高中数学竞赛讲义——复数.doc

1、第 1 页 共 13 页高中数学竞赛讲义复数一、基础知识1复数的运算法则：三角形式，若 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；cos(1-2)+isin(1-2)，或记为 z1z2=r1r2 ；122(0),zr 2()ie.)(212ierz2棣莫弗定理：r(cos +isin)n=rn(cosn+isinn).3开方：若 r(cos+isin)，则 ，k=0,1,2,n-nw )sin(coskw1。4方程 0(2nxn为 自 然 数 ， 且 ） 的 个 根记为： 称为 1 的 次单位根。由棣莫

2、弗定2cosi(0,1,)kk n理，全部 次单位根可表示为 。n2n，关于单位根，有如下常用性质： ；)2011n（任意两个单位根 的乘积仍为一个 次单位根，且ji,（1） ；的 余 数 ）除 以是其 中时 ，当 njiknkjijiji ,(（2）设 为整数， ，则m1的 倍 数 ）不 是 的 倍 数 ） ，是mmnm(0121（3）1+z 1+z2+zn-1=0；（4）x n-1+xn-2+x+1=(x-z1)(x-z2)(x-zn-1)=(x-z1)(x- )(x- ).21nz特别地：1 的立方根有：1， i， i12 - 12（1） 3 31 - （2）1 20 或 1 20 -

3、- （3） 1- 第 2 页 共 13 页（4） 2 ， 2 - - （5）(1i) 2 2i，(3 4i)2724i5代数基本定理：在复数范围内，一元 n 次方程至少有一个根。6实系数方程虚根成对定理：实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b0)是方程的一个根，则 =a-bi 也是一个根。z7若 a,b,cR,a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0，当 =b2-4ac0.（1）若 这时，在坐标平面上，F 1（0，n） ，F 2（0，m） ，只可能为图.0,m象（C） ，但与| F1F2|m|. 故在（B）与（D）中，均有 F1 : ni ；F 2 : mi，且 m

4、0. 由方程，双曲线上的点应满足到F2 点的距离小于该点到 F1 点的距离.答案：（B）【评述】 （1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.（2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.5复数与三角。例 8已知 cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明 令 z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2+z3=0。所以 又因为| zi|=1,i=1,2,30213所以 zi =1，即 .iiz由 z

5、1+z2+z3=0 得 .022131321 zzx又 .0)(32132321321321 zz所以 .0321z所以 cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以 cos2+cos2+cos2=0。例 9求和：S=cos20 0+2cos400+18cos18200.解 令 w=cos200+isin200,则 w18=1，令 P=sin200+2sin400+18sin18200,则 S+iP=w+2w2+18w18. 由w 得 w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w )(S+iP)=w+w2+w18-18w19= ，1918)

6、(所以 S+iP= ，所以i3198.2S6复数与多项式。例 10已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是 n 次复系数多项式 (c00).第 6 页 共 13 页求证：一定存在一个复数 z0，|z 0|1，并且| f(z0)|c0|+|cn|.证明 记 c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0)，则方程 g(z)-c0ei=0 为 n 次方程，其必有 n 个根，设为 z1,z2,zn，从而 g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令 z=0 得-c 0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z 1z2zn|=1

7、。所以 z1,z2,，z n中必有一个 zi使得|z i|1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(z i)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.7单位根的应用。例 11证明：自O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明 取此圆为单位圆，O 为原点，射线 OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点 A1 对应复数设为 ，则顶点 A2A3An对应复数分别为 2， 3， n.设点 p 对应复数 z,ine2则|z|=1, 且=2 n- kkkknkk zzp 1111 )()(| =2n- 命题得证。.221111 nznknkkk例 1

8、2集合 A= 和 B= 都是 1 的复数根的集合，集合 C=848也是一个 1 的复数根集合，集合 C 中有多少个不同的元素。 （美国）z,解： 个 ） ，相 异 元 素 8(,82sincoZkk个 ） ，相 异 元 素 4,4itt.132sin13cstkz 令 ZPtkmP下 证,8（1） 设 m得故则 ,3,（2） 任取 有 三 种 情 况 ：则 xZ；Pxnnx故则 ,08,3；x故则 ,311。xZx 故则 2,2第 7 页 共 13 页 ，故 Z=P，故集合 C 有 144 个不同元素。例 13设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为则复数 所对应的

9、不同的点的个数是（ ）,201z 195201952,zzA4 B5 C10 D20【思路分析】如题设可知，应设 .故解题中应注意分解因式.20k【解法 1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设 .由 ，有120kz60k.,1, ),()(01551 156 iziz izkkkk k【答案】A.【解法 2】由 ),()1(0, 552 izzkkkkkk 则可知 只有 4 个取值，而 =（ ） 3 的取值不会增加，则 B、C 、D 均应排除，故5z15z应选 A.【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设 ，于是可用直接120kz法（解法 1）和排除法（解法 2

10、）.8复数与几何。例 14在四边形 ABCD 内存在一点 P，使得 PAB，PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点 Q，使得 QBC，QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。证明 以 P 为原点建立复平面，并用 A，B，C，D ，P，Q 表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA；取 ，则 C-Q=i(B-Q)，则 BCQ 为等i1腰直角三角形；又由 C-Q=i(B-Q)得 ，即 A-Q=i(D-Q)，所以 ADQ 也)(ii为等腰直角三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。复数的几何意义，为我们解决几何问题提供了有效的方法。例

11、 15如图，ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形。现固定ABC，而将ADE 绕 A 点在平面上旋转。试证：不论ADE 旋转到什么位置，线段 EC 上必存在一点 M，使BMD 为等腰直角三角形。 （高中联赛，1987）证明 1： 首先探索 M 点的位置，为此让 ADEEDCBA第 8 页 共 13 页绕 A 点旋转 ，使 E 点落在 AB 边上，不难证明，在这一特殊位置时，M 点恰好是 EC4的中点。下面再用复数证明一般情况下，M 点仍是 EC 的中点（图 4.5.7） 。建立如图 4.5.8 的复平面，使 。不妨设 ，0Az2Cz则 ，RyxiizDB,1则 。iyxiizeiE 1

12、24由中点公式 ，yxECM2又因为 ，ixzmD ，yxyBM2故 且 。故BMD 是以点 M 为直角 D MBMDi顶点的等腰直角三角形。DMECBAyxEC AyxOB D第 9 页 共 13 页AEDCBM证明 2 通过复数方法直接计算后确定 M 点的位置。为此仍将ABC 置于复平面，设A，B，C 所对应的复数分别为 0， ，AD 长为 1，则 D，E 对应的复数4,2iae分别为 （这里 是 AD 的旋转角） 。再以 DB 为斜边作等腰直角三角iie42,形 DMB于是. DBiiDBm zzeaezz 4421, iie442所以 。ECim zeaz 2114由此可知 M 点是线

13、段 EC 的中点，命题得证。证明 3 通过建立恰当的坐标系简化证明。由于 ABAD，因而不论ADE 旋转到什么位置，B，D 均不会重合，因而可取 BD 所在的直线为横坐标， BD 中点为原点（如图 4.5.9） ，设 ，azD,于是 ，故 ，iaziAAE iazAE同理 ，则线段 EC 的中点 M 的值为 ，zzC iAE21而 ，恰好对应等腰三角形的三个顶点，即三角形 BDM 是等腰aiaMDB,第 10 页 共 13 页直角三角形。例 16若四边形 ABCD 内部有一点 P，使四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA等积，求证 P 点必在对角线 AC 或 BD 上。 （瑞典，1982）分

14、析 用复数表示三角形面积，形式非常简单。设 ，212,iierzrz则 。2121sin21 rSzO由于 。21212121 Im,sinco21zSzO本题取 P 为复平面的原点，A、B、C 、D 对应复数 ，则由四个三角形等积，DCBAz,得 ，ADCBAzz IImIIm又因为 ， izzi CBBAB 2,2所以 ，即 。CAzzz ABCA同理可得 ，AC若 ，则 ，这说明 P 点为 AC 的中点，0AzAz若 ，则 ，这说明 P 点为 BD 的中点，所以 P 点必在 AC 或 BDCCB上。例 17平面上给定 A1A2A3 及点 p0，定义 As=As-3,s4，构造点列 p0,

15、p1,p2,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋转 1200 时 pk所到达的位置，k =0,1,2,若 p1986=p0.证明：A 1A2A3 为等边三角形。证明 令 u= ，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，3ie则 p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,u 2+(- u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数。同理得第 11 页 共 13 页p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以 w=0，从而 A3-uA2+u2A1=0.由

16、 u2=u-1 得 A3-A1=（A 2-A1）u ，这说明 A1A2A3 为正三角形。三、基础训练题1满足(2x 2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有_组。2若 zC 且 z2=8+6i,且 z3-16z- =_。3.复数 z 满足|z|=5 ，且(3+4 i)z 是纯虚数，则 _。z4已知 ，则 1+z+z2+z1992=_。i3125.设复数 z 使得 的一个辐角的绝对值为 ，则 z 辐角主值的取值范围是6_。6设 x 是模为 1 的复数，则函数 的最小值为 （ ）31)(2xfA5 B 1 C2 D37若复数 z 满足关系 对应的复平面的点 Z 的轨迹是 （

17、 zizz则,|4|2|）A圆 B椭圆 C双曲线 D直线8已知复数 z 满足关系式 ，则复数 z 的辐角主值的范围是 （ 3|z）A B3,02,35C D2,5,09若虚数 z 满足 的值是 .2833zz那 么10若关于 x 的方程 至少有一个模为 3 的根，则实数 a 的值是42ax.11给正方体的 8 个顶点染上 k 个红点， 个蓝点（ ）.凡两端为红色的棱k881k记上数字 凡两端为蓝色的棱记上数字 凡两端异色的棱记上数字,231i ,2i1，这 12 个数字之积的所有可取值为 .12N 个复数 z1,z2,zn成等比数列，其中|z 1|1，公比为 q,|q|=1 且 q1,复数 w

18、1,w2,wn第 12 页 共 13 页满足条件：w k=zk+ +h， （其中 k=1,2,n，h 为已知实数） ，求证：复平面内表示1w1,w2,wn的点 P1,P2,Pn都在一个焦距为 4 的椭圆上。13若 ak0,k=1,2,n，并规定 an+1=a1，使不等式 恒成nknkkkaa11212立的实数 的最大值为 _。14若 nN，且 n3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为_。15设(x 2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+anxn，则+a3k- _。254310a nka23116设复数 z1,z2 满足 z1 ,其中 A0，AC 。

19、证明：0212zA（1）|z 1+A|z2+A|=|A|2； （2） .2117若 zC ,且 |z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求| u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数 z.四、联赛训练题1已知复数 z 满足 则 z 的辐角主值的取值范围是_。.1|2设复数 z=cos+isin(0)，复数 z,(1+i)z，2 在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R ，当 P，Q，R 不共线时，以 PQ，PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S，则S 到原点距离的最大值为_。3设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,z20,则复数所对

20、应的不同点的个数是_。195201952,zz4已知复数 z 满足| z|=1，则| z+iz+1|的最小值为_。5设 ，z 1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A，B，点 O 为原点，iw3AOB=90 0，| AO|=|BO|，则 OAB 面积是_。6设 ，则(x- w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为_。5sinco7已知( )m=(1+i)n(m,nN +)，则 mn 的最小值是_。38复平面上，非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上， z2 的实部为零，z 1 的1第 13 页 共 13 页辐角主值为 ，则 z2=_。69.当 nN

21、,且 1n100 时， 的值中有实数_个。ni1)3(710已知复数 z1,z2 满足 ，且 ， ， ，则21z31Argz62rgz873Argz的值是_。321zArg11集合 A=z|z18=1,B=w|w48=1,C=zw|zA,w B ，问：集合 C 中有多少个不同的元素？12证明：如果复数 A 的模为 1，那么方程 的所有根都是不相等的实根ixn)(（nN +）.13.对于适合|z|1 的每一个复数 z，要使 0|z+|2 总能成立，试问：复数 ， 应满足什么条件？14设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足 ,)(45432154321432 Saaaa其中 S 为实数且|

22、S|2 ，求证：复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上。15求证： 。)2()(sin2sin1 n16已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+cn是复变量 z 的实系数多项式，且|p(i)|1，求证：存在实数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a 2+b2+1)24b2+1.17运用复数证明：任给 8 个非零实数 a1,a2,a8，证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数。18已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1.19设 z1,z2,z3 为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。