1、专题二：三角函数、解三角形、平面向量第二讲 三角变换与解三角形【考纲解读】1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 。5 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。6 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。高频考点一：正、余弦定理的应用【命题预测】1
2、 利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近 3 年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。3多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。方法指导：1在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一” ，即
3、“统一角、统一函数、统一结构” ，是使问题获得解决的突破口。2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角） ，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例 2：【2012 高考上海理 16】在 中，若 ，则 的形状是（ ABCCBA222sinisinAB）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由 ,可知 ，在三角形中222sinisin22cba，所以 为钝角，三角形为钝角三角形，选 C.02cosabcCC
4、【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题 . 【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正 弦化为边时只能是用 a 替换 sinA，用 b 替换 sinB,用 c 替换sinC。sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。例 2 （2013 年高考北京卷（理） ）在ABC 中, a=3,b=2 , B=2 A.6(I)求 cosA 的值
5、; (II)求 c 的值.【答案】解:(I)因为 a=3,b=2 , B=2 A. 所以在ABC 中,由正弦定理得 .所以6 326siniA.故 . 2sinco23Acos3(II)由(I)知 ,所以 .又因为B=2A,所以 6s23in1cosA.所以 . 21cos3BA2siB在ABC 中, . 53ini()incossin9CAB所以 . s5iacA例 3 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设 的内角 所对的边 分AC,别为 ,且 , , .abc62b7cos9B()求 的值; ()求 的值.sin()AB【答案】解:()由余弦定理 ,得 , 22co
6、ba22(1cos)bacB又 , , ,所以 ,解得 , . 6ac7cos9B3()在 中, , ABC24sin1cos9B由正弦定理得 , ii3ab因为 ,所以 为锐角 ,所以 acA21cosin3A因此 . 0sin()sii7BB考点二：三角函数与解三角形的实际应用【命题预测】1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。2该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。3多以解答题的形式出现，题目为中档题。方法指导：1 审清题意，注意建立数学模型，找出相关三角形的边和角，灵活选用相关的三角函数的公式化简或求解。2.注意数形结合，函数与方程思想的运
7、用等。例 1 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） ）本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径.一种是从 沿直线步行到 ,另一种是先从 沿索道乘缆车到 ,然ACACAB后从 沿直线步行到 .现有甲.乙两位游客从 处下山 ,甲沿 匀速步行,速度为 .在甲出发B min/50后 ,乙从 乘缆车到 ,在 处停留 后,再从匀速步行到 .假设缆车匀速直线运动的速度为min2Bmin1,山路 长为 ,经测量, , ./130126032cos5cs(1)求索道 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在 处互相等
8、待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?CCBA【答案】解:(1) , 132cosA5csC , ），（、 0in4i 653sincosinssin CAAB）（）（根据 得 sinBiCAmC104sin(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则132)5(32)501()30(22 tttd 7t 即 1304t8 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 7575(3)由正弦定理 得 (m) sinBiAC501362sinA乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V ,则 min
9、/ 35071v 350713v462为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在 范围C3 14625,30内【真题训练】一选择题。 （共 40 分）1 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）已知 ,则210cossin,R2tanA. B. C. D.3443433421. （2013 年高考陕西卷（理 ） ）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若, 则 ABC 的形状为cossinbCBaA(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 2. 3 （2013 年普通高等学校招生统一考试
10、天津 数学（理）试题） 在 ABC 中, 则 = ,2,3,4ABCCsinBA(A) (B) (C) (D) 10105310543. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）将函数 的图象沿 轴sin(2)yxx向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为8(A) (B) (C)0 (D) 34445 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）在 ,内角 所对的边长 分ABC,别为 且 ,则,.abc1sinosinco,2BCAbaA. B. C. D. 633564.6 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题） 00
11、4costan4 ( )A. 2 B. 2 C. D.217 （2013 年高考湖南卷（理） ）在锐角中 ,角 所对的边长分别为 .若ABC,ab2sin3,aBbA则 角 等 于A. B. C. D. 16435.8 （2013 年高考湖北卷（理） ）将函数 的图像向左平移 个长度单3cosinyxR0m位 后,所得到的图像关于 轴对称,则 的最小值是( ) mA. B. C. D. 12656二、填空题（共 35 分）9.（2012 高考湖北理 11）设 ABC的内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c. 若()()abcab，则角 6.0 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙
12、江数学（理）试题） 中, , 是 的中点,AB09CMB若 ,则 _. 31sinBMsin7.11 （2013 年高考新课标 1（理） ）设当 时,函数 取得最大值,则x()sin2cosfxx_cos8.12 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）如图 中,已知点 D 在 BC 边上,ADABCAC, 则 的长为_ 2sin,32,BACAD13 （2013 年上海市春季高考数学试卷(）在 中,角 所对边长分别为 ,若ABC 、 abc、,则 _ 5 860abB， ， b=14 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设 的内角 所对边 的长分ABC
13、,别为 .若 ,则 则角 _.,c2a3sin5i,A15.【2012 高考重庆理 13】设 的内角 的对边分别为 ，且 ， ,BC,abc53os13csB则 3b三，解答题 （共 25 分）9.16.（2013 年高考陕西卷（理） ）已知向量 , 设函数 . 1(cos,)(3sin,co2),2xxabR()fxab() 求 f (x)的最小正周期. () 求 f (x) 在 上的最大值和最小值 . （本题 12 分）0,217.【2012 高考浙江理 18】(本小题满分 13 分) 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 cosA ，sinB cosC35()求
14、tanC 的值；()若 a ，求 ABC 的面积2【参考答案】一选择题 1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B二填空题 9. 10. 11.25. 12.326313.7 14. 15. 14三解答题16.【答案】解:() = . ()fxab )62sin(co21sin32cosin3co xxxx最小正周期 . 2T所以 最小正周期为 . ),62sin()xf () . 上 的 图 像 知 ，在， 由 标 准 函 数时 ，当 65,-sin65,-)(,0 xy. 1,2)(,-)62sin() ffxf所以, f (x) 在 上的最大值和最小值分别为 . 0, ,17.【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。()cos A 0，sinA ，23251cos3A又 cosCsinBsin(AC)sinAcosCsinC cosA5 cosC sinC32整理得：tanC 5()由图辅助三角形知：sinC 56又由正弦定理知： ，siniacAC故 (1)3c对角 A 运用余弦定理：cosA (2)223bca解(1) (2)得： or b (舍去)33 ABC 的面积为：S 52
