1、高中数学竞赛讲义（一）集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 在集合 A 中，称属于 A，记为 ，否则称 不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2， 3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数， 分别表示有理数集
2、和正实数集。定义2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若 称为 A 在 I 中的补集。定义6 差集， 。定义7 集合 记作开区间 ，集合记作闭区间 ，R 记作定理1 集合的性质：对任意集合 A，B，C ，有：（1） （2） ；（3） （4）【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余
3、由读者自己完成。（1）若 ，则 ，且 或 ，所以 或，即 ；反之， ，则或 ，即 且 或 ，即 且 ，即（3）若 ，则 或 ，所以 或 ，所以，又 ，所以 ，即 ，反之也有定理2 加法原理：做一件事有 类办法，第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法中有 种不同的方法，第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事一共有 种不同的方法。定理3 乘法原理：做一件事分 个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有种不同的方法，第 步有 种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1 设 ，求证：（1） ；（2） ；（3）若 ，则证明（1）
4、因为 ，且 ，所以（2）假设 ，则存在 ，使 ，由于和 有相同的奇偶性，所以 是奇数或4的倍数，不可能等于 ，假设不成立，所以（3）设 ，则（因为 ） 。2利用子集的定义证明集合相等，先证 ，再证 ，则 A=B。例2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足，求集合 M（用 A，B 表示） 。【解】先证 ，若 ，因为 ，所以，所以 ；再证 ，若 ，则 1）若 ，则；2）若 ，则 。所以综上，3分类讨论思想的应用。例3 ，若，求【解】依题设， ，再由 解得 或 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 或2，所以 或3。因为 ，所以 ，若 ，则 ，即，若 ，则 或 ，解得综上所述， 或 ； 或 。4计数
5、原理的应用。例4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集； AB，B A， 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有3 10种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有3 10个。（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有 个，非空真子集有1022个。5配对方法。例5 给定集合 的
6、 个子集： ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 的值。【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 对，每一对不能同在这 个子集中，因此， ；其次，每一对中必有一个在这 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 ，则 ，从而可以在 个子集中再添加 ，与已知矛盾，所以 。综上， 。6竞赛常用方法与例问题。定理4 容斥原理；用 表示集合 A 的元素个数，则，需要 xy 此结论可以推广到 个集合的情况，即定义8 集合的划分：若 ，且 ，则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。定理5 最小数原理：自然数集的
7、任何非空子集必有最小数。定理6 抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】 记 ，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的数有个。例7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问 S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若 S 含有这11个数中至少6个，
8、则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中5个数。又因为2004=18211+2，所以 S 一共至多含有1825+2=912个元素，另一方面，当时，恰有 ，且 S 满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8 求所有自然数 ，使得存在实数 满足：【解】 当 时， ；当 时， ；当时， 。下证当 时，不存在 满足条件。令 ，则所以必存在某两个下标 ，使得 ，所以或 ，即 ，所以或 ， 。（）若 ，考虑 ，有 或，即 ，设 ，则 ，导致矛盾，故只有考虑 ，有 或 ，即 ，设 ，则，推出矛盾，设 ，则 ，又推出矛盾， 所以 故当 时，不存在满足条件的实数。（）若 ，考虑 ，有 或 ，即
9、 ，这时 ，推出矛盾，故 。考虑 ，有或 ，即 =3，于是 ，矛盾。因此，所以 ，这又矛盾，所以只有 ，所以。故当 时，不存在满足条件的实数。例9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n ，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合 ， 求 的最小值。【解】 设 B 中每个数在所有 中最多重复出现 次，则必有 。若不然，数 出现 次（ ） ，则 在 出现的所有 中，至少有一个 A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1， ，其中 ，为满足题意的集合。 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以20个 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所
10、以 。当 时，如下20个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14 ， 1，2，5，15，16 ， 1， 2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14 ， 1，3，6，12，15 ， 1， 4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11 ， 2，3，4，13，15 ， 2， 3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10 ， 2，4，6，7，11 ， 2， 5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9 ， 3，5，6，7，10 ， 4， 5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以划分成 个互不相交
11、的三元集合 ，其中，求满足条件的最小正整数【解】 设其中第 个三元集为 则1+2+所以 。当 为偶数时，有 ，所以 ，当 为奇数时，有，所以 ，当 时，集合1，11，4 ，2，13，5，3，15，6 ，9， 12，7，10，14，8满足条件，所以 的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合 ，则实数 的取值范围是_。2若集合 中只有一个元素，则=_。3集合 的非空真子集有_个。4已知集合 ，若 ，则由满足条件的实数 组成的集合 P=_。5已知 ，且 ，则常数 的取值范围是_。6若非空集合 S 满足 ，且若 ，则 ，那么符合要求的集合 S 有_个。7集合 之间的关系是_。8若集合 ，其中 ， 且
12、 ，若 ，则 A 中元素之和是_。9集合 ，且 ，则满足条件的值构成的集合为_。10集合 ，则_。11已知 S 是由实数构成的集合，且满足1） ）若 ，则 。如果，S 中至少含有多少个元素？说明理由。12已知 ，又 C 为单元素集合，求实数 的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合 ，且 A=B，则_， _。2，则 _。3已知集合 ，当 时，实数 的取值范围是_。4若实数 为常数，且 _。5集合 ，若 ，则_。6集合 ，则 中的最小元素是_。7集合 ，且 A=B，则_。8已知集合 ，且 ，则 的取值范围是_。9设集合，问：是否存在 ，使得 ，并证明你的结论。10集合 A 和 B 各含有12个元
13、素， 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的个数：1） 且 C 中含有3个元素；2） 。11判断以下命题是否正确：设 A，B 是平面上两个点集，若对任何 ，都有 ，则必有 ，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合 ，则实数的取值范围是_。2集合 的子集 B 满足：对任意的 ，则集合 B 中元素个数的最大值是_。3已知集合 ，其中 ，且 ，若P=Q，则实数 _。4已知集合 ，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 _。5集合 ，集合，则集合 M 与 N 的关系是_。6设集合 ，集合 A 满足： ，且当 时，则 A 中元素最多有_个。7非空集合 ，则使 成立的所有 的集合是_。
14、8已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集 , 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是 _。9已知集合 ，问：当 取何值时， 为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10求集合 B 和 C，使得 ，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。11S 是 Q 的子集且满足：若 ，则 恰有一个成立，并且若，则 ，试确定集合 S。12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0 的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列 ，如果， ，则 。求
15、证： 中必有两个相等。2求证：集合1，2，1989可以划分为117个互不相交的子集 ，使得（1）每个 恰有17个元素；（2）每个 中各元素之和相同。3某人写了 封信，同时写了 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4设 是20个两两不同的整数，且整合 中有201个不同的元素，求集合 中不同元素个数的最小可能值。5设 S 是由 个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数 ，求出最小的整数 ，使得对于任何正整数 ，集合的任一个 元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合 S=1，2，50，求最小自然数 ，使 S 的任意一个 元子集中都
16、存在两个不同的数 a 和 b，满足 。8集合 ，试作出 X 的三元子集族 当 x0n 时，f(x)在m, n 上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆
17、命题：若 q 则 p；否命题：若非p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题1待
18、定系数法。例1 设方程 x2-x+1=0的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-） （ +）a+ b+1=0，因为方程 x2-x+1=0中 0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a 2-(a+1)+2=,所以 a 2-a+2= + =1，所以 a 2-a+1=0.即 a( 2-+1)+
19、1-a=0,即1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1 f (2)5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a- c-1,所以1-f(1)= c-a4.又-1f(2)=4 a-c5, f(3)= f(2)- f(1),所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,所以-1f(3)20.3利用二次函数的性质。例3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二
20、次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2满足00，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 1，求证：方程的正根比 1小，负根比-1 大。【证明】 方程化为2a 2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax
21、+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6定义在区间上的二次函数的最值。例6 当 x 取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1- ,令 u,则0-(b+1)，即 b-2时，x 2+bx 在0，-( b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .综上，b=- .7.一元二次不等式问题的解法。例8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0的两根为
22、x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x11-2a.因为1-2a1- a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当0 时，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为1-a1且 a-(1-a)3，所以10，=(B- A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A- C)2-4AC0，即A2+B2+C22( AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若 A0，B0，C 0且 A2+B2+C22( AB+BC+CA)，1）若 A=0，则由 B2+C22BC 得( B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成
23、立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理1 若 a, bR, |a|-|b| a+b| a|+|b|.【证明】 因为-|a|a| a|,-|b|b| b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+| b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x| m）.又|a |=|a+b-b|a+ b|+|-b|,即|a |-|b|a+b|.综上定理1得证。定理2 若 a,bR, 则 a2+b2 2ab；若 x,yR+,则 x+y(证略)注 定理2可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1下列四个命题中属于真命题的是_，“若 x+y=0，则 x
24、、y 互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p 或 q”， “p 且 q”， “非 p”形式的复合命题中，p 或 q 为真，p 且 q 为假，非 p 为真的是_.p；3是偶数，q：4是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:a a,b; p: Q R, q: N=Z.3. 当|x-2|0的解是10，则集合 x|xA 且 x AB=_.11. 求使不等式 ax2+4x-1-2x 2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。12对任意 x0,1,有
25、 成立，求 k 的取值范围。四、高考水平训练题1若不等式|x-a|0当 |a|1时恒成立的 x 的取值范围是 _.3若不等式-x 2+kx-410, B=x|x-5|0和 a2x2+b2x+c20解集分别为 M 和 N，那么“ ”是“M=N”的_条件。6若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_.7已知 p, q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，则 r 是 q 的_条件。8已知 p: |1- |2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非 p
26、是非 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_.9已知 a0，f(x)=ax 2+bx+c，对任意 xR 有 f(x+2)=f(2-x)，若 f(1-2x2)0且| x|1时，g(x )最大值为2，求 f(x).11.设实数 a,b,c,m 满足条件： =0，且 a0,m0 ，求证：方程ax2+bx+c=0有一根 x0满足00，当函数的最小值取最大值时，a+b 2+c3=_.4. 已知 f(x)=|1-2x|, x0,1，方程 f(f(f)(x)= x 有_个实根。5若关于 x 的方程4x 2-4x+m=0在-1，1 上至少有一个实根，则 m 取值范围是_.6若 f(x)=x4+px3
27、+qx2+x 对一切 xR 都有 f(x)x 且 f(1)=1，则 p+q2=_.7. 对一切 xR，f(x )=ax2+bx+c(a 、=、100，试问满足|f(x)|50 的整数 x 最多有几个？2设函数 f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在 tR，只要 x1, m就有 f(x+t)x.7.求证：方程3ax 2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。8设 a,b,A,BR+, af(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的
28、xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T )=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义8 如果实数 aa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间（-,a .定义9 函数的图象，点集(x,y)|y=f (x), xD称为函数 y=
29、f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系( a,b0)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（ 6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=
30、 , u=2-x 在（- ,2）上是减函数，y= 在（0，+）上是减函数，所以 y= 在（- ,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1数形结合法。例1 求方程|x-1|= 的正根的个数.【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例2 求函数 f(x)= 的最大值。【解】 f(x)= ，记点 P(x, x?2)，A（3， 2） ，B （ 0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA| |AB|= ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛
31、物线 y=x2的交点时等号成立。所以 f(x)max=2.函数性质的应用。例3 设 x, yR，且满足 ，求 x+y.【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（- ，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，则由得 n0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m0,所以 f(x)在（-，- ）上递增，同理 f(x)在- ，+）上递增。在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y
32、0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y- ，+）.若 x y，设 xy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化简得3x 5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x 4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x0，所以3x 4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.三、基础训练题1已知 X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射 f：XY 满足：对任意的 xX，它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。2给定 A=1，2，3，B=-1，0，1和映射 f：XY，若 f 为单射，则 f 有_个；若 f 为
33、满射，则 f 有_个；满足 ff(x) =f(x)的映射有 _个。3若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点（-1，-1） ，则图象与直线一共有_个交点。4函数 y=f(x)的值域为 ，则函数 g(x)=f(x)+ 的值域为_。5已知 f(x)= ，则函数 g(x)=ff(x)的值域为_。6已知 f(x)=|x+a|，当 x3时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是_。7设 y=f(x)在定义域（ ，2）内是增函数，则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数 y= (x)存在反函数 y= -1(x)，则 y= -1(x)的图象与 y=- (-x)的图象关于直线_对
34、称。9函数 f(x)满足 =1- ，则 f( )=_。10. 函数 y= , x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域：（1）y= ; (2)y= ; (3)y=x+2 ; (4) y=12. 已知 定义在 R 上，对任意 xR, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)= x，则当 x-2,0时，求 f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知 a , f(x)定义域是（0,1，则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。2设0a0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)= ，求证：f(x) 为周期函数。11设关于 x 的方程2x
35、 2-tx-2=0的两根为 ，（0，a 1,F(x)是奇函数，则 G(x)=F(x) 是_（奇偶性）.3若 =x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F( x)；F(-x )= ；F(x -1)=F(x)；F( F(x)=-x.4.设函数 f：RR 满足 f(0)=1，且对任意 x,yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则 f(x)=_.5已知 f(x)是定义在 R 上的函数， f(1)=1，且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1 。若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= _.6. 函数 f(x)= 的单调
36、递增区间是_.7. 函数 f(x)= 的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非） 。8. 函数 y=x+ 的值域为_.9设 f(x)= ,对任意的 aR，记 V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求 V(a)的最小值。10解方程组： （在实数范围内）11设 kN+, f: N+N +满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意 nN+, 有 ff(n)=kn，求证：对任意 nN+, 都有 nf(n)六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f，满足：（1）对任意 x0, f(x)=xf ；（2）对所有的 x- y 且 xy0，有
37、f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.设 f(x)对一切 x0有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意 x0, f(x)f =1，试求 f(1).3. f:0,1R 满足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f (1)=1；（3）当 x, y, x+y0, 1时，f (x)+f(y) f(x+y)，试求最小常数 c，对满足（1） ， （2） ， （3）的函数 f(x)都有 f(x)cx .4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5对给定的正数 p,q(0, 1)，有 p+q1p 2+q
38、2，试求 f(x)=(1-x) +在1-q,p上的最大值。6已知 f: (0,1)R 且 f(x)= .当 x 时，试求 f(x)的最大值。7函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)= ，求 f(100)的值。8函数 y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角 后不变。 （1）求证：方程 f(x)=x 恰有一个解；（ 2）试给出一个具有上述性质的函数。9设 Q+是正有理数的集合，试构造一个函数 f: Q+Q +，满足这样的条件：f(xf( y)=x, yQ+.高中数学竞赛讲义（四）几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a 1)的函数叫做
39、指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+） ，当01时， y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂： 。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+ ） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当01时，y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0） ；1）a x=M x=log-aM(a0, a 1)；2）log -a-(MN)= log-a M+ log-a N；3）log -a（ ）= log -a M- log-a N；4）log -a Mn=n log-a M；，5）log -a = log-a M；6）
40、a log-a M=M; 7) log-a b= (a,b,c0, a, c 1).5. 函数 y=x+ （a0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为和 。 （请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若 a0.【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0且 f(1)0（因为-10，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例2 （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为0的实数，b 1, b2,bnR，则（ ）（ ）( )2，等号当
41、且仅当存在 R，使 a-i= , i=1, 2, , n 时成立。【证明】 令 f(x)= （ ）x 2-2( )x+ = ,因为 0，且对任意 xR, f(x)0，所以=4( )-4（ ）( )0.展开得（ ）( )( )2。等号成立等价于 f(x)=0有实根，即存在 ，使 a-i= , i=1, 2, , n。例3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= 的最小值。【解】u= =xy+ xy+ +2=xy+ +2.令 xy=t，则00，所以 =例5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，求证：a+
42、b=c.【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70，相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70，由题设 ，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0与题设矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 为70的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2log
43、bx，求证 c2=(ac)logab.【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得，因为 ac0, ac 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程：3 x+4x +5x =6x.【解】 方程可化为 =1。设 f(x)= , 则 f(x)在(-,+ ) 上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例8 解方程组
44、： （其中 x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 把代入得(x+ y)2lgx=36lgx，所以( x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0得 x=1，由(x+ y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 已知 a0, a 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 .若、同时成立，则必成立，故只需解 . 由可得2kx=a(1+ k2)， 当 k=0时，无解；当 k
45、 0时，的解是 x= ，代入得 k.若 k1，所以 k0，则 k20且 a 1，比较大小： |loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_。8若 x= ，则与 x 最接近的整数是_。9函数 的单调递增区间是_。10函数 f(x)= 的值域为_。11设 f(x)=lg1+2x+3x +(n-1)x +n xa，其中 n 为给定正整数 , n2, a R.若 f(x)在x(-,1 时有意义，求 a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程 =2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数 f(x)= +lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式 x2-logmx0且 a 1，比较大小： |log-a(1-b)| _|log-a(1+b)|.7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8若 x= ，则与 x 最接近的整数是_.9函数 y= 的单调递增区间是_.10函数 f(x)= 的值域为_.11设 f(x)=lg1+2x+3x +(n-1)x +n xa，其中 n 为给定正整数， n2,a R。若 f(x) 在 x(-,1时有意义，求 a 的取值范围。12当 a 为何值时，方程 =2有一解，二解，无解？
