1、数学皇冠的明珠哥德巴赫猜想大约在 250 多年前，德国数学家哥德巴赫发现了这样一个现象：任何大于 5 的整数都可以表示为 3 个质数的和他验证了许多数字，这个结论都是正确的但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它，于是他在 1742 年 6 月 7 日写信向当时在柏林科学院工作的著名数学家欧拉请教欧拉认真地思考了这个问题他首先逐个核对了一张长长的数字表：6=2+2+2=3+37=2+2 3=2+58=2+3+3=3+59=3+3+3=2+710=2+3+5=5+511=5+3+312=5+5+2=5+799=89+7+3100=97+3101=97+2+2102=97+2+3=97+5 这张表可
2、以无限延长，而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心而且他发现证明这个问题实际上应该分成两部分，即证明所有大于 2 的偶数总能写成 2 个质数之和，所有大于 7 的奇数总能写成 3 个质数之和当他最终坚信这一结论是真理的时候，就在 6 月 30 日复信给哥德巴赫信中说：“任何大于 2 的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信这是完全正确的定理” 由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家，所以他的信心吸引和鼓舞了无数科学家试图证明它，但直到 19 世纪末也没有取得任何进展这一看似简单实则困难无比的数论问题长期困扰着数学界谁能证明它谁就登上了数学王国中一座高耸奇异的山峰因此有人把它
3、比作“数学皇冠上的一颗明珠” 实际上早已有人对大量的数字进行了验证，对偶数的验证已达到 1.3 亿个以上，还没有发现任何反例那么为什么还不能对这个问题下结论呢？这是因为自然数有无限多个，不论验证了多少个数，也不能说下一个数必然如此数学的严密性和精确性要求对任何一个定理都要给出科学的证明所以“哥德巴赫猜想”几百年来一直未能变成定理，这也正是它以“猜想”身份闻名天下的原因 要证明这个问题有几种不同办法，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过 a 个，第二个数的质因数不超过 b 个这个命题称为 ()ab最终要达到的目标是证明 ()b为（1+1） 1920 年，挪威数学家布朗教授用古
4、老的筛选法证明了任何一个大于 2 的偶数都能表示为 9 个质数的乘积与另外 9 个质数乘积的和，即证明了 ()ab为（9+9） 1924 年，德国数学家证明了（7+7） ；1932 年，英国数学家证明了（6+6） ； 1937 年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为 3 个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了 1938 年，我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和 1938 年到 1956 年，苏联数学家又相继证明了（5+5） ， （4+4） ， （3+3） 1957 年，我国数学家王元证明了（2+3） 1
5、962 年，我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了（1+5） 1963 年，潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了（1+4） 1965 年，几位数学家同时证明了（1+3） 1966 年，我国青年数学家陈景润在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2） 他的证明震惊中外，被誉为“推动了群山” ，并被命名为“陈氏定理” 他证明了如下的结论：任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个数是质数，另一个数或者是质数，或者是两个质数的乘积 现在的证明距离最后的结果就差一步了而这一步却无比艰难30 多年过去了，还没有能迈出这一步许多科学家认为，要证明（1+1） ，以往的路走不通了，必
6、须要创造新方法当“陈氏定理”公之于众的时候，许多业余数学爱好者也跃跃欲试，想要摘取“皇冠上的明珠” 然而科学不是儿戏，不存在任何捷径只有那些有深厚的科学功底，在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点 “哥德巴赫猜想”这颗明珠还在闪闪发光地向数学家们招手，她希望数学家们能够早一天采摘到她赏析数学归纳法一例数学归纳法是一种很重要的证明方法，对于解决有关正整数 n 的证明问题有着非常广泛的用途用数学归纳法要把握好两点：归纳奠基是命题成立的基础，归纳推理是保证命题成立的关键，证明的难点一般是由 nk到 1的证明，这也是数学归纳法证明的关键所在数学归纳法的应用在高考中经常出现，现举例说明它
7、在高考中的应用 例 （2005 年全国卷） （1）设函数 22()log()log(1)01)fxxx，求 ()fx的最小值；（2）设正数 1p， 2， 3， 2np满足 1232np ，证明：12loglloglognnp （1）解：对函数 ()fx求导数：22()l1l()fxx 2log()x2l于是 10f当 102x时， 22()logl(1)0fxx，()f在区间 ， 上是减函数；当 12x时， 22()logl(1)0fxx，()f在区间 ， 上是增函数所以 ()fx在 12时取得最小值， 12f；（2）证明：用数学归纳法证明（）当 n时，由（1）知命题成立（）假设当 k时命题成
8、立，即若正数 1p， 2， 2kp满足122kpp，则 122logllogkk 则当 n时，若正数 p， ， 1k满足 122k ，令 1232kxp ， 1qx， 2p， 2kkpqx，则 1q， 2，3q， 2k为正数，且 132k 由归纳假设知，1222logllogkkqq ，kkppp121222l()l()l()kkxxxq122ogog)logkk kqq x 2()lxkx，同理，由 121kkkppx ，可得112 212logloglogkkkkkkp ()()xx 综合两式，得 111222lllkkp 22(1)log(1)log()xkxx 即当 n时命题也成立根据（）和（）可知，对一切正整数 n，命题成立评注：本题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用知识解决数学问题的能力第一问主要涉及复合函数求导问题以及确定函数的极值，研究思路、方法步骤比较常规，体现了高考对通性通法的考查第二问的结论是第一问结论的推广，应该容易找到数学归纳法证明的思路，但第二步由 k到 1如没有创造性的构造，是难以完成的，给思维能力强、数学素质高的同学展现创新意识发挥创造能力创设了广阔的空间高考-试题库
