1、 1/12数列专题例 1.设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n项和，已知 S77， S1575， Tn为数列 的前 n项和，求 Tn Tn n2 nSn 419例 2设数列 an的首项 a1=1，前 n项和 Sn满足关系式：3tSn（2 t+3） Sn1 =3t（ t0， n=2，3，4，）求证：数列 an是等比数列；已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+ an)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；答案.(2) ,213nT;23二通项的求
2、法（1）.利用等差等比的通项公式1已知正项数列 满足 ， ，求 。na12214nana(2).累加法： 1()naf例 3已知数列 满足 ， ，求 。21 nan21na解：由条件知： 1)(1 nan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n)()( 13412 aaa2/12)1()413()2()1n所以 nan1，2补充练习 2.已知正项数列 满足 ， ，求 。na1221nanna3已知正项数列 满足 ， ，求 。n1 2n4.已知数列 满足 ， ，求 。na1221nana5.已知数列 满足 ， ，求 。n1（3）.构造等差或等比 或1nnapq1()nnapf已知数列
3、 满足na*1,2().N求数列 的通项公式；解： *12(),nnN是以 为首项，2 为公比的等比数列。na1.n即 2*().N例 5已知数列 中， , ，求 。na111()2nnana解：在 两边乘以 得：1()2n1(2)1令 ，则 ,解之得：b1nbnb所以 na练习. 已知数列 满足 ，且 。an ）（ n1a2n 81a43/12（1）求 ；321a，（2）求数列 的通项公式。 n 12)n(a补充练习 1.已知数列 中， , ，求 。na111nnna2.已知数列 中， , ，求 。n123an3.已知数列 中， , (1)证： 是等比数列；(2)证：1nnS14nSa4.已
4、知数列 中， , (1)证： 是等比数列；(2)求通项；na131na1na5.已知数列 中， , (1)证： 是等差数列；(2)求通项n10190nSlg6.已知数列 中， , (1)证： 是等差数列；(2)求通项；a12142nnana7.数列 满足， , (1)证： 是等比数列；(2)求通项；n1113nn1n8.数列 满足， ,点 在 上(1)证： 是等差数列；(2)求通a2(,)a2yx)1(log3na项；9.数列 满足， ,(1)求 ：是等差数列；(2)求证：n *(1)nnSN123,a是等比数例；(3)求通项；2(1)3a（4）利用 1(2)nSnn例 6若 和 分别表示数列
5、 和 的前 项和，对任意正整数nSTnanb， .求数列 的通项公式；2()a34nSn解： 2分 当2(1) 231adSnn 2435TSnnn1,358nTb时当 4分2, 6262.1Tnbnn时练习：1. 已知正项数列a n，其前 n项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6且 a1,a3,a15成等比数列，求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解: 10 Sn=an2+5an+6， 10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2或 a1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4/12又 10Sn1 =an1 2+5an1 +
6、6(n2)， 由得 10 an=(an2 an1 2)+6(an an1 )，即( an+an1 )(an an1 5)=0 an+an1 0 ， an an1 =5 (n2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a1=3时， a3=13， a15=73 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a1， a3， a15不成等比数列 a13;当 a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 （2006 年全国卷 I）设数列 的前 项的和n，142nnS,A（）求首项
7、 与通项 ；1an（）设 ， ，证明：nTS,23A132niT解：（I）2114a，解得： 1a133nnnSa 1242nna所以数列 2是公比为 4的等比数列所以： 1nna得： 4 （其中 n为正整数）（II） 1 1122423333nnnnnS 112nn nnT 所以： 11122ni n补充练习；1.设数列 的前 项的和 Sn满足： ，求通项；na243n2设数列 的前 项的和 Sn满足： ，求通项；3.设数列 的前 项的和 Sn满足： ，求首项 与通项 ；n 6na1an4.设数列 的前 项的和 Sn满足： ，求首项 与通项 ；na2()8n1n5.设数列 的前 项的和 Sn
8、满足： ，求首项 与通项 ；n 22144nnaa1an6设数列 的前 项的和 Sn满足： ，求首项 与通项 ；a a7.已知数列 的前 n 项的和记为 ， （ ）n n)1(3naS*N（1）求 ， ；（2）求证数列1a 是等比数列。5/128.数列 的前 n 项的和记为 ，已知 ， （ ）nanS1annS2,31证明：（1）数列 是等比数列；（2）na419.已知 )0(3,2),xfx成等差数列又数列 ,3,)0(1n中 此数列的前 n 项的和 Sn （ N）对所有大于 1 的正整数 n 都有 1nnSf（1）求数列 na的第 n+1 项;（2）若 nb,1是 的等比中项,且 Tn为b
9、 n的前 n 项和,求 Tn（5）累积法 转化为 ，逐商相乘 .nnaf)(1 )(1fan例 7已知数列 满足 ， ，求 。n3211na解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即1an )1(,n )1(n13421na432na1又 ，a练习：1.已知 ， ，求 。1nna231)(n2 （2004，全国 I,理）已知数列 an，满足 a1=1， (n2)，1321 )(aa则 an的通项 _n2!n)(（6）倒数变形： ,两边取倒数后换元转化为 。1nnapq qpann1例 8：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,13an解：取倒数： 113nnna6/12
10、是等差数列，na13)1(1nan 3)1(n21na练习：已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n1N （ ， ） 求数列a n的通项公式；1.设 .,),(,1),0()( 1 nabafaxf nnn又 令令（1）求数列a n的通项公式；（ 2）求数列b n的前 n 项的和.三数列求和1、等差数列求和公式： dnaSn 2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、错位相减法求和 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列. 12nnSabab例 9 求和： 32)2(7531xxS解：由题可知，设 1nn（设制错位）nn xxxx )1(432得 （错位相减）
11、nnn xxS )12(22)1( 143 再利用等比数列的求和公式得： 。nnSx1)( 21)()2(xnnS练习： 求数列 前 n项的和. ,64,32n 124nnS补充练习：1.求数列 的前 n项和；(1)na2.求数列 的前 n项和；p03.已知 为等比数列， ； 为等差数列 的前 n 项和， .n 256,1anSnb,21b85S（1） 求 和 的通项公式；ab7/12（2） 设 ，求 . nTnbaba21T24.3nn4.n是等差数列， n是各项都为正数的等比数列，且 1ab， 3521，531ab （）求 n、 的通项公式；（）求数列 nab的前 n 项和 nS。5.设数
12、列 的前 项和为 ，且 bn=2-2Sn；数列a n为等差数列，且 a5=14，a 7=20.n（1）求数列 的通项公式；n（2）若 ( =1,2,3)， 为数列 的前 项和.求 .cab nTncnT6.将函数 在区间 内的全部极值点按从小到大的顺11)sii(2)si(3)4fxxx (0,)序排成数列 (*.naN（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的表达式.nb2nbnT7.已知各项均为正数的数列 满足 , 且 ,a211na243a其中 n*N（I）求数列 的通项公式;na（II）设数列 的前 项和为 ,令 ,其中 Nn,试比较 与nbnT2nba124n
13、T的大小,并加以证明21logn4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n个 .)(1na例 10求证： nnCC2(253210 证明： 设 nnS)把式右边倒转过来得 0113)2()1( nnn CCS 8/12又由 可得： . mnC nnnn CCS 1103)2()1(+得： nC2)(2 nS)1(5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 11 求数列的前 n项和： ，231,7,41
14、2naa解：设 )()()()11S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()1(2 naann当 a1 时， （分组求和）)3S(当 时， 2)1(1nann2)13(1nan补充练习；1.求 的前 n项和；,3,482.求 的前 n项和；2n3.求 的和；221097+-14.已知数列 满足 ，且 ， 为 的前 项和.nb14nnb=172=nTbn()求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；2-n()如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. *nN271nkT-+- k6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然
15、后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1） 为等差数列，na11nnaadA（2） n19/12例 12 求数列 的前 n项和.,1,321, n例 13 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n项的2an 12nnab和.1 （理）已知数列 的前 项和为 ，且满足 。nnS21nSa（1）求数列 的通项公式；a（2）(理)若 ，且 ，数列 的前 项和为 ，求nnb2log21nbcncnTlimn（文）若 ，且 ，数列 的前 项和为 ，求证 Tn3/4nna2l 2nnn2已知数列 ：n ， 1010312求证数列 为等差数列，并求它的公差a设 ，求 的和。Nnbn1nbb213已知点列 在直线 l：y = 2x + 1 上，P 1为直线 l 与 y 轴的交点，等差数列a n的公),(naP差为 .1*N（）求a n、b n的通项公式；（） （理）若数列 满足： （C 2 + C3 + +Cn） ；CnnmClim),2(11求（文）求 C1+C2+Cn数列 na的前 项和记为 nS, ta1,点 在直线1(,)nSa上, 21yxN()当实数 t为何值时,数列 n是等比数列？()在()的结论下,设 , 是数列 的前 项和,求 的值31logbanT1nb 201T
