1、三角函数定义域数列的定义域题组训练柳金爱 欧阳志 肖天泉 崔海峰【内容提要】 001 函数定义域 002 整数定义域 003 三角函数定义域 004 数列定义域 005 复合函数定义域 006 复合函数定义域的应用 007 定义域与值域为 的区别 008R值域 , 及解集的区别 009 和谐区间及区间的长度ab,y【003】三角函数定义域【例 3】 判断函数的奇偶性 .1sin()si)xfx答案【解析】 ，定义域不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数.1sin )(f【变式 1】求函数 的定义域.cotayx答案 【解析】要使 有2,)(2,kkkZcostanyx意义，则 或 ， 或cos0
2、tanx cos0tanx222kkxk ，3222kxkxk 即 或 ， （ ） ， 22kxk Z故原函数的定义域为 .,)(,k【变式 2】求函数 的定义域2lgsin9yx答案 或 【解析】依题意 ，|32x 0 2sin09x，原函数的定义域为 或 .,3kkZx |32x 0x【变式 3】求函数 的定义域sincoyx答案 【解析】要使函数有意义，必须使5|22,44xkkZ ，利用图像，在同一坐标系中画出 上 和 的图像，sinco0 0,2sinyxcosx如图所示在 内，满足 的 为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周,sincox45期是 ，所以定义域为2.5| 2,44xkx
3、kZ 【变式 4】求函数 的定义域.lg(cos)yx答案 【解析】由 ，得 ，又 ，|2,xklg(cos)0x cos1x cos1x 故此函数的定义域为 cos1()Z|2,kZ【变式 5】求函数 的定义域.lgtan1yx答案 | ,42xkk【解析】 tan10ta,42xkxkZ故此函数的定义域为 | ,42kZ【内容提要】01 待定系数法求复数；02 配凑法、换元法求函数解析式；03 待定系数法求函数解析式；04 构造法求数列通项公式； 05 取倒数法求通项 ； 06 取对数法求通项； 07 待定系数法求数列通项；08 迭代法求数列通项公式；09 替换法列方程组求解析式；10奇偶
4、性列方程求解析式；11 求抽象函数解析式；12 分段函数解析式；13 分段周期函数表示方法；14 分段数列通项公式；15 坐标转移法求函数解析式；16 坐标转移法求轨迹方程；17 代点法求三角函数解析式【019 代点法求三角函数解析式】【例 19】如图所示，点 是函数 的图象的最高点，P)sin(2xy)0,(R， 是该图象与 轴的交点，若 ， 则 的值为 MNx0PNM【解析】由题意可知，PMN 是等腰直角三角形且 MN=4 即 ，因此421T【变式 1】 （2010 辽宁理数） （5）设 0,函数 y=s in( x+ )+2 的图像向右平移 个单33位后与原图像重合，则 的最小值是 答案
5、 【解析】平移后得 ，由于与原图像重合，则4sin()23yx，42,3kZ，又 0 所以当 1 时， 的最小值是zk2【变式 2】已知函数 ， 与直线 的交点中，距离最近的两点sin()yx(0)1y间距离为 ，那么 是 3答案 【解析】取 ，令 ，则 ，或 ，由于01si2x26xk526xk距离最近的两点间距离为 ，所以 ，即3563【变式 3】（2012 年高考（湖南理） ）函数 f(x)=sin ( )的导函数 的部分图x()yfx像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.若 ,点 P 的坐标为(0, ),则 _ ;6
6、32【答案】 【解析】 ,当 ,点 P 的坐标为(0, )时 ()yfxcos()x632;3cos,62【变式 4】已知函数 （ ）的一段图象如下图所示，求函数sin()yAx0,32的解析式答案 【解析】由图得 ， ，2,(8TT2 ，又图象经过点 ，它是五点法作图时的第二点，故令 2sin()yx,)， 4343sin(4yx【变式 8】已知函数 （ ）的图象最高点（ ） ，它到相)A0,A2.3邻的最低点的曲线过于（6，0） 。求函数的解析式答案 【解析】 ， ， 。图像过（ ） ，,(621T68.则 ， ， ， 3sin(2)8sin)42k4k，函数的解析式 yxkZ3sin()
7、yx【变式 9】 （2012 年高考（天津文） ）将函数 的图像向右平移 个()0fx4单位长度,所得图像经过点 ,则 的最小值是 3(0)4 3820 xyO APCB 图 4【解析】函数向右平移 得到函数 , 即4 )4sin()4(sin)4() xxxfg有 ,即 所以 ,所以 的最小值为0)43(sin,23(kZk,22.用；15 锐角三角函数定义； 16 任意角三角函数定义【0015 锐角三角函数定义】【例 15】 （2011 年全国高考福建卷 14 题）ABC 中， AB=AC=2，BC= ，点 D 23在 BC 边上，ADC=45，则 AD 的长度等于_。例 15 【解析】
8、，AB=AC=2，BC= ，由余弦定理，2ADABC23，所以， ；在 中，由2cosCB24(3)0CAC正弦定理， ，即siniAsin0i45D2A【解析 2】作 ，在 中，HBRtHC,3在 中， ，30,1Ct 452【变式 1】如图，两座相距 60 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20m、50m，BDm为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 【变式 1】 【解析】提示：过 A 作 .由正切函数和公式可得.4HCD【变式 2】设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ，ABC, ,abcos3B，边长 = sinba【变式 2】5 【解析】 ， ，而 ，CDA
9、B过 作 于 ， 3os4inAcsDa，siAb.3,4BDC Rt中 ， 2a=+CD=5【变式 3】 要修一条深 2 米，横截面为等腰梯形的引水渠，在横截面面积大小一定的条件下，要求渠底面和两侧面所用材料最省.问渠壁的倾角 （锐角）多大时，才能满足这一要求.【变式 3】 【解析】如图所示，设横截面面积为 S06则 2ADBCScot2BC2cotB渠底面和两侧面的截面周长为A= CDBAlsin2cotSsinco2S令 ，要使周长最小.只需 最小就可以了，根据三角函数公式可sinco2u siu以得到：由基本不等式，当 ，即sic2tan3t12tan3t1时，上式达到最小值. 时，渠
10、底面和两侧面的截面周长最小，也就32tan06是渠底面和两侧面所用材料最省【变式 4】在直角三角形 ABD 中， ，在 AD 上找一处 C，动点 P45,30ABDC在 AD 上移动的速度是 6 米/秒，在 CB 上行进速度为 2 米/秒.使动点 P 从 A 到 B 运动的时间最短，并求出最短时间.【变式 4】 【解析】5012设 则 ，在 中， ， ， ，,BCD490BCD30sin30tanCD所以，3tanA513cos05062tsinint 设 ，则 ， 3cosinuico3u2siu23si1u（中 ） ，由 ，所以 ，221si,s1212,u所以在 AD 上找一处 C，所花
11、的时间的最小值为 秒.50【0016 任意角三角函数定义】【例 16】 已知角 的终边在直线 上，求 的值.3yx1sin3ta例 16. 或 【解析】设 终边上任意点为 ，则3109 (,3)Pk,222()10rxykk当 时， ， =0k1r3sin,tan3,10sin3ta，3109当 时，k3sin,tan3,10k10sin3ta109【变式 1】已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 是角 终边上一 4,py点，且 ，则 y=_.25sin【变式 1】-8 【解析】解： = .sin5216y8y【变式 2】 （北京卷文 9）若角 的终边经过点 ，则 的值为 ()
12、P， tan【变式 2】 【解析】43 224tan,ta.11t3【变式 3】 （2008 江苏高考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点已知 A，B 的横坐标分别为 求 tan(+)的值 510，【变式 3】-3 【解析】由条件的 ，因为 , 为锐角，所25cos,s10以 = 因此 tan( )= sin725,si10tan7,t；tat3【变式 4】在直角坐标系 xoy 中，若角 的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 l：y=x (x0). = 2sin()6【变式 4】 【解析】由射线 的方程为 ，可得 ，1
13、6l2yx31cos,2sin故 . sin()23162【变式 5】已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，、角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ，角 的终边与单位圆交点(0)、 ， ， 13的纵坐标是 ，则 = 45cos【变式 5】 【解析】由题意， .3821+ 12cos,in3.43sin(),cos()5.82co1【变式 6】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB的倾斜角为 ，| OB|=2, 设 。用 表示点 B 的坐34p3,(,)24OBpq=q标 ； 的表达式 .Aur【变式 6】 , 【解析】B 的坐标为(2cos,in
14、)q2si()+.由（）得(s,i).3|cs=4i()cos2in()24OABppqq=-=+urru【变式 6】如图，单位圆（半径为 1 的圆）的圆心 O为坐标原点，单位圆与 y轴的正半轴交与点 ，与钝角 的终边 OB交于点 ，设 BA.用 表示 = Byx,；如果 4sin5,求点 的坐标 ； 的最小值 .yx, yx【变式 6】 , )257,4(,32【解析】 3AOB. 由 sinyr，又 1,得 sin()2By 2571)4(sin2co. 由钝角 ，知 4co,5x )57,(B.【法一】 )cs(siBy， 又 )4,3(2，2,1)4cos(, Byx的最小值为 .【法二】 为钝角， 1,02B, )(BByxyx， )()(Byx, B, 的最小值为 2OBAxy角终边
