1、4.1 数学归纳法 教案 （新人教选修 4-5）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；（ii）归纳递推：假设 n=k（k n 0， kN *）时命题成立，证明当 n=
2、k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 2. 练习：已知 ，猜想 的表达式，并给出证明？*()13521,f ()f过程：试值 ， ， 猜想 用数学归纳法证明.()4f 2f3. 练习：是否存在常数 a、b、c 使得等式 1345.(2)n对一切自然数 n 都成立，试证明你的结论.21()6nabc二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用： 出示例 1：求证 *111,23422nNnn分析：第 1 步如何写？n=k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设 n=k 的式子上，如何同补？小结：证 n=k+1
3、时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 出示例 2：求证：n 为奇数时，x n+yn 能被 x+y 整除.分析要点：（凑配）x k+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2ykx 2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x 2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(yx ). 出示例 3：平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2n+2 个部分.分析要点：n=k+1 时，在 k+1 个圆中任取一个圆 C，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 C 与 k 个圆有 2k
4、个交点，这 2k 个交点将圆 C 分成 2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了 2k 个平面部分.因此，f (k+1)=f(k)+2k=k2k +2+2k=(k+1)2( k+1)+2.2. 练习： 求证: （nN *） .1()()13nA 用数学归纳法证明：（） 能被 264 整除；27497n（） 能被 整除（其中 n，a 为正整数）121()na2a 是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7）3 n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除? 若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论， “递推基础不可少，归纳
5、假设要用到，结论写明莫忘掉” ；从 n=k 到 n=k+1 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材 50 1、2、5 题 2. 作业：教材 50 3、4、6 题.第二课时 4.2 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证： .22 *1(1),35(1)nnN2. 求证： .*,4n二、讲授新课：1. 教学例题
6、： 出示例 1：比较 与 的大小，试证明你的结论.2n分析：试值 猜想结论 用数学归纳法证明,345,6 要点： . 小结：试值猜想222()13kkkk证明 练习：已知数列 的各项为正数，S n 为前 n 项和，且 ，归纳出 an 的na 1()nnSa公式并证明你的结论.解题要点：试值 n=1,2,3,4， 猜想 an 数学归纳法证明 出示例 2：证明不等式 .|si|si|()N要点： |si(1)co|sico|sin|kkkkk|1|n 出示例 3：证明贝努利不等式. (1)(,0,1)nxxN2. 练习：试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n1,nN *且 a
7、、b、c互不相等时，均有 an+cn2b n.解答要点：当 a、b、c 为等比数列时，设 a= , c=bq (q0 且 q1). a n+cn=.b当 a、b、c 为等差数列时，有 2b=a+c，则需证 ( )n (n2 且 nN *).2nc. 当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) (ak+1+ck+1+akc+cka)411kc41= (ak+ck)(a+c)( )k( )=( )k+1 .41223. 小结：应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： .11tan(2)()().()cos2s4cosn2. 已知 .,22nNn证 明 ：3. 作业：教材 P54 3、5、8 题.
