1、1(2011 年高考湖南卷改编)设双曲线 1(a0)的渐近线方程 3x2y0，则 a 的x2a2 y29值为_解析：渐近线方程可化为 y x.双曲线的焦点在 x 轴上， ( )2，解得32 9a2 32a2 ，由题意知 a0，a2.答案：22若双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a 等于_x2a2 y23解析：由 1 可知 b ，而 e 2，所以 a234a 2，故 a1.x2a2 y23 3 ca a2 3a答案：13双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_x24 y212解析：双曲线 1 的焦点(4,0)到渐近线 y x 的距离为 d 2 .x24 y212 3 | 34 0|2 3答案：
2、2 34双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为_34解析：由 e 及 c2a 2b 2得 e ，ca 1 b2a2故当双曲线焦点在 x 轴上时， ，ba 34e .1 916 54当双曲线焦点在 y 轴上时， ，ab 34 ，e .ba 43 1 169 53答案： 或54 53一、填空题1(2011 年高考北京卷)已知双曲线 x2 1(b0)的一条渐近线的方程为 y2x，则y2b2b_.解析：双曲线的焦点在 x 轴上， 2，ba 4.a 21，b 24.b2a2又b0，b2.答案：22若双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于_解析：双曲线的方程可化为 y2
3、 1，则 a21，b 2 .由已知得 b2a，解得x2 1m 1mm .14答案：143与双曲线 x2 1 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是y24_解析：依题意设双曲线的方程为 x2 (0) ，将点(2,2)代入求得 3，y24所以所求双曲线的标准方程为 1.x23 y212答案： 1x23 y2124如图所示，F 1和 F2是双曲线 1(a0，b0)的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆x2a2 y2b2心、| OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为_解析：|AF 2|F 1F2|sin60 c，|AF 1|F 1F
4、2|sin30c. 由双曲线的定义得3|AF2| AF1|2 a.即 2a( 1)c，e 1.3ca 23 1 3答案： 135已知双曲线 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一x212 y24个交点，则此直线斜率的取值范围是_解析：由题意知 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y x，当过点 F 的直线与渐33近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是 . 33，33答案： 33，336过点 P(3,0)的直线 l 与双曲线 4x29y 236 只有一个公共点，则这样的直线 l 共有_条解析：已知双曲线方程为 1，故 P(3,
5、0)为双曲线的右顶点，所以过 P 点且与双x29 y24曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线) 答案：37已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F 2，点 P 在双曲线右支x2a2 y2b2上，且| PF1|4|PF 2|，则此双曲线离心率 e 的最大值为_解析：由|PF 1| PF2|2a 及|PF 1|4|PF 2|得：|PF2| ，又|PF 2c a，2a3所以 ca，c ，2a3 5a3e ，即 e 的最大值为 .ca 53 53答案：538设一个圆的圆心在双曲线 1 的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦y29 x216点，则原点 O
6、到该圆圆心的距离是 _解析：由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)，上焦点为 F(0,5)，设圆心为 P(x0，y 0)，则y0 4.代入双曲线方程得 1，所以 x ，故|PO| 3 52 169 x2016 20 7169 x20 y20 .7169 16 163答案：163二、解答题9如图所示，已知 F1，F 2为双曲线 1(a0，b0)的两个焦点，过 F2作垂直于x2a2 y2b2x 轴的直线交双曲线于点 P，且 PF 1F230，求双曲线的渐近线方程解：在 Rt F1F2P 中，PF 1F230，|PF 1| 2|PF2|.由双曲线的定义知|PF 1| PF2|2a，|PF 2| 2a
7、.|F 1F2| |PF2|，即 2c2 a，c 23a 2.3 3又c 2a 2b 2，2a 2b 2. .ba 2故所求双曲线的渐近线方程为 y x.210如图，已知 F1，F 2是双曲线 1(a0，b0)的两焦点，以线段 F1F2为边作x2a2 y2b2正三角形 MF1F2，若边 MF1与双曲线的交点 P 满足 3 ，试求双曲线的离心率MP PF1 解：连结 PF2，设|F 1F2|2c ，由 3 知|PF 1|MP PF1 |MF1|.14又MF 1F2为正三角形，|PF 1| 2c c，14 12PF 1F260，由余弦定理可得：|PF2|2c2 12c2 22c12ccos60 c
8、.4c2 14c2 c2 132根据双曲线定义有2a|PF 2| PF1| c，13 12离心率 e .ca 413 1 13 1311已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)3(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 ykxm(k 0，m0) 与双曲线 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0，1) ，求实数 m 的取值范围解：(1)设双曲线 C 的方程为 1(a0，b0)由已知得 a ，c 2.又x2a2 y2b2 3a 2b 2c 2， b 21.双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)由题意得Error!整理得(1 3k2)x26kmx3m 230.直线与双曲线 C 有两个不同的交点，Error!解得 m23k21.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，线段 MN 的中点为 B(x0，y 0)，则 x1x 2 ，6km1 3k2x 0 ，y 0kx 0m .x1 x22 3km1 3k2 m1 3k2由题意知 ABMN，k AB (k0 ，m0)，m1 3k2 13km1 3k2 1k整理得 3k24m1，将代入得 m24m0，m 4.3k 24m10( k0)，m .14综上所述， 4.14高考试题 库
