1、 - 1 -11 数列一、数列的基础知识1数列a n的通项 an 与前 n 项的和 Sn 的关系它包括两个方面的问题：一是已知 Sn 求 an，二是已知 an 求 Sn；2递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。常见类型：类型： （一阶递归）为 常 数 ）anpqnp()0()1其特例为：（1） （2 ）)(1nn )0()1pnqpan（3） 0)(pqap解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型： （二阶递归）为 常 数 ）bann,(, ),211解题方法:利用特征方程 x2=px+q,求其根 、 ,构造
2、 an=An+Bn，代入初始值求得 。BA,类型：a n+1=f(an)其中函数 f(x)为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。二、等差数列与等比数列1定义：2通项公式与前 n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。三等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽2同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换 数列问
3、题的灵活性表现在：1需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算2需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系 例题讲解1已知( bc)logm x+(ca )logm y+(ab)logm z0 (1) 若 a、b、c 依次成等差数列，且公差不为 0，求证 x、y 、z 成等比数列；(2) 若 x、y、z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证 a、b、c 成等差数列 2. 数列a n的 前 n 项 和 Sna 2n + b（nN） ，则a n为等比数列的充要条件是_- 2 -3. 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S756，S n420，a n3 34，则
4、 n_4. 等差数列中,a 3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S135. 各项均为实数的等比数列an的前 n 项之和为 Sn，若 S10=10，S 30=70，求 S40。6. 设a n是首项为 1 的正项数列，且(n+1)a n+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),则它的通项公式是an= .7已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且 a1,a2,a3,an 组成等差数列（n 为正偶数） ，又 f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求数列a n的通项 an；（2）试比较 f(0.5)与 3 的大小，并说明理由。8在 1 与 2 之间插入个正数 a1
5、,a2,a3,an，使这 n+2 个正数成等比数列；又在 1 与 2 之间插入个正数 b1,b2,b3,bn，使这 n+2 个正数成等差数列。记 An=a1a2a3an,Bn=b1+b2+b3+bn.（1）求数列A n和B n的通项；（2）当 n7 时，比较 An 与 Bn 的大小，并证明你的结论。- 3 -9. 设任意实数 x,y 满足|x|2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等11.已知 a1= ，a n= ，求数列a n的通项公式。21n12.正整数 k，g（k）表示 k 的最大奇因子（例如 g（3）=3， g（20）=5） ，求 g（1）+ g
6、（2）+ g（3）+ g（2 n）(其中 nN*)13.将数字 1，2，3，n 填入标号为 1，2，3，n 的 n 个方格内，每格一个数字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？- 4 -14.用 1，2，3 三个数字写 n 位数，要求数中不出现紧挨着的两个 1，问能构成多少个 n 位数？15.设数列a n和b n满足 a0=1，b 0=0，且 （n=0，1，2，.）4-7b8a36nn1-证明：a n（n=0，1，2，）是完全平方数16.已知 a,b 均为正整数,且 ab,sin = (其中 02） ，有*Nb!a.!a)!( 33318. 设 A， E 为正八边形的相对顶点，顶点 A 处有一只青蛙，除顶点 E 外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点 E 时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点 A 恰好跳n 次后到 E 的方法数为 an，求 an- 5 -19. 为 这 些 排 列 的 数 目 ，的 任 意 一 排 列 ， 设，表 示 整 数 )(.21,.21 nfnan使得：（1）a 1=1（2）|a i-ai+1|2（i=1,2,n-1）.确定 f (1996)是否能被 3 整除
