1、相似三角形应用专题（二）动态几何中的相似三角形例题讲解一：如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 动ABCDB 3AD5C10B4点 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线MB NC段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 （秒） CD t（1）当 时，求 的值；N t（2）试探究： 为何值时， 为直角三角形tMN变式练习 1-1：如图所示，在 ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度
2、向 A 点运动，设运动时间为x。 （1）当 x 为何值时，PQBC？（2）当 ，求 的值；（3）APQ 能否与 CQB 相1ABQSABCQS似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由。DNCMBA变式练习 1-2：如图，已知直线 的函数表达式为 ，且 与 轴， 轴分别交于 两点，l 483yxlxyAB，动点 从 点开始在线段 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 移动，同时动点 从 点开始在线QBBAAP段 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 移动，设点 移动的时间为 秒AOOQP，t（1）求出点 的坐标；，（2）当 为何值时， 与 相似？tAPQ B（3）求出（2）中当 与 相似时，线
3、段 所在直线的 O PQ函数表达式O P AQByxO P AQByx图-2ADOBC21MN图-1ADBMN12图-3ADOBC21MNO例题讲解二：在图 1 至图 3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1 = 2 = 45（1）如图 1， 若 AO = OB， 请 写 出 AO 与 BD 的 数量关系和位置关系；（2）将图 1 中 的 MN 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 得到图 2，其中 AO = OB求证： AC = BD，AC BD；（3）将 图 2 中 的 OB 拉 长 为 AO 的 k 倍 得 到图 3，求 ACD的值变式练习 2-1：已知在 RtABC 中，ABC 9
4、0，A 30，点 P 在 AC 上，且MPN90当点 P 为线段 AC 的中点，点 M、N 分别在线段 AB、BC 上时（如图 1） ，过点 P 作 PEAB 于点E，PF BC 于点 F，可证 t PMEtPNF，得出 PN PM （不需证明）3当 PC PA，点 M、N 分别在线段 AB、BC 或其延长线上，如图 2、图 3 这两种情况时，请写2出线段 PN、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明变式练习 2-2：如图 1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起， A 为公共顶点， BAC= AGF=90，它们的斜边长为 2，若 ABC 固定不动， AF
5、G 绕点 A 旋转， AF、 AG 与边BC 的交点分别为 D、 E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m， CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.（3）以 ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴， BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD CE =DE .22（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD CE =DE 是否始终成立,若成立,请
6、证明,若不成立,请说22明理由.Gyx图 2OFED CBAG图 1FED CBAG图 1FED CBAGyx图 2OFED CBA例题讲解三：如图， 中， ， cm，矩形 的长和宽PMNRt 90PMN， 8ABCD分别为 8cm 和 2cm， 点和 点重合， 和 在一条直线上令 不动，矩形CBCPMNRt沿 所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动（如图） ，直到 点与 点重合为止设移动ABDN秒后，矩形 与 重叠部分的面积为 求 与 之间的函数关系式x y2cmxABDPNC(M) 图图ABDPNC(M) 图图变式练习 3-1：如图，在等腰梯形 中，ABCD， ， ， 等腰直角三角形 的斜
7、边 ，ABDC 45 10cm4cPMN10cm点与 点重合， 和 在一条直线上，设等腰梯形 不动，等腰直角三角形 沿NMABCDP所在直线以 的速度向右移动，直到点 与点 重合为止1c/s N（1）等腰直角三角形 在整个移动过程中与等腰梯形 重叠部分的形状 由 P形变化为 形；（2）设当等腰直角三角形 移动 时，等腰直角三角形 与等腰梯形 重叠部分的(s)xPNABCD面积为 ，求 与 之间的函数关系式；2(cm)yyx（3）当 时，求等腰直角三角形 与等腰梯形 重叠部分的面积4sxPMNABCDA（N）MPD CBA NMPD CBA（N）MPD CBA NMPD CB例题讲解四：如图，已
8、知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（ cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APR PRQ ？变式练习 4-1：如图，在梯形 ABCD 中， ， ， ，点 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，ADBC
9、6cm4cCD10cmBP速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 于 Q，连接DPE若设运动时间为 （s） （ ） 解答下列问题：t05t（1）当 为何值时， ？tPEA（2）设 的面积为 （cm 2） ，求 与 之间的函数关系式；Q yyt（3）是否存在某一时刻 ，使 ？t5PEQBCDS A E DQPBFCA E DQPBFC变式练习 4-2：在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q
10、从点 A 出发沿 AB 以每秒 1个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 A CBPQEDA CBPQEDA CBPQED
