1、第 0 页目录第一章 集合2第二章 函数152.1 函数及其性质152.2 二次函数 212.3 函数迭代 282.4 抽象函数 32第三章 数列373.1 等差数列与等比数列373.2 递归数列通项公式的求法 443.3 递推法解题48第四章 三角 平面向量 复数51第五章 直线、圆、圆锥曲线60第六章 空间向量 简单几何体68第七章 二项式定理与多项式75第八章 联赛二试选讲 828.1 平几名定理、名题与竞赛题 828.2 数学归纳法 998.3 排序不等式 103第 1 页第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：
2、集合思想、集合 语言和集合的符号在高中数学的很多章 节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学 竞赛中出现的问题 .1.1 集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3集合的分类：无限集、有限集、空集 .4. 集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记 A、B 是两个集合，则所有属于
3、A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 .BA即 且 .x2.集合的运算性质(1) , (幂等律 );(2) , (交换律);B(3) , (结合律);)(CAB)CBA(4) , (分配律);( )(5) , (吸收律);)(B)(6) (对合律);ACU(7) , (摩根律)(CBU)(BCAU(8) , .( B3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出 (互为充要条件),即等价;第 2 页(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合
4、相等的必要条件.【典例精析】【例 1】在集合 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之,2n和是 .分析 已知 的所有的子集共有 n2个.而对于 ,显然 中, ,21ni,21n包含 的子集与集合 的子集个数相等.这就说明 在集合i ,1,21i i的所有子集中一共出现 次,即对所有的 求和,可得,21n ni ).(21ninS【解】集合 的所有子集的元素之和为, )1(2n= .2)1(n说明 本题的关键在于得出 中包含 的子集与集合 的子,21n i ,1,2ni 集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例 2】已知集合 且 ,求参
5、数034|,03| 222 axBxA BA的取值范围.a分析 首先确定集合 A、B,再利用 的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得 0)3(|,12| axx当 时, ,由 知无解;0a3|axBB当 时, ,显然无解; 当 时, ,由 解得|xA.321a综上知,参数 的取值范围是 .a321说明 本题中,集合的定义是一个二次三 项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例 3】已知 ,集合 .若Ryx, 1,2,1,2 yxxA,则 的值是( )BA2A.5 B.4 C.25 D.10【解】 , ,且 及集合中元素的互异性知0)1(2xxx1
6、2 012第 3 页,即 ,此时应有xx121.112xx而 ,从而在集合 B 中,Ry .yy由 ,得A)3(212yx由(2)(3)解得 ,代入(1) 式知 也满足(1) 式.,1,1yx.522yx说明 本题主要考查集合相等的的概念 ,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合 .若 ,|,0),lg(,yxBxyABA求 + 的值.)1()(2yx)1208分析 从集合 A=B 的关系入手,则易于解决.【解】 , ,根据元素的互异性,由 B 知 .BA0)lg(|xy 0,yx且
7、, ,故只有 ,从而00.1xy又由 及 ,得1.1所以 或 ,其中 与元素的互异性矛盾!|xy1yx所以 代入得:,1+ =( )+2+( )+2+( )+2=0.)()(2yx)1(208yx22说明 本题是例 4 的拓展,也是考 查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知 A 为有限集,且 ,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等 ,*N写出所有这样的集合 A. 【解】设集合 A= 且 ,由)1(,21na na21 na21第 4 页,na21,得 ,即*)
8、(Nnnna21 na21)!1()!1(n或 (事实上,当 3时,有 .3 2)()!( 当 时, ,而2,112121 a ,2当 时, ,n 3233 a.1a由 ,解得3a.综上可知, .21A说明 本题根据集合中元素之 间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例 6】已知集合 ,若 ,求实数02|,023|2 axSxP PS的取值组成的集合 A.a【解】 ,设 .1|xaf)(2当 ,即 时, ,满足 ;04)2(a1SP当 ,即 或 时,若 ,则 ,不满足 ,故舍去;0aSP若 时,则 ,满足 .1S
9、当 时,满足 等价于方程 的根介于 1 和 2 之间.04)2(a 02ax即 .034120)2(1af或 综合得 ,即所求集合 A .1|a说明 先讨论特殊情形(S= ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对 分类讨论,确定 的a取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论 .0【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集 R, 2(,)|1|(),MxyxyR. 若 , 则 的取值范围是(,|1|,NxyayxyNa第 5 页【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 M10xy为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为N(,)a中心的正方形及其内部的点集(如图) 考察 时, 的取值范
10、围:Na令 , 代入方程 ,1y2|1|()xyxy得 ，解出得 所以，240x6当 时, 6aMN令 ，代入方程 , 得 . 解出得2y 2|1|()xyxy2610x所以，当 时, 310x30a因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 630a,31a故填 .MN16,30【例 8】已知集合 , ,其中 ,42aA,24321aB4321a.若 , .且 中的所有元素之和为 124,求a4321, 104BA集合 A、B.【解】 ,且 , ,又 ,所以4321a41a21Na.1又 ,可得 ,并且 或04a92.23若 ,即 ,则有 解得 或 (舍)922 ,835363此时有 .1,25
11、531BA若 ,即 ,此时应有 ,则 中的所有元素之和为 100 124.不合题意.23aaBA综上可得, .89说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例 9】满足条件 的函数 形成了一个集合 M,其中|4)(| 2121xxg)(xg-2 -1 4 6-3 5 7-1yx1231 2 3O第 6 页,并且 ,求函数 与集合 M 的关系.Rx21, 1,2x )(23)(2Rxxfy分析 求函数 集合 M 的关系,即求该
12、函数是否属于集合 M,也就是判断3)(f该函数是否满足集合 M 的属性.【解】 |3|)23()2(|)(| 2121121 xxxxfxf取 时, 65,421 .|4|9| 11f由此可见, .)(xf说明 本题中 M 是一个关于函数的集合 .判断一个函数 是否属于 M,只要找至一个或几)(xf个特殊的 使得 不符合 M 中的条件即可证明ix)(if .M【例 10】对集合 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数208,1按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如 的“交替和”是9,6421,集合 的“交替和”是 107=3,集合 的“交替和”是 5 等等.64
13、69,75试求 A 的所有的“交替和” 的总和.并针对于集合 求出所有的“交替和”.,n分析 集合 A 的非空子集共有 个,显然,要想逐个 计算“交替和”然后相加是不可能的.必1208须分析“交替和” 的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4 的非空子集共有 15 个,共“交替和”分别为:1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除4以
14、外,可以把1,2,3,4的子集分为两类: 一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样的对应:设是1,2,3,4中一个不含有的子集,令 与 相对应 ,显然这两个集合的“交替和”的和iAiAi4为 4,由于这样的对应应有 7 对,再加上4的“交替和” 为 4,即1,2,3.4 的所有子集的“交替和”为 32.【解】集合 的子集中,除了集合 ,还有 个非空子集.将其分为208,1 208208两类:第一类是含 2008 的子集 ,第二类是不含 2008 的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果 是第二类的,则必有 是第一类的集合;如果 是第一类中的集合,则 中iAiAjBjB除 2008 外,
15、还应用 1,2,2007 中的数做其元素,即 中去掉 2008 后不是空集,且是第二类j中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替和”为 .208208)2(1708 同样可以分析 ,因为 个元素集合的子集总数为 个( 含 ,定义其“交替和”,n n2第 7 页为 0),其中包括最大元素 的子集有 个,不包括 的子集的个数也是 个,将两类子集n12n 12n一一对应(相对应的子集只差一个元素 ),设不含 的子集 “交替和”为 S,则对应的含 子集的“交替和”为 ,两者相加和为 .故所有子集的“交替和”为S .1n说明 本题中退到最简,从特殊到
16、一般的思想及分 类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例 11】一支人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍，若按每横排 4 人编队，最后差 3 人；若按每横排 3 人编队，最后差 2 人；若按每横排 2 人编队，最后差 1 人，求这支游行队伍的人数最少是多少？分析 已知游行队伍的总人数是 5 的倍数，那么可设总人数为 .“按每横排 4 人编队，最后n5差 3 人”，从它的反面去考 虑，可理解为多 1 人，同 样按 3 人、2 人编队都可理解为“多 1 人”，显然问题转化为同余问题. 被 4、3、2 除时都余地，即 是 12
17、的倍数，再由总人数不n1少于 1000 人的条件，即可求得 问题的解.【解】设游行队伍的总人数为 ，则由题意知 分别被 4、3、2 除时均余 1，)(5Nn5即 是 4、3、2 的公倍数，于是可令 ，由此可得：15n )(12Nmn要使游行队伍人数最少，则式中的 应为最少正整数且 为 5m m的倍数，应为 2.于是可令 ，由此可得：)(25pq， 1)25(1pn 560n所以 ， .064取 代入式，得71427故游行队伍的人数最少是 1045 人.说明 本题利用了补集思想进 行求解，对于题目中含有“至少”、 “至多”、 “最少”、 “不都”、 “都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反
18、面（反义词）考虑 ，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁 为简、化 难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例 12】设 且 15， 都是1，2，3， 真子集， ，且nNBA, nAB=1，2，3， .证明： 或者 中必有两个不同数的和为完全平方数.AB【证明】由题设，1，2，3， ， 的任何元素必属于且只属于它的真子集 之一.n ,假设结论不真，则存在如题设的1，2，3， 的真子集 ，使得无论是 还nBA,A是 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.B不妨设 1 ，则 3 ，否则 1+3= ，与假设矛盾，所以 3 .同样 6 ，所A2 第 8 页
19、以 6 ，这时 10 ， ，即 10 .因 15，而 15 或者在 中，或者在 中，但当ABnAB15 时，因 1 ，1+15= ，矛盾；当 15 时，因 10 ，于是有 10+15= ，仍24 25然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基 础.因此，深刻理解集合的概念 ,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样
20、的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006 年江苏预赛) 设在 平面上， ， 所围成图形的面积为 ，xOy20xy131则集合 的交集 所表示的图形面,1),(yxM),(NNM积为( ) A. B. C. D.312342. (2006 年陕西预赛) 为实数,集合 M= 表示把集合 M 中的元ba xfaPb:,0,1素 映射到集合 P 中仍为 ,则 的值等于( )xxA. B.0 C.1 D.13. (2004 年全国联赛)已知 M= ，N= ，若对于所32|),yxbmxy|),(有的
21、 ，均有 则 的取值范围是RmNMbA B.（ ）C.（ ） D. 26,26,3,32,4. (2005 年全国联赛) 记集合 ,654,10T,431,|74321iTaaMi将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（ ）A B432657 4327657C D701015. 集合 A,B 的并集 AB=a1,a2,a3，当且仅当 AB 时，(A,B)与(B,A) 视为不同的对，则这样的(A,B) 对的个数有 ( )第 9 页A.27 B.28. C.26 D.256.设 A=n|100n600,nN，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为_.
22、7. 已知 , .若2430,AxxR120,(7)50,xBaxR且 ,则实数 的取值范围是 .Ba8. 设 M=1,2,3,1995，A 是 M 的子集且满足条件: 当 xA 时,15x A，则 A 中元素的个数最多是_.9. (2006 年集训试题)设 n 是正整数，集合 M=1，2，2n求最小的正整数 k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集，其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 10. 设 | , ，Aa2xyZ求证： ( )； .12 ()kAZ11.（2006 年江苏）设集合 ， 若12log3Ax21aBx，求实数 的取值范围ABa12. 以某些整数为元素的集合 具有下列性质
23、： 中的元素有正数，有负数； 中的PPP元素有奇数,有偶数；1 ；若 ， ,则 试判断实数 0 和 2 与集合xyxy的关系.P(B 组)1. 设 为满足下列条件的有理数的集合：若 ， ，则 + ，SaSbabS；对任一个有理数 ，三个关系 ， ， 0 有且仅有一个成立.证abrrr明： 是由全体正有理数组成的集合.2 为非空集合，对于 1，2，3 的任意一个排列 ，若 ，则321, kji,jiyx,kSyx（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3已知集合： 问1|),(,1|),(,1|),( 2 yxCayxByaxA（1）当 取何值时， 为含
24、有两个元素的集合？aC（2）当 取何值时， 为含有三个元素的集合？)(4已知 ,2(,)470,AxyxyxR.1,B请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合 A 与 B 的距离定义;依据中的定义求出 与 的距离.AB第 10 页5.设集合 不小于的正整数 ，定义上的函数如下：若 ，定义 为不是P Pn)(nf的约数的最小正整数，例如 .记函数 的值域为.证明：n 5)12(,)7(ff f.9,1M6为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了 P 条建议.已知有些班级提出了相)(N同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该
25、校的班级数不多于 个.12P【参考答案】A 组1.解： 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称，由此 的图形面积只NM NM要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得， 的图形在第一象限的面积为 A .因此 的图形面积为 . 613232所以选 B.2.解:由 M=P,从而 ,即 ,故 从而选 C.10ab0b.a3. 解： 相当于点（0，b）在椭圆 上或它的内部MN23xy.故选 A.261,32bb4.解: 用 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 ，得pka21 47334 123477|,12,34|,12
26、,34.i iMaTaT中的最大数为 .在十进制数中，从 2400 起从大到小顺序排列的第10262005 个数是 24002004=396.而 将此数除以 ，便得 M 中的数9674故选 C74017325.解：A= 时，有 1 种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余 2 元，共有 6 种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元 .共有 12 种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共有 1+6+12+8=27 个.从而选 A.6解：被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 1007k+2600.知 14k85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整除，则可
27、设 7k+2=57n. 即 . 57262277nnn即 n2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2 代入，得 k=57m+16. 1457m +1685. m=0,1.于是所求的个数为 85(141)2=70解：依题意可得 ,设 ,13Ax1()2xfa2()()5gxa第 11 页要使 ,只需 , 在(1,3)上的图象均在 轴的下方 ,则 , ,AB()fxgx(1)0f (3)f, ,由此可解得结果.(1)0g 38解：由于 1995=15133，所以，只要 n133，就有 15n1995.故取出所有大于 133 而不超过 1995 的整数. 由于这时己取出了 159=135, 1513
28、3=1995. 故 9 至 133 的整数都不能再取，还可取 1 至 8 这 8 个数，即共取出 1995133+8=1870 个数, 这说明所求数1870.另一方面，把 k 与 15k 配对， （k 不是 15 的倍数，且 1k133）共得 1338=125对，每对数中至多能取 1 个数为 A 的元素，这说明所求数 1870，综上可知应填 1870.9.解：考虑 M 的 n+2 元子集 P=nl ，n，n+1，2n P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以 kn +3将 M 的元配为 n 对，B i=(i，2 n +1i )，1in
29、 对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有三对 同属于 A(i1、I 2、I 3 两两不同)123,iiB又将 M 的元配为 n1 对，C I (i，2ni)，1i n1对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有一对 同属于 A，这一对 必与 中至少一个无公共元素，这 4 个元素互不相4iC4i123,ii同，且和为 2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数 k= n +31010.解: , 且 , ；k1Zk22()1A假设 ,则存在 ,使 即 (*)4 ()xy4xy()2(1)xyk由于 与 具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或 4 的xy倍数，另一方面，
30、（*）式右边只能被 4 除余 2 的数，故（*）式不能成立.由此，.42()kAZ11.解： ， 13x30Bxa当 时， ，由 得 ；0a0aAa当 时， ，由 得 ； 1当 时， ，与 不符2x综上所述， 1,0,3a12解：由若 ， ,则 可知，若 ，则yPyxP)( Nkx（1）由可设 ， ，且 0， 0，则 | | (| | )xxyy故 , ,由,0( )+ .xy（2）2 .若 2 ，则 中的负数全为偶数，不然的话，当（ ） （ 12P）时，1（ ） ，与矛盾.于是，由知 中必有正奇数.设Nk1k2，我们取适当正整数 ，使),( ,NnmPq，则负奇数 .前后矛盾2|q Pnq)
31、1(B 组第 12 页1证明：设任意的 ， 0,由知 ，或 之一成立.再由，若rQrSr ，则 ；若 ，则 .总之， .rS2S)(2 S2取 =1，则 1 .再由，2=1+1 ，3=1+2 ，可知全体正整数都属于 .设 ，由 ，又由前证知 ，所以 .因此， 含有全qp,pqSq2121qp体正有理数.再由知，0 及全体负有理数不属于 .即 是由全体正有理数组成的集合.2证明：（1）若 ，则 ，所以每个集合中jiSyx, ikSxyx)(,均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设 中的最小正元素为 ，不妨设 ，设 为 中最小的非负元素，321,Sa1Sb32,不妨设 则
32、 .ba3若 0,则 0 ，与 的取法矛盾.所以 =0.b任取 因 0 ,故 0 .所以 ，同理 .,1Sx2x3S133S1所以 = .3（）可能.例如 = =奇数 ， =偶数显然满足条件， 和 与 都无公共元素.123 1233解： = . 与 分别为方程组CBA)( )()(CBAB（） （）12yxa12yxa的解集.由（）解得（ ）=（0，1）=（ ， ） ；由（）解得yx, 2a2（ ）=（1，0） ， （ ， ）yx, 2a2（1）使 恰有两个元素的情况只有两种可能：CBA)( 1022a0122a由解得 =0；由解得 =1.故 =0 或 1 时， 恰有两个元素.CBA)(第 1
33、3 页（2）使 恰有三个元素的情况是： = CBA)( 21a2解得 ，故当 时， 恰有三个元素.21a21aCBA)(4解: (1)设 (即集合 A 中的点与集合 B 中的点的距离的最小值),12,minPABd则称 为 A 与 B 的距离.解法一： 中点的集合为圆 圆心为 ,令 是22()()1,xy(2)M(,)Pxy双曲线上的任一点,则 =2M48xy= +8=2()4()xyy2()4()28y令 ,则 =t2P8tt当 时,即 有解， t10yxmin26P1d解法二：如图, 是双曲线上的任一点, Q 为圆上任一点,圆心为 .显然,22()()xyM(当 三点共线时取等号) .PM
34、Q P、 Q、 min1dP5解：记 时，由于 1，2，18 都是 的约数，故此时 从而!8nn9)(f.M若存在 ，使 ，则对于小于 99 的正整数 ，均有 ，从而 ，9)(f k| n|,|但是 ，由整数理论中的性质 911=99 是 的一个约数，这是一个矛盾！从而1),9(.M6证明：假设该校共有 个班级，他们的建议分别组成集合 。这些集合中mmA,21没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议） ，而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在 中至多有 A（所有 P,21条建议所组成的集合）的 个子集，所以12P.Pm第 14 页第二章 函数 2
35、.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意 ，都有 成立；xD()(fxf偶函数的图像关于 轴对称，对于任意 ，都有 成立。yxD()ff（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线 对称。 若某一函数与其反函数表y示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线 对称。（3） 若函数满足 ，则 的图像就关于直线 对称；若函数满足()2)fxfax()f xa，则 的图像就关于点 对称。()f(,0)a（4） 互对称知识：函数 的图像关于直线 对称。)yfyfx与 2函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子
36、区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数 的图像和单调区间。(0)ayx3函数的周期性对于函数 ，若存在一个非零常数 ，使得当 为定义域中的每一个值时，都有()f Tx成立，则称 是周期函数， 称为该函数的一个周期。若在所有的周期()fxT()yfx中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1） 若 是 的周期，那么 也是它的周期。(yfxnZ（2） 若 是周期为 的函数，则 是周期为 的周期函数。)T()0yfaxbTa（3） 若函数 的图像关于直线 对称，则 是周期为 的函数。(f 和 ()yfx2()b（4
37、） 若函数 满足 ，则 是周期为 的函数。)yx()()faf4.函数的最值：常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法5Gauss( 高斯)函数对于任意实数 ，我们记不超过 的最大整数为 ，通常称函数 为取整函数。又称高斯xxxyx函数。又记 ，则函数 称为小数部分函数，它表示的是 的小数部分。y高斯函数的常用性质：（1） 对任意 （2） 对任意 ，函数 的值域为,11xRx均 有 xRyx0,)（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意 121212,xR若 则第 15 页（4） 若 ，后一个式子表明 是周期为 1 的函数。,nZxRxnxnx则 有 yx（5） 若 （6） 若,
38、1yyy则 *,nNRn则二、应用举例：例 1已知 是一次函数，且 求 的解析式)(xf 0234)(10xf )(xf例 2已知 .,2)1()2(;1.)(),2,(2)( bakfkxfabaxbf 求若求且是 常 数 ， 例 3函数 ，求10),5(3)(nfnf )84(f函数迭代中的 ”穿脱 ”技巧设函数 y=f(x),并记 fn(x)=f(f(f(fx),其中 n 是正整数 , fn(x)叫做函数 f(x)的 n 次迭代 ,函数迭代是一种特殊的函数复合形式 ,在现代数学中占有很重要的地位 ,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现 ,成为热点问题之一 ,以引起广在数学爱好者的关注 .
39、由 f(x)(或 fn(x)的表达式 ”穿上 ”或 ”脱去 ”n-1 个函数符号得出 fn(x)(或 f(x)的函数迭代问题 ,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索 .1 程序化穿脱“穿 ”,”脱 ”函数符号是一种有序的过程 ,由内至外一层层穿上 f,或从外至内一层层脱去 f,往往是一种程序化的模式 ,例 已知 f(x)= ,求 fn(x).21x2 实验法穿脱许多情况下 ,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作 ,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性 ,实验是发现的源泉 ,是发现规律的金钥匙 .例函数定义在整数集上 ,且满足f(n)= n-3 (n 10
40、00)ff(n+5)(n 1000 求 f(84)例 21 对任意的正整数 k,令 f1(k)定义为 k 的各位数字和的平方 .对于 n 2 令 fn(k)=f1(fn-1(k),求 f1988(11).第 16 页3 周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性 ,利用周期性穿脱要能达到进退自如 ,做到需穿插则穿 ,需脱则脱 ,从而优化解题过程 .例定义域为正整数的函数 ,满足 :f(n)= n-3 (n 1000)ff(n+7)(n 1000.试求 f(90)练习1.设 n 是自然数 ,f(n)为 n2+1(十进制 )的数字之和 ,f1(n)=f(n),求的 f100(19
41、90)值 .2.已知 f(x)= .设 f35(x)=f5(x),求 f28(x).1x例 4求函数 的值域。32y 0222 xyx两边平方得 ，从而 且 。)3(yx332由 或 y 2。10202yx任取 y 2，由 ，易知 x 2，于是 。3032x任取 ，同样由 ，易知 x 1。1y于是 。0232x因此，所求函数的值域为 。),2)3,1例 5（1）设 x,y 是实数，且满足 ，求 x+y 的值1)(04)(3yyxx（2） 若方程 有唯一解，求 asinco22aax例 6：解方程、不等式：（1） （2）(x8) 2007x 20072x802log(31)5x第 17 页（3）
42、 2323(08)41584xxxEx1.求 的图象与 轴交点坐2 2(31)9651)(3)413)yxxxxx标。解： 2 2()(3)()()4令 ，可知 是奇函数，且严格单调，所以2)41fttft，当 时， ，()yxf0y(31)(23)(2)fxfxfx所以 ，故 ，即图象和 轴交点坐标为325x4,05若函数 为单调的奇函数，且 ，则 。若遇两个式()fx12()ffx12x子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。Ex2. 设函数 ，则对任意实数 a,b, 是)(log)(223xf 0ba的（ ）0)(bfaA充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不
43、充分条件 D既不充分又不必要条件探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要 “穿脱 ”函数符号 “f”，下面我们从具体的例子谈一谈 “穿脱 ”的技巧与方法 .1.单调性穿脱法对于特殊函数的单调性 ,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数 “f”进行 “穿脱 ”,进而达到化简的目的 ,由此使问题获得解答 .已知函数 f(x)在区间 (- ,+ )上是增函数 ,a 和 b 是实数 .试证 : 证明命题 :如果 a+b 0 那么 f(a)+f(b) f(-a)+f(-b). 判断 中的逆命题是否正确 ,并证明你的结论 .2 反函数穿脱法灵活自如地处理原函数 f(x)与反函数 f-1(x),并能熟练地运用f-1 (f(x)=x,f(f-1(x)=x 进行穿脱函数符号 “f”，这是极为常用而又重要的方法 .引理 若 f(x),g(x)互为反函数 ,且 f(a+b)=f(a) f(b),则 g(mn)=g(m)+g(n)例 已知函数 f(x)满足 : f( )=1; 函数的值域为 -1,1; 严格递减 ; f(xy)= f(x)+f(y).21试求 : 求证 : 不在 f(x)的定义域内 求不等式 f-1(x)f-1( ) 的解集41 x12第 18 页3 定
