无遮挡的看到整个屏幕，又能使观众的眼睛2l尽可能分布在 的附近，且在此区域内，所有观众的仰角都在 以内，此时观众1.4y 03的平均满意度可达到最大.根据最优地板线的设计知道，第一排座位以下（2.31m）都是空置的，这样既浪费建筑材料，又浪费空间，我们可以把屏幕与地板线整体向下移动 2.31m，这样既不影响(11.75,4.1
15、) (19,4.1)(0,5)(0,4.1)(0,3.2)(4.5,4.1)屏幕地板线(19,5)(19,3.2)COxy图 7第 9 页 共 10 页观众的平均满意度，又能节省材料与空间，操作性更强.5 模型的评价与推广51 模型的评价 5.1.1 模型的优点： （1） 模型能抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角 和视角 ） ，合理构造满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理.（2） 模型具有较好的通用性，实用性强，对现实有很强的指导意义.5.1.2 模型的不足以及需要改进的地方：（1） 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同，实际情况并非如此，这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限
16、性.（2） 模型建立的过程中，以观众眼睛所在的点为坐高点，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡，在第三问中，我们把 （连接屏幕的下端与线段2l的上端，记此连接直线为 ）适当下移，在使观众的平均满意程度达到1l 2l更大的同时，也避免了遮挡情况的出现.52 模型的推广我们建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，本文所建立的模型不但能指导多媒体教室的设计，对标准篮球的设计也具有参考意义.运用我们所建立的模型，对于已知剖面来分析物体的形状这一类型的问题的处理有很好的参考价值.例如：运用该模型去解决房间的布局，旗杆高度的设计等相关的问题.参考文献：1 姜启源数学模型(第三版 )M北京：高等教育出
17、版社， 20032 洪毅等经济数学模型M 广东：广东华南理工大学出版社， 19983 王庚实用计算机数学建模M 安徽：安徽大学出版社， 20004 李海涛、邓樱等MATLAB 程序设计教程M北京：高等教育出版社，20045 李世奇、杜慧琴等Maple 计算机代数系统应用及程序设计 M四川：重庆大学出版社，1999附 录clearclck=0:0.01:20;m=0;v=0;for sita=k.*2.*pi./360s=0;l=0.8*cos(sita);n=fix(14.5/l)+1;第 10 页 共 10 页for x=4.5:l:19if xm v=sita;endendmv*180/pi
