1、 地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559数列的求和高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等差数列的前 n 项和公式：Sn= Sn=
2、 Sn=da)1(12)(1ad2)1(当 d0 时，S n 是关于 n 的二次式且常数项为 0；当 d=0 时（a 1 0） ，S n=na1 是关于 n 的正比例式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时，S n=n a1 (是关于 n 的正比例式)；当 q1时，S n= Sn=qqan13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j拆项法求数列的和，如 an=2n+3n 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错位相减法求和，如 an=(2n-1)2n（非常数列的等差
3、数列与等比数列的积的形式）5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j分裂项法求和，如 an=1/n(n+1) 1n（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j反序相加法求和，如 an= C10地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-869975597 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求数列a n的最大、最小项的方法：a n+1-an= 如 an= -2n2+29n-3 0 (an0) 如 an= 11na10)(9 a n=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 头htp:/
4、w.xjkygcom126t:/.j5题型讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 （分情况讨论）求和： )(*1221 NnbabaSnnn 解：当 a=0 或 b=0 时， )(nnb当 a=b 时， ；aS1(当 a b 时，bnn例 2（分部求和法）已知等差数列 的首项为 1，前 10 项的和为 145，求na.242naa解：首先由 31459010 dS则 1 2()3nnada2242()nn 1(1)3236nn地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559例 3（分部求和法）求数列 1，3 ，3 2 ，
5、3 n 的各项的和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j11解：其和为：(13 3 n)( )= = (3n1 -3-n)1321n322例 4（裂项求和法） )(,4*N解： ，)1(221kak)n(3Sn头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1212 n例 5（裂项求和法）已知数列 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和：na头htp:/w.xjkygcom126t:/.jniia1解：首先考虑 nii1niiiad11)(则 =niia1 11)(nnad点评：已知数列 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和n也可用裂项求和法 头htp:/
6、w.xjkygcom126t:/.j111niii iiiada例 6（错位相减法）设 a 为常数，求数列 a，2a 2，3a 3，na n，的前 n 项和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：若 a=0 时，S n=0地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559若 a=1，则 Sn=1+2+3+n= )1n(2若 a1，a 0 时，S n-aSn=a（1+a+a n-1-nan） ，Sn= a)1()( 12例 7（错位相减法）已知 ，数列 是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令,0n，求数列 的前 项和 头htp:/w.xjkygcom12
7、6t:/.j)(lgNnabnnbS解： ,lgnnba2341()lnnSa -得： aaSnn lg)()1( 12头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnaS)()(lg2点评：设数列 的等比数列，数列 是等差数列，则数列nnbnba的前 项和 求解，均可用错位相减法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnS例 8（组合化归法）求和： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(53nSn解： )2(1)42)(1nna而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 213 2
8、13)(,)(nn nCaC地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559)(6)(12 21233234 nnn CCS 3246nn 1()(1)6(2)1!3!n nS2(3)()()1n点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当然本题也可以将通项 展开为 n 的多项式，再用分部求和法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)243)na例 9（逆序相加法）设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，求和：nadda0nn CCaS101解：因为 nnn a101011 nnn
9、naS nnnCC0101101 02()()()nnnnnSaaaC00 02nnnn110()2nnSa点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列 的前 项和 ，是否nanS12)(n存在等差数列 使得 对一切自然数 n 都成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnbnnCba21地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559例 10（递推法）已知数列 的前 项和 与 满足：nanSa成等比数列，且 ，求数列 的前 项和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j21,nSa)(1nnS解：由题意： 1,2nnaS1nnaS 2111()()
10、2nnnnSS11()2.2nnSS点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列 的前na项和 的递推公式，是一种最佳解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnS例 11 数列 中， 且满足 na,841annaa12*N求数列 的通项公式；n设 ，求 ；|21nnaaS nS设 = ，是否存在最大的整数 ，nb)(n )(),( *21* NbbTNnn m使得对任意 ，均有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j*n3mm解：（1）由题意， ，nnaa12为等差数列，设公差为 ，nad由题意
11、得 ，2382地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnan0)(28（2 ）若 ，51则 ,时12|nnSaa 21281029,nn时，6nnaaaS 76521 409)(255 Snn故 2940nS6（3 ） )1(2)1()12( nnabnnnT )1()()43()()( n .)(2若 对任意 成立，即 对任意 成立，32mn*Nn16mn*N的最小值是 ， 的最大整数值是 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(1*2,即存在最大整数 使对任意 ，均有,7*n.3Tn说明：本
12、例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j小结：1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559想的理论基础 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
13、j错位相减” 、 “裂项相消”是数列求和最重要的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 S 和 T 分别为两个等差数列的前 n 项和，若对任意 nN ，都有n，则第一个数列的第 11 项与第二个数列的第 11 项的比是( )74nA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j43 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j32 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j74 D 头htp:/w.xjkygcom126t:
14、/.j78712 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一个首项为正数的等差数列中，前 3 项的和等于前 11 项的和，当这个数列的前 n 项和最大时，n 等于（ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j83 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若数列 中， ，且 ，则数列的通项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jna131na*()Nna4 头htp:/w.xjkygcom126
15、t:/.j设在等比数列 中， 求 及n ,1,28,6121nnnSq5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j根据下面各个数列 的首项和递推关系，求其通项公式na 11,na)(2*N 11,n*na 11,na2n)(*6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数列 的前 项和 为不等于 0，1 的常数)，求其通项公式n raSnn(1 na7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2001 年底全县的绿化率已达 30% 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j从 2002 年开始，每年将出现这样的局
16、面，即原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559（1 ）设全县面积为 1，2001 年底绿化面积为 经过 年绿化总面积为 求证,103an.1na.542nnaa（2 ）至少需要多少年（年取整数， ）的努力，才能使全县的绿化率达到3.2lg60%？8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降 头htp:/w.xjkygcom126t:
17、/.j若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改 造 资 金 的 情 况 下 ， 第 n 年 (今 年 为第 一 年 )的 利 润 为 500(1+ )万 元 (n 为 正 整 数 )2()设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元，进行技术改造后的累计纯利润 Bn 万元( 须扣除技术改造资金)，求 An、B n 的表达式()依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不不进行技术改造的累计纯利润？参考答案:1 头htp:/w.xjkygco
18、m126t:/.j解：设这两个等差数列分别为a n和b n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j故选择 A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 an 与前 2n-1 项和 S2n-1 的内在联系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：依题意知 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数列单调递减，公差 d0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因为地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559S3=S11
19、=S3+a4+a5+a10+a11所以 a 4+a5+a10+a11=0即 a 4+a11=a7+a8=0，故当 n=7 时，a 70，a 80 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j选择 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：多次运用迭代，可得 21122 21()()()()3nnnnnaaa4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： ，18,812nn又 ，由以上二式得1na或 ；由此得 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12,64n1,2na,n5 头htp:/w.xjkyg
20、com126t:/.j解：（ ） ， ，n1an1)()()( 123121 nnaa)(2n（2 ） 1an=1231nna n132又解：由题意， 对一切自然数 成立，nn1)(11aan.n地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559（3 ） 是首项为2)(2121nnnn aaa12a公比为 的等比数列， .)(,1 nnn说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：由 可得当 时 ，nnraS211nnraS， ， )(11nn 1nn
21、 ,)(1nnra， ， 是公比为 的等比数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,r1ran0nar又当 时， ， ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j11Sr)(1nn说明：本例复习由有关 与 递推式求 ，关键是利用 与 的关系进行转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnannSa7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（ ）证明：由已知可得 确定后， 表示如下：n1n=1na%6)1()4(na即 =80% +16%= +1nn5n24（2 ）解：由 = + 可得：1nan= （ ）= （ ） 2（ ）=1n54n541na54)
22、54()1an故有 = ，若 则有1na)(21n.3(n.3即 54两边同时取对数可得 )12lg3)(5lg2)(12lgnn地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼 咨询电话：025-86997559故 ，故使得上式成立的最小 为 5，412lg3n *Nn故最少需要经过 5 年的努力，才能使全县的绿化率达到 60% 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ()依题意，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2Bn=500 -60=500n- -100 n1211 n50() Bn- An=(500n- -100)-(490n-10n2)=10n2+10n- -100n50n=10 1n因为函数 y=x(x+1)- -10 在(0 ，+ )上为增函数x250当 1n3 时， n(n+1)- -1012- -100n85当 n4 时，n(n+1)- -1020- -100n25016仅当 n4 时， BnA n
