1、1复数一、知识点梳理：1、i 的周期性：i4=1，所以，i 4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆nZ14230nninZ2、复数的代数形式： ， 叫实部， 叫虚部，实部和虚部都是实数。,abiRab叫做复数集。N Z Q R C.|,CabiR3、复数相等： ；icdic且 =d0ia且 =04、复数的分类： ,)Zabi实 数 (复 数 一 般 虚 数 (b虚 数 纯 虚 数虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 也没有大小。3,62i5、复数的模：若向量 表示复数 z，则称 的模 r 为复数 z 的模， ；OOZ2|abi积或商的模可利
2、用模的性质（1） ， （2）112nnz 120z6、复数的几何意义：复数 复平面内的点,zabiR 一 一 对 应 (,)Zab，,Z一 一 对 应复 数 平 面 向 量 O7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆 ，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数 z1与 z2的和： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. ,acR复数 z1与 z2的差： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满
3、足交换律和结合律数加法的几何意义：复数 z1=a+bi， z2=c+di ； = + =(a， b)+(c， d),ROZ12OZ=(a+c， b+d)( a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数 z1-z2的差( a c)+(b d)i 对应 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 ，两个复数的差122z z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地， zB zA.， 为两点间的距离。A BABzz 对应的点的轨迹是线段 的垂直平分线； ， z 对应的点的轨迹是一个圆；12|z12Z0|zr2， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；1212|zzaZ， z 对应的点的轨迹是双曲线。|1
4、0、显然有公式： 121212zzz11、复数的乘除法运算：复数的乘法： z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac bd)+(bc+ad)i. ,abcdR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z1,z2,z3C 及 m,nN *有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.复数的除法： (a+bi) (c+di)= = ，分母实数化是常规方2dicba22bcadi,bcR法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为 0 的两
5、个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。,zabiiabR 2|zab，22,zz 1121212122,zzz13、熟记常用算式： ， ， ， ，1ii)(ii)(ii14、复数的代数式运算技巧：（1） i2)(ii2)1(i1i（2） “1”的立方根 的性质：i3 132012115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当 时，方程有两个实根 。042acb 21,x（2）当 时，方程有两个共轭虚根，其中 。 21x此时有 且 。acxx2121 aib2,1注意两种题型： ()()3虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用
6、韦达定理。已知 是实系数一元二次方程 的两个根，求 的方法：12x0cbxa212x（1）当 时，04acbacxxx 4)(21212 (2)当 时，042acbabcxxx 2212112 4)( 已知 是实系数一元二次方程 的两个根，求 的方法：21,012x（1）当 时，04acb 即 ，则 ,2x abxx212 即 ，则 ,1a acbx44)(2121（2）当 时，042cbacxx2112 二、典例分析：例 1 （1）复数 等于( )(1+i)21 iA.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数 = ，选 C(1+i)21 i ()1i（2）若复数 同时满足 2 ，
7、 （ 为虚数单位） ，则 zzizi z解：已知 ；1Zi（3）设 a、 b、 c、 dR，则复数( a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad bc=0 B.ac bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1） 复数 = 为实数， ，选 D；,R)(i)()adbci0adbc（4）已知 （ ） niminmnii 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中1(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析： ，由 、 是实数，得 ，iiimn104 ，故选择 C。inmn221（5）设 为实数，且 ，则 。,xy513xyiiixy解析： ，()(
8、2)2()()12 5iii而 所以 ，解得 x1，y5，5(3)0ii 35xyxy且所以 xy4。点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。例 2：（1）计算： 1962312ii答案： i（2）设复数 z 满足关系 ，求 z；iz|解：设 z=a+bi（a,b 为实数） ，由已知可得 ibai22由复数相等可得： ，解得 ，所以12ba1,43iz43设 z=a+bi-x+yi（a,b 为实数）复数问题实数化。（3）若 ，解方程Cxxi3|解：设 x=a+bi (a,bR)代入条件得: ,由复数相等的定义可得： ibaba)3(12,a=4，b=3，x=4+3i。0312ba例 3：(1)
9、复数 z 满足 ，则 z 对应的点在复平面内表示的图形为（A）1| 22iziA直线 B圆 C椭圆 D抛物线解：令 z=x+yi（x，yR） ，则 x2+(y+1)2x 2+(y1) 2=1，y=1/4。故选 A。（2）设复数 z 满足： ，求|z|的最大值与最小值；3|i解：|z|的最大值为 ，最小值为 ；3（3）已知 zC，|z2|=1 且复数 z2 对应的点落在直线 y=x 上，求 z。解：设 z2=a+ai，|z2|=1， ，a 或 。i2iz25【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设 z=a+bi 再利用条件，但运算复杂。(4)设 ，则复数 ，在复平面内对应的图形面积
10、为_。2|1,zC)1(izu解：|u|=| |1+i|= |z|， |u|2，故面积 S= 。22)(2【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例 4：已知 z=1+i，a，b 为实数，(1)若 =z 2+3 4,求|; z(2)若 ，求 a，b 的值。i12解：（1）=(1+i) 2+3(1i)4=1i， 。2|（2）由条件 ， ， 。iiab1)()( iab1)()( 21ba【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例 5：设 且 是纯虚数，求 的最大值。 ,Cz1z|iz解：令 z=x+yi（x，yR） ，则 ， 是纯虚数，222)1()1(yxyx1z ，即 ，由数形02y
11、 04)2( 结合可知本题是求圆 上的点到 A(0,1)的最大041)(y 距离。max=|PA|= 。|iz5练习：1 _8)2( ziz均 是 纯 虚 数 ， 则与已 知 复 数 iZ22.若 ， 其 中 a、 b R， i 是 虚 数 单 位 ， 则 =（ D ）bia( baA0 B2 C D53.设复数 i，则 1 （ ） C3（A） （B） 2 （C） （D ）214.复数 的共轭复数是（B ） iz1A B C D2i1ii15.若复数 满足方程 ，则 （ ） D20z3zA. B. C. D. i2i6. 设 、 、 、 ，若 为实数，则 ( C )abcdRabcd(A) (
12、B) (C) (D) 000bcad0bcad1PO 1/2 xy67.如果复数 是实数，则实数 （ ） B2()1mimA B C D128. （ ） A205)(iA B C Di2052059.满足条件 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） C|zi34A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆10.若 , ， 且 为 纯 虚 数 ， 则 实 数 a的 值 为 1ai2i12 38a11.已知 C niminmi 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、复数 的虚部为3(1)（A）3 （B）3
13、（C）2 （D）2 解析:复数 = ,所以它的虚部为2，选 D.iii13、在复平面内，复数 对应的点位于1i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解： 故选 D；1ii（ ） 点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件: (i 为虚数单位)的复数 ziz23)(2解原方程化简为 ,1设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x 2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 且 y= ,3原方程的解是 z=- i.1215、已知 ， 对于任意的 xR 均有|z 1|z 2|成立,试求实数 a 的取值ixz21 iaxz)(2范围。解：|z 1|z 2|， ， ，对 成立。224)(10)()1(22axRx当 ，即 时，不等式成立；0a当 时 。综上得 。210)1(242a21a21,(a【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。
