1、4.5 相似三角形【基础知识精讲】1理解相似三角形的意义，会利用定理判定两个三角形相似，并能掌握相似三角形与全等三角形的关系2进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学习数学的兴趣和自信心【重点难点解析】来源:学科网 ZXXK相似三角形的概念及相似三角形的基本定理【典型热点考题】例 1 如图 4-21， ABCD 中， M 是 AD 延长线上一点， BM 交 AC 于点 F，交 DC 于 G，则下列结论中错误的是 （ ）图 4-21A ABM DGMB CGB DGMC ABM CGBD AMF BAF点悟：用本节概念和定理直接判断解：应选 D例 2 如图 4-
2、22，已知 MN BC，且与 ABC 的边 CA、 BA 的延长线分别交于点 M、 N，点P、 Q 分别在边 AB、 AC 上，且 AP PB AQ QC来源:学科网 ZXXK图 4-22求证： APQ ANM证明： AP PB AQ QC， PQ BC，又 MN BC， MN PQ APQ ANM例 3 写出下列各组相似三角形的对应边的比例式(1)如图 4-23(1)，已知： ADE ABC，且 AD 与 AB 是对 应边(2)如图 4-23(2)，已知： ABC AED， B AED图 4-23点悟：要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边因为相似三角形是全等
3、三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发解：(1)已知 ADE ABC，且 AD 和 AB 是对应边，它们所对的顶点 E 和 C 为对应顶点，而 A 是两三角形的公共顶点， BAC 为公共角，所以两三角形另两组对应边为 DE 和 BC， EA和 CA，得 CAEBD(2)已知 ABC AED，且 ABC AED， A 为公 共顶点，另一对应顶点为 D 和 C，三组对应边分别是 AD 和 AC， AE 和 AB， DE 和 CB 得 CBDEA本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形第一类为平行线型平行线
4、型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合基本图形有两种(图 4-24)：图 4-24第二类是相交线型这一类型的对应元素不十分 明显，对应顺序也不一致，对应边相交它的基本图形，也有两种，一种是有一个公共角，另一种是一组对顶角(图 4-25)图 4-25其他类型的 相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型例 4 如图 4-26，已知： ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且AD CE， DE 交 AC 于 F求证： ABDF BCEF图 4-26点悟：如果我们把条件
5、和结论涉及的线段 AD， CE， AB， DF， BC， EF 在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即 DBE，还有一条线 AC，是 DBE 的截线，分别截 DBE 的三边 DB， BE， DE(或它们的延长线)于 A， C， F这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线或其延长线相交(如图 4-27)，在每一种图形中，虽然只有 一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式图 4-27以(2)为例，可以写出 BHDFA，又可以写出 BCEF前两式均有 BH，于 是
6、可得FBH，及 CE，所以，有FAD又因为 AD CE，于是有 ABDF BCEF(证略)利用比例线 段也可以证明两直线平行或两线段相等例 5 如图 4-28，已知：梯形 ABCD 中， AD BC， E， F 分别是 AD， BC 的中点， AF 与 BE 相交于 G， CE 和 DF 相交于 H，求证： GH AD图 4-28点悟：条 件中的 AD BC，给出了两个基本图形，而 AE ED， BF FC，又使从两个基本图形中给出的比例式有一个公共的比值 ，从中可以得到 HFDGA所以 GH AD证明： AD BC， GFABE， HDC AE ED， BF FC， FA， GH AD例 6
7、 如图 4-29，已知： AD 平分 BAC， DE AC， EF BC， AB15cm， AF4cm求： BE 和 DE 的长图 4-29点悟：题设中的两对平行线起着不同的作用由 DE AC， AD 平分 BAC，可以得到AE DE这样已知及欲求的线段 BE， AE， AB， AF 都在 AB 和 AC 这两条边上，利用EF BC，就可以得到相应的比例线段求得答案来源:Zxxk.Com解： DE AC， 32，又 AD 平分 BAC， 12， 13， ED AE EF BC， ED CF， EDCF 为平行四边形， ED CF AE设 AE x，则 CF x， BE15 x EF BC， C
8、FABE，即 x415， 0642x解得， )(1舍， 2 DE6cm， BE9cm 例 7 如图 4-30，已知：在 ABC 中， AD 和 BE 相交于 G， BD DC31， AG GD求 BG GE图 4-30点悟：按照例 4 的分析，过点 G 作 GM AC，根据平行线截得比例线段定理，得BG GE BM MC，于是只要求出 BM MC 的值即可解：作 GM AC 交 BC 于 M，则 BG GE BM MC AG GD， DC21 13B，即162DCB， M16，即 17CB， BG GE71点拨：以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识【易错例题分析】例
9、1 已知：在正方形 ABCD 中， P 是 BC 上的点，且 BP3 PC， Q 是 CD 的中点求证： ADQ QCP证明：在正方形 ABCD 中， Q 是 CD 的中点， 2CAD， 3PB， 4又 BC2 DQ， 2PCDQ在 ADQ 和 QCP 中， PCDQA， C D90， ADQ QCP警示：证此类题应避免没有目标而乱推理的情况例 2 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 米，面积为 1.5 平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图 4-31(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合 要求(加工损耗忽略不计，
10、计算结果中的分数可保留)解：由 AB1.5 米， 5.1ABCS平方米，得 BC2 米 设甲加工的桌面边长为 x 米， DE AB， Rt CDE Rt CBA， ABDEC，即 5.12x解得 76x，过点 B 作 Rt ABC 斜边 AC 上的高 BH，交 DE 于 P，交 AC 于 H由 AB1.5 米， BC2 米， 5.1ABCS平方米得 AC2.5 米， BH1.2 米设乙加工的桌面边长为 y 米， DE AC， Rt BDE Rt BAC ACDEBHP，即 5.2.1y解得 370y，因为6即 x y， 2，所以甲同学的加工方法符合要求警示：解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写 错而形成的计算错 误例 3 如图 4-32， AD 是直角 ABC 斜边上的高， DE DF，且 DE 和 DF 分别交 AB、 AC 于E、 F求证： BDEA图 4-32来源:学+科+网(2002 年，安徽)正解： BA AC， AD BC， B BAD BAD DAC90，来源:学科网 ZXXK B DAC又 ED DF， BDE EDA EDA ADF90， BDE ADF， BDE ADF AFBED，即 BDE警示：本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况
