1、分类号： 密 级： 单位代码： 学 号： 全日制攻读教育硕士学位论文教师整体把握分式方程现状研究姓 名： 学科专业： 指导教师： 院 系： 年 月 日首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.- 2 -摘要随着科学技术的飞速发展，全球各国之间的联系越来越紧密，在教育发展上也呈现出了世界性的趋势。在课程方面，提倡“课程综合化、整体化”，打破各个领域之间的界限，在学科之间进行融合；提倡“课程内部综合化、反对知识碎片化”，整合学科内部结构，发展主干，弱化枝干，“先见森林，后见树木”逐渐成为主流课程理念。数学课程改革遵循新的
2、课程理念也在进行着大整改。为了有效的实施“整体化”对数学课程，教材编写者、教师、教育评价等教育元素首先需要对数学课程整体化有深入的了解，本文研究各方面教育元素对数学课程的整体把握现状，以分式方程为例，意在发现在实施课改当中存在的问题及其根本原因，从而大力的推动数学课程改革进程。本文以认知结构迁移理论为基础，通过分析义务教育课程标准（2011年版）及各方面的文献得出，整体把握分式方程要做到以下几个方面：（1）分式方程在数学大课程系统中所处的位置及与其它主线知识间的关系。（2）“一点多维度”，从方程、分式、函数与不等式等维度深入了解分式方程的概念。（3）分式方程中的方程的思想与转化的思想。（4）教
3、学过程中，应以求解分式方程为载体，体现演绎推理的严谨性和准确性。以上述理论为基础，本文分析了人民教育出版社、北京师范大学出版社、苏州科技大学出版三个版本的教材及两位在职教师的公开课，并对初中教师整体把握分式方程的现状做了问卷调查，通过上述研究可以发现：（1） 教材在某些方面没有体现数学课程的整体性（2） 教师对分式方程的整体把握并不清晰（3） 教学过程中不能有效的渗透数学课程的整体性针对以上问题，教材编写者应加深对数学课程整体化的研究并对教材进行相关的调整，教师应当加强自身的专业素养，研究并完善自身的学科知识结构，在教学上选择更加有效的教学方法，从而达到发展国民的数学抽象、逻辑推理、数学建模、
4、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养，促进国民综合发展的目标。关键字： 课程整体化 反对知识碎片化 数学课程整体化 分式方程 整体把握 首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.- 3 -AbstractWith the development of science and technology, the global ties between countries more and more closely, especially in the education. In the curriculum, to
5、promote “the integration of the curriculum “, to break the boundaries between the various areas, disciplines is fused; To promote “internal integration of the curriculum, against the fragmentation of knowledge“, to integrate the internal structure of discipline, to develope of the trunk of disciplin
6、e, weaken the branches, “First saw the forest, and then see the trees“ has gradually become the mainstream curriculum concept. Mathematics curriculum reform to follow the new curriculum philosophy is also a major rectification. In order to effectively implement the “holistic“ on the mathematics curr
7、iculum, textbook writers, teachers, educational evaluation and other educational elements first need to have a deep understanding of the integration of mathematics courses, this paper of all aspects of educational elements on the overall grasp of the status of mathematics courses to Fractional equat
8、ion, for example, is intended to find the problems in the implementation of curriculum reform and its root causes, so as to vigorously promote the course of mathematics curriculum reform.Based on the theory of cognitive structure , this paper analyzes the “compulsory education curriculum standard (2
9、011 edition)“ and som aspects of the literature, the overall grasp of the fractional equation to do the following aspects:(1) the relationship between the position of the fractional equation in the math curriculum system and the relationship with other mainline knowledge.(2) From the equation, fract
10、ion, function and inequality and other dimensions in-depth understanding of the concept of fractional equations.(3) The thought of equation and the idea of transformation of fraction equation.(4) During the teaching process, solving the fraction equation should be used as the carrier, reflecting the
11、 rigor of deductive reasoning and accuracy.Based on the above theories, this paper analyzes the three classes of textbooks, such as Peoples Education Press, Beijing Normal University Press, Suzhou University of Science and Technology, and the open classes of two in-service teachers, and The question
12、naire survey for the status quo of mathematics curriculum understanding in the junior middle school teachers. through the above study can be found:(1) The textbook does not reflect the integrity of the math curriculum in some respects;(2) Teachers on the integral equation of the overall grasp is not
13、 clear首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.- 4 -(3) The teaching process can not effectively penetrate the integrity of mathematics courses.In view of the above problems, the textbook writers should deepen the research on the integration of mathematics curriculum and adjust th
14、e teaching materials. Teachers should strengthen their professional accomplishment, study and perfect their own knowledge structure, choose more effective teaching methods in teaching, So as to achieve the development of national mathematics abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, vis
15、ual imagination, mathematical operations and data analysis and other mathematical core literacy, to promote national development goals.Key words: curriculum holistic; opposition to knowledge fragmentation; mathematics curriculum holistic; fractional equation; overall grasp首都师范大学全日制教育硕士 Error! No tex
16、t of specified style in document.- 5 -目录一、问题的提出 11. 研究背景 12. 研究问题 33. 研究意义 3二、研究设计 .41. 研究对象 42. 研究方法和思路 4三、整体把握分式方程的理论依据 51与分式方程有关的的数学知识 52. 分式方程的历史 53整体把握分式方程的理论依据 84. 整体把握分式方程 10四、研究过程 111. 教材分析 .112. 教师整体把握分式方程的现状分析 .153. 中考大纲分析 .22五.研究结果及建议 .221.研究结果 222. 研究建议 .23六.研究的不足与展望 261研究的不足 262研究的展望 26
17、致谢 .27附录一：调查问卷（教师版） 28参考文献 .30首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.- 6 -首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.1一、问题的提出1. 研究背景随着科学技术的飞速发展，全球各国之间的联系越来越紧密，在教育发展上也呈现出了世界性的趋势，尤其是在课程改革的方面，各国建立符合国家特性的课程标准，对各个层次课程质量进行总体上的要求；提倡“课程综合化、整体化”，打破各个领域之间的界限，在学科之间进行融合；提倡“
18、课程内部综合化、反对知识碎片化”，整合学科内部结构，发展主干，弱化枝干，以“先见森林，后见树木” 的教育理念，使得学习是在清晰、明确的目标引导之下进行，培养国民的综合能力，发展国民的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养。数学教育工作者对学科内部知识的整体把握是数学课程改革巨大的动力。研究各方面教育元素对数学课程的整体把握现状可以发现在实施课改当中存在的问题及其根本原因，从而大力的推动数学课程改革进程。1.1 课程整体化的改革趋势郭思乐教授（华南师范大学）提出了教育要走向“生本” ，在教育儿童以自身能力去发展社会的基础上，更注重教育他们挖掘自身的发展与自由意志
19、，鼓励儿童寻找自身的深层次的幸福感。从外部地位上看，学生是独立的具有主观能动性的个体；从学生内部的自身条件上看，儿童从出生开始就在不断的学习，不断的创新，拥有无数的潜能。儿童是教育所依，儿童的发展是教育的本体，儿童的自然天性和潜能的发展是教育的根本目的。生本教育指出， “一切为了学生” ，现代课程改革要跳出打着学生本体为旗号的教师本体的误区，一切为了学生的长远发展；在这样的价值观的基础上，生本教育提倡“小立课程，大作功夫”的课程观：“教给学生们尽可能精简的基础知识，让学生有更多的时间和精力去进行大量的活动。 ”郭教授指出，这种课程观之所以能够成立，是因为系统功能：“由系统中的最小独立子系统，可
20、以得到或生成整个系统。 ”目前，学生在学习知识时是一点一点的学，如代数，先学习单项式多项式，再学习整式，对于整式的各种运算法则（加减、乘除、因式分解）要用三章的内容学习，在学习的过程中，学生总带着一种“学这些有什么用”的想法，比如起初学生刚刚开始接触单项式 ，这个单项式能做什么3xy呢？生活中能用吗？在数学里有什么用？这种疑问导致学生“不知所以学” ，从而丧失了学习兴趣。现代教学中这种例子比比皆是，将知识内容“过度分析” ，如数学教学中的题型化，以高考卷子或是期中期末卷子为模板，考什么就讲什么。 “知识赖以产生、存在及发展的整体事物被拆解了，学生的思维变成了若干部分的拼装” 1。首都师范大学全
21、日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.2芬兰课程改革：“先见森林，后见树木” 。芬兰自在国际学生能力评比（PISA）测试中崭露头角之后，他的课程改革理念受到了全世界的关注。他的“悖论”理念给予世界各国许多榜样案例与启迪，如“教的越少学的越多，考试越少学的越多”，强调了课程要选择最重要的、最基础的主干知识，把时间留给学生，让学生将学习到的扎实的基础功重组改造，完成应用、创新等过程。实际上，这是一种教育起点的变化：解决一个问题。学生学习课程时并不知道这些课程有什么用处，经常会有学生问“我们要拿二次函数去买菜吗？”这类问题就是反应学
22、生学习目标模糊的直接的证据。教师虽然对“二次函数”在数学、生活中的意义有一定的了解，明确它的重要性，但却从来没有人跟学生提及过。 2“理解复杂知识需要掌握组织成系统形式知识的不同方面，也即需要掌握组织成系统形式的知识整体或知识系统” 3。在开始学习之前让学生先了解知识内容在课程整体中的地位和作用有助于学生从根本上明确这一系统的脉络结构，有助于学生将新知识纳入原因的知识经验中，形成稳定的实质性的结构，有助于激发学生内在的学习动力。1.2 数学课程整体化的改革趋势美国数学课程改革：“回归基础” 。20 世纪 60 年代，苏联将地球的第一颗人造卫星送上太空之后，美国深感自身教育的不足，特别是数学教育
23、，由此引起了长达几十年的波折的数学课程改革：强调学科内容与现代化知识相联系，注重数学课程结构化的“新数运动” ；注重数学根本的“回归基础”运动；解决回归基础运动出现的“平庸性”问题的“问题解决”运动；由于过于重视问题解决而导致的“基础性”知识和能力缺失，从而出现了“课程标准”改革；由于课程标准中课程目标“宽而不深” ，课程内容“广而不精” ，导致了教师不能得到清晰明了的教学方向，学生不能得到个性的发展，2006 年“课程焦点”改革应运而生。 4从上世纪到今天的 60 多年的时间里，美国数学教育工作者不断的摸索、试误，在坎坷不平的数学课程改革道路上留下了宝贵的经验与教训。美国全国数学教师协会在
24、2000 编写的学校数学的原则和标准 5中强调：“数学是一个统一、和谐的知识体系” ，即数学具有整体性。因此，数学课程必须以一个整体出现在学生面前，让学生认识到数学内部知识的主体及这些知识之间的联系，并把这些联系体现在基础教育的各个阶段，如：用几何问题引入代数概念 6。中国数学课程改革经历长久的的探索过程。1949 年新中国成立，教育成为新中国的重大问题，根据当时的政治背景，教育部门指出要全面学习苏联。但这种“片面”学习没有结合中国自身的实际情况，导致数学课程内容“小而低” ，因此迎来了“教育大改革” ，大力加入一些课程内容，如“微积分初步，解析几何”等，这次实验增加了学生的负担，降低了数学内
25、容的系统性，没有成功。1961 与 1963 教育部两次修订了中学数学教学大纲，提出了“基本知识和基本技能” ，并且修订了数学教材，但受到文化大革命影响，没有实施，一直到新时期的课程改革，教育工作者不首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.3断摸索、调查，在 2001 颁布了基础教育课程改革纲要（试行） ，这项纲要标准着中国的基础教育开启了新的篇章 7。在不断更新与细化数学课程改革的过程中， “数学教学内容的综合化”受到越来越多教育工作者的推崇。学生需要从各个方面综合发展，这种综合性不能依靠一个一个的知识点教学，而
26、要将数学“完整、系统” 的展现在学生面前。因此打破 “碎片化”的知识点内容，不去过多的研究数学的细枝末节，利用“板块” 、“板块之间的联系”等思想，强调数学的主线内容，主要思想，帮助学生建立起数学系统的知识脉络，实现数学内容综合化 8。2. 研究问题课程改革的大浪潮下，数学课程的“整体化、系统化、反对知识碎片化”的课程理念已经深入人心，相关研究也逐渐成熟。在实施“整体化”的过程中，课程标准、教材、教师、教育评价等方面都需要相关教育工作者付诸实际的行动，进行改革与深化。本文研究教材、教师两方面践行数学内容整体化理念的现状：以分式方程为例，研究在教材的编写上，阶段性内容的编排、章节内容编排、每节课
27、程内容的编排是否遵循数学的“整体脉络”；教师是否透彻的“整体把握”数学内容并有效的贯穿于课堂当中。以期发现目前数学内容整体化在实施过程出现问题及其根本原因，并给出合理化的建议。3. 研究意义王尚志等教授在整体把握与实践高中数学新课程中说过，“整体地把握数学课程是值得特别关注的。知识和技能是需要一个一个地学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基本，贯穿在课程的始终。 ”9 整体把握数学课程对于教师来说，首先，有助于增强对于数学的理解。整体把握可以削枝强干，掌握通性通法，发现数学课程的内在联系文献；无论初中数学还是高中数学，整体把握数学课程，
28、抓住数学课程的“主线”，可以帮助教师了解各个主线之间的联系，了解数学主要的思想和方法，建立起数学主线的知识网络，削去细枝末节，把握初中数学主要的“茎干”，从而能够从多个角度看待同一个数学问题，并且找到解决问题的最根本的方法。例如，教师对高中数学主线“运算”“几何”有整体的把握，不仅可以从角、边、三角形全等与形似等几何角度研究三角形的边角关系，也可以利用余弦定理，从代数角度解决边角问题。此外，在整体把握数学课程的过程中，需要将数学内容“上下联系”。例如函数，下至“常量与常量”之间的关首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in docume
29、nt.4系，上至“微积分” 等数学内容都与函数相联系，在联系的过程中教师会逐渐开拓数学认知，找到一类数学问题由上至下的根本性质，即开阔视野，抓住本质 10；其次，有助于教师增强对数学教育的理解。在备课时，教师的教学设计会根据新课在数学课程中、整个学期中、整个单元、整个数学中的地位，得到本节课的知识目标、思想目标在整体中比重，从而设计出本节课的新概念需要学生理解到什么程度，思想方法应该深入一些还是浅尝辄止。在上课过程中，会根据教学设计控制课程难度与深度，并有意识的用适当的言语体现数学的“整体性”，使学生了解本节内容在他未知的数学世界中所处的位置，“知其所以学”，培养学生“整体把握”的意识，帮助学
30、生形成好的学习习惯和学习能力。二、研究设计1. 研究对象本文主要以各版本教材（包括北师大版、人教版、苏教版三个版本） 、中考大纲、教师的教学设计、教学实录为研究对象。 2. 研究方法和思路本文主要采用文献分析法、问卷调查法和案例分析法三种方法相结合进行研究。文献分析法：对现在仍然存在的有关分式方程的文献、教师的教学设计、课堂实录、中考大纲等进行分析，分析内容包括：文献中理解分式方程概念的角度、求解分式方程的主要思想和方法、数学解题教学逻辑的研究现状；、案例分析法：观摩几位教师的数学课堂，从课程结构、数学概念、数学思想方法、教学能力等方面分析教师对数学课程等整体把握现状。调查问卷法，从上述几个角
31、度调查教师对数学课程特别是代数课程的整体把握的状况，了解教师在一线课堂中如何呈现数学知识的整体性及逻辑性。研究的思路见下图：明确研究目的，制定研究计划文献检索，寻找理论依据分析教材 分析教师教学实录 设计问卷首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.5三、整体把握分式方程的理论依据1与分式方程有关的的数学知识1.1 分式：一般地，如果 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做,ABBAB分式. 111.2 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 12。1.3 增根（北师大版）：求解分式方程 后，对增根这样
32、描述：在这里， 12=122不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它 2x为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式 13。1.4 无解：方程本身就是一个矛盾的等式，无论未知数取何值，都无法使得这个方程两边的值相等 14。1.5 方程同解原理：在解方程组中，必须对方程（组）进行数学变形，使之转变为最简单的方程（组） ，然后，求得方程（组）的解集。在变形和运算过程中，有时会改变原方程（组）的定义域，使求得的解集 与原方程的解集 不相同，当 真MM包含 时， 中含有某些解不是原方程的解，称这些解为原方程的增根，反之称M为失根。在分式方程的变形中
33、，变形后的定义域范围扩大，所以必须对分式方程进行验根 15。2. 分式方程的历史想要全面把握分式方程，它产生的历史过程是最有借鉴意义的研究材料。经查阅文献，分式方程最早始于金元时期的数学家李冶。他的毕生创作中有一本书叫做测圆海镜 16，这本书共十二卷，其中第七卷第二问中有这样的记录：2 2653046840xx李冶老师把上述方程左右两边同时乘以 ，得到2x发放、分析问卷得出研究结论并提出合理性建议首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.642860534650xx易知，式是我们熟知的分式方程的雏形，但那时还没有对分
34、式方程严格的定义和认识。李治老师在处理这个分式方程的过程中，将方程左右两边同时乘以 , 2事实上，这种方法就是将分式方程转化为整式方程求解的雏形。李冶老师突破了分式与整式之间的界限，利用“转化”的思想，把分式方程转化为整式方程。由于文献受限，我们对这种处理可以有以下几种猜想：（1） 已知分母 不为 0；,2并没有意识到分母不可以为 0（2） 虽然很明显方程的根中并不包含 ，但李冶老师对于此方程的解=0 有意识的排除 的解=0 如果出现 ，也当做正解=0以上两个猜想我们无法证实，但是李冶老师在 1248 年就完成了这部著作，而当时对“分数分母不为 0”的认识尚没有人提出，我们有理由猜想在处理上述
35、方程的过程中，李冶老师并没有意识到分母不可以为 0，自然如果当方程的解包含 时，=0除去实际意义以外，他并不能够把 刨除于正解之外。即便如此，李冶老师的这=0段著作也成为了全球数学史上最早发现并求解分式方程的著作。这部作品之后的 600 年，在英国才出现了一位研究分式方程的数学家：剑桥大学第四任卢卡斯数学教授桑德森。分式方程 ，桑德森先生对上述分式方程做了如下处理：4235x4235()()8xx为了验证这个解法是正确的，先生还给出了以上解法的逆过程： 75642310()(2)4352xxx于是原方程的根为 8可以发现，上述方程与李冶老师的方程有一些不同：左右两边都含有公因式 ，首都师范大学
36、全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.7因此在处理的过程中，首先，桑德森先生在方程的左右两边同时除以 , 如果 ， 0x那么步骤是成立的。但如果 ，对方程做两边同除 的处理是没有意义的。这个0xx问题在求解整式方程中也会频繁的出现。同理可得，在桑德森逆向的过程中包含了方程两边同时除以 ，如果 或 ，那么这一步骤也是没有意义的。(2)323其次，桑德森先生在方程的左右两边同时乘以了 ，这种解法与李(2)(3)冶老师的解法异曲同工，都是为了将分式方程转化为我们熟知的整式方程进行求解。从以上两个步骤中，我们可以推断出，桑德森先生在
37、当时并没有增根和丢根两种意识。虽然他采用了带入的方法来检验求解是否正确，但可惜的是，第一，这种验证确实可以验证 是否是方程的根，但并不能检验出 是否是方程所有的根；=8 =8第二，这个历史性的方程利用这种解法求得的解没有出现增根，否则桑德森先生一定会得出更加细致的结论。到此为止，两位数学家分别代表东西方国家在分式方程中做出了巨大贡献与突破，也都利用了“转化”的重要数学思想，将分式方程转化为当时比较熟悉的整式方程。但当时的数学尚在发展时期， “分析的严密化运动” 17为上述两种解法画出了一个大大问号：1880 年， “零能否作除数”被分析的严密化运动牵扯出来，并在很多国家中被当做一个“重要问题”
38、讨论。德国数学家李普西斯（R.Lipachitz） 、哈克奈尔（A.Hamack） 、奥地利数学家斯托尔茨（O.Stolz，1842-1905）相继指出零不能作除数。这个命题与分式方程的求解有着极其密切的关系。这个问题的讨论引起了一些数学家的重视，他们开始把分式方程作为一个专门的课题来研究，可以说这次运动也在一定程度当促进了分式方程求解的发展。直到 1882 年，美国康乃尔大学 3 位数学教授奥里佛（J.E.Oliver）、威特（L.A.Wait）和琼斯（G.W.Jones）在他们合著的代数 18中讨论了分式方程的解法.他证明了下面的定理：方程两边乘以同一个数，若这个数既不是未知的函数，也不是
39、 0 或 ，则方程的根不变。三位数学家的定理比之前李冶老师与桑德森先生的解法更加严谨细致，也在一定程度上推翻了两位数学家的解法：分式方程的定义中有决定性的一点：分母含有未知数。因此分式方程中的分母可以看作是这个未知数的函数，如果在方程两边同时乘以公分母，等价于乘以一个“未知的函数” ，这与上述定理是相悖的。因此，这种解法势必会导致求解不精确。到了这个阶段，数学家们已经认识到了原始解法中的“增根和失根”的问题。为了避免在解方程的过程中增加或丢失方程的结果，在宾夕法尼亚大学的任教的数学教授费舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）在代数课本 19（Text-Book of Al
40、gebra）中给出了另外一种解法：首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.8将分式方程进行整理，移项通分，写成 的形式，其中 ，()0PxQ(),1PxQ此时这个方程的解与 的解相同。这种解法产生于更加完善的数学背景之下，()0Px数学家们在对分式方程有了完整的理解和把握之后，同样利用了“转化”的思想，将分数等于零，转化为分子（即整式）等于零，从而解决了“增根和失根”的问题，不需要进行任何检验。如题2310xx通分得 ，解得22231031xx13x费舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）给出
41、的解法为求解分式方程画上了完美的句号。至今为止，基础教育求解分式方程仍然沿用以上两种方法，但“乘公倍式，带方程检验”的方法居多（普遍使用的各版本教材均为此解法）纵观分式方程解法的发展历史，数学家们起先是在没有意识到“零不能做除数”的背景下，利用转化的思想，将分式方程左右两边同时乘公分母转化为整式方程进行求解。但随着数学的发展，而直到人们意识到这种解法可能会改变方程的解时，“增根”这一由于错误的解法而出现的“附属品” 才进入人们的视线。因此，数学家们便对过去的方法进行了改进：（1） 仍然沿用“转化”的方法，但需要将所得方程的根带入原方程进行检验， 从而出现了增根。（2） 不采用最初的分式转整式的
42、方法，而是将分式方程移项通分，另其转化为等价命题：若分数为0，则分子为0。总结分式方程及其求解的历史过程：人们意识到，分母中含有未知数的方程是一种新的方程，可以将它转化为熟知的整式方程求解，于是“乘公分母法”应需而生。但当人们对分数、分式及分式方程有了更加深入的认识：“分母不能为0” 时，产生了“若分数为0，则分子为0” 的更加严谨的方法，改正了最初求解时“增根、漏根”的错误。两种解法的历史背景不同，我们可以想象，如果在求解分式方程之前，就已经存在“零不能做除数 ”的命题，这种解法会不会出现呢？如果我们在做出结论之前，就对相关的知识有了整体无误的把握，会不会降低错误的出现率呢？首都师范大学全日
43、制教育硕士 Error! No text of specified style in document.93整体把握分式方程的理论依据认知结构迁移理论 20认为，一切有意义的学习都是在原有认知结构的基础上产生的，不受原有认知结构影响的有意义学习是不存在的。一切有意义的学习必然包括迁移，迁移是以认知结构为中介进行的，先前学习所获得的新经验，通过影响原有认知结构的有关特征影响新学习。 认知结构识指学生已经学过的知识和经验，掌握的清晰程度以及这些知识和经验的组织方式，包括学生能自己总结出的命题、概念、理论等等。如若想要对分式方程有着清晰、整体的把握，就需要我们在学习时，自己有意识的将能够和分式方程联
44、系的原有的知识和经验与新知识“分式方程”进行同化和区分， 把分式方程纳入已有的认知结构当中。因此必须分式方程 有关的基础知识：分式、方程两个板块有清晰、深入的理解。义务教育课程标准（2011年版）（简称“课标”）对分式方程的课程目标设置为：能解可化为一元一次方程的分式方程 21。这里特别强调了转化的思想：分式方程转化为一元一次方程，即整式方程。分式方程是与整式方程相并列的两种重要的方程，利用分式方程可以解决一部分数学问题与生活中的实际问题。此外，“课标”中提出“整体考虑知识之间的关联”，“一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域”。笔者根据“课标”设
45、置的课程内容与王尚志教授的指导，总结出下列分式方程的结构图。初 中 数 学数 与 代 数实 数代 数 式整 式分 式方 程整 式 方 程一 元 一 次 方 程一 元 二 次 方 程二 元 一 次 方 程 组分 式 方 程函 数一 次 函 数二 次 函 数反 比 例 函 数不 等 式 一 元 一 次 不 等 式图 形 与 几 何统 计 与 概 率综 合 与 实 践首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.10众所周知，“方程、函数、不等式”之间存在着实质性的联系，分式方程建立在分式的基础上，它与整式方程并列构成方程的重
46、要组成部分，并且分式方程可以转化为一元一次方程。初中阶段，分式方程是简单的反比例函数型函数函数值为0时的结果。高中阶段，必修1 中经常会遇到含有分式的复合函数；必修 2的立体几何部分会出现比例问题，通常利用方程的思想列出分式方程解决问题；必修3的概率统计中，当总体数量未知时也会出现分式；必修4 的三角函数，必修5的余弦定理都会频繁的出现分式方程。这些内容会对加深分式方程的理解都有螺旋式上升式的启发与帮助。数学教育要考虑学生之前学过什么：即考虑从分式角度、方程角度分析，形成分式方程的概念。再考虑未来会在哪些模块出现这些概念，比如高中阶段还可以从函数角度分析（定义域、值域、性质）， 。在学习对不同
47、阶段，=32+9会对“分式方程”有新的更加深入和本质的理解。因此，王尚志教授说过，“对于一个重要的概念，需要通过不同的维度，不同的角度加深对它的认识”。“课标”中指出，在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。它贯穿于小、初、高的数学学习的整个过程，是数学最基本的思维方式。其中，演绎推理是推理的重要组成部分，“从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理等法则证明和计算。”在演绎推理的过程中，只有严格遵守“确定的规则”才能保证推理的严谨性，使得结果准确无误。正G波利亚在他的著作怎样解题 22中曾说，“解题的成功要靠正确的转化”。我们已经有
48、的知识和经验是解决数学问题的法宝。在已经对“分式”“方程”“整式”等知识有了稳定的、清晰的认知的基础上，去求解分式方程，就可以把新概念转化为我们已有的知识经验去解决和研究，化生为熟，化繁为简，化难为易。因此，“转化”思想是求解分式方程的重要思想。这种思想贯穿着数学学习的始终：小学阶段，将除法转化为乘法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。高中阶段，转化思想更是重复出现：解析几何中，几何问题与代数问题相互转化，相辅相成；在导数、三角函数、解三角形中大大小小的转化问题比比皆是。4. 整体把握分式方程根据对分式方程的发展过程的梳理，受到王尚志老师的启发，经张景斌老师、刘晓玫老师、王瑞霖老师的指导，以认知
49、结构学习理论为理论根基，本文得出应从以下几个方面整体把握分式方程：（1） 分式方程在数学大课程系统中所处的位置及与其它主线知识间的关系。分式方程与整式方程是方程的重要组成部分，方程、实数、代数式、函数与不等式共同组成了初中数学“数与代数”的大模块，并且在高中阶段反复出现。首都师范大学全日制教育硕士 Error! No text of specified style in document.11（2） “一点多维度” ，深入了解分式方程的概念。第一，从方程所具有的本质把握分式方程。它应当满足方程的定义和求解原理，如方程左右两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变；第二，从分式所具有的本质特征理解分式方程，因此分式方程在定义和运算方面都需要满足分式的相关要求，如分母不为零。第三，方程、函数、不等式有着实质性的联系，如函数的零点就是分式方程的根，分式不等式解的边界（如果有边界）就是分式方程的根。（3） 分式方程的思想方法。首先，方程的思想：能够将实际问题中的
