1、第三十七讲 相似三角形(二)上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用例 1 如图 2-76 所示ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证：ABAC=BDDC分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件证 过 B 引 BEAC，且与 AD 的延长线交于 E因为 AD 平分BAC，所以1=2又因为 BEAC，所以2=3从而1=3，AB=BE显然BDECDA，所以 BEAC=BDDC，所以 ABAC=BDDC说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用类似的还有一个关于三角形外角分
2、三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法例 2 如图 2-77 所示在ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，AE 平分BAC，BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F求证：EFAB分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而 EFAB证 过 B 引 BGAC 交 AE 的延长线于 G，交 AM 的延长线于 H因为AE 是BAC 的平分线，所以BAE=CAE因为 BGAC，所以CAE=G，BA
3、E=G，所以 BA=BG又 BDAG，所以ABG 是等腰三角形，所以ABF=HBF，从而ABBH=AFFH又 M 是 BC 边的中点，且 BHAC，易知 ABHC 是平行四边形，从而BH=AC，所以 ABAC=AFFH因为 AE 是ABC 中BAC 的平分线，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(这是因为 ABHC 是平行四边形，所以 AM=MH 及 BM=MC)由合分比定理，上式变为AMMB=FMME在MEF 与MAB 中，EMF=AMB，所以MEFMAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似
4、)所以ABM=FEM，所以 EFAB例 3 如图 2-78 所示在ABC 中，ABC=124即可，为此若能设法利用长度分别为 AB，BC，CA 及 l=ABAC 这 4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC 中，已含上述 4 条线段中的三条，因此，不妨以原三角形 ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC 相似，期望能解决问题证 延长 AB 至 D，使 BD=AC(此时，AD=ABAC)，又延长 BC 至 E，使AE=AC，连结 ED下面证明，ADEABC设A=，B=2，C=4，则A+B+C=7=180由作图知，ACB 是等腰三角形 ACE 的外角，所以ACE=1
5、80-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2EBA，AEBE又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE 是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以 ABCDAE，所以例 4 如图 2-79 所示P，Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB， BC 上的点，且 BP=BQ，BHPC 于 H求证：QHDH.分析 要证 QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC 是直角三角形，且 BHPC，熟知PBH=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ 与DHC 应该相似证 在 RtPBC 中，因为 BHPC，所以PBC=PHB=90，从而 PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，
6、所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为ABC=BCD=90，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因为BHQQHC=90，所以 QHD=QHCDHC=90，即 DHHQ例 5 如图 2-80 所示P，Q 分别是 RtABC 两直角边 AB，AC 上两点，M 为斜边 BC 的中点，且 PMQM求证：PB2QC 2=PM2QM 2分析与证明 若作 MDAB 于 D，MEAC 于 E，并连接 PQ，则PM2QM 2=PQ2=AP2AQ 2于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2， 等价于PB2-PA2=QA2-QC2 因为 M 是 BC 中点
7、，且 MDAC，MEAB，所以 D，E 分别是 AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，等价于(ADPD) 2-(AD-PD)2=(AEEQ) 2-(AE-EQ)2， 等价于ADPD=AEEQ 因为 ADME 是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等价于MEPD=MDEQ 为此，只要证明MPDMEQ 即可下面我们来证明这一点事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可由于 ADME 为矩形，所以DME=90=PMQ(已知) 在的两边都减去一个公共角PME，所得差角相等，即PMD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，从而成立，则原命题获证例
8、 6 如图 2-81 所示ABC 中，E，D 是 BC 边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12 厘米求：FM，MN，BN 的长解 取 AF 的中点 G，连接 DF，EG由平行线等分线段定理的逆定理知 DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA所以 MB=3MF，从而 BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又在BDF 中，E 是 BD 的中点，且 EHDF，所以因为 EHAB，所以NEHNAB，从而显然，H 是 BF 的中点，所以故所求的三条线段长分别为练习十六1如图 2-82 所示在ABC 中，AD 是BAC 的外角CAE 的平分线求证：ABAC=BDDC2如图 2-83 所示在AB
9、C 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分CAB，CF 平分BCD求证：EFBC3如图 2-84 所示在ABC 内有一点 P，满足APB=BPC=CPA若 2B=A+C，求证：PB2PAPC(提示：设法证明PABPBC)4如图 2-85 所示D 是等腰直角三角形 ABC 的直角边 BC 的中点，E 在斜边 AB 上，且 AEEB=21求证：CEAD5如图 2-86 所示RtABC 中，A=90，ADBC 于 D，P 为 AD的中点，延长 BP 交 AC 于 E，过 E 作 EFBC 于 F求证：EF 2=AEEC6在ABC 中，E，F 是 BC 边上的两个三等分点，BM 是 AC 边上的中线，AE，AF 分别与 BM 交于 D，G求：BDDGGM
