1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的观 看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 29 数 学 归 纳 法解 答 题1. (2015江苏高考T23)已知集合 X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN *),设 Sn=(a,b)|a整除 b或 b整除 a,aX,bY n,令 f(n)表示集合 Sn所含元素个数.(1)写出 f(6)的值.(2)当 n6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)根据题意按 a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=
2、2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共 13个.(2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,n;a=2,b=1,2,4,6,2k;a=3,b=1,3,6,9,3k(kN *).所以当 n6 时,f(n)的表达式要按 23=6除的余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.【解析】(1)f(6)=13.(2)当 n6 时,f(n)=2,631,1,2,62,31,2,64,312,5nntnttntnt(tN *)下面用数学归纳法证明:当 n=6时,f(6)=6+2+ 62+ 3=13,结论成立;假设 n=k(k6)时结论成立,那么 n=k+1时,S k+1在 Sk的基础上新增加的元素在
3、(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情况讨论:1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3=k+2+ 12+ 3+3=(k+1)+2+ 12k+ 3,结论成立.2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ 23k+1=(k+1)+2+ (1)()123k,结论成立.3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ 1+2=(k+1)+2+ 2k,结论成立.4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ 23k+2
4、=(k+1)+2+ (1)23，结论成立.5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ 12+2=(k+1)+2+ ()k,结论成立.6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ 3k+1=(k+1)+2+123,结论成立.综上所述,结论对 n6 的自然数 n均成立.2. (2015北 京 高 考 理 科 T20)(13 分 ) 已 知 数 列 满 足 ： ， 且na*1N136a， 记 集 合 。1,8(,361nnna *|nM（ 1） 若 ， 写 出 集 合 M 的 所 有 元 素 ；1（ 2） 若
5、集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 。 证 明 ： M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数 ；（ 3） 求 集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值 。【 解 题 指 南 】 (1)直 接 代 入 定 义 求 解 .(2)(3)可 用 归 纳 推 理 证 明 的 方 法 求 解 .【 解 析 】 (1)a1=6,a2=12,a3=24,a4=224-36=12,所 以 M=6,12,24.(2)因 为 集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 ,所 以 不 妨 设 ak是 3 的 倍 数 ,由 可 归 纳 证 明 对 任 意 n k,an是 3
6、的 倍 数 .1,8(,)361nnna如 果 k=1,则 M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数 .如 果 k1,因 为 ak=2ak-1或 ak=2ak-1-36,所 以 2ak-1是 3 的 倍 数 ,于 是 ak-1是 3 的 倍 数 ,类 似 可 得 ak-2,a1都 是 3 的 倍 数 ,从 而 对任 意 n 1,an是 3 的 倍 数 ,因 此 M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数 .综 上 ,若 集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 ,则 M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数 .(3)由 a1 36, -1-12,8(,2)6nna
7、可 归 纳 证 明 an 36(n=2,3,).因 为 a1是 正 整 数 ,a2= 所 以 a2是 2 的 倍 数 ,18,a从 而 当 n 3 时 ,an是 4 的 倍 数 ,如 果 a1是 3 的 倍 数 ,由 (2)知 对 所 有 正 整 数 n,an是 3 的 倍 数 ,因 此 当 n 3 时 ,an 12,24,36,这 时 M 的 元 素 个 数 不 超 过 5,如 果 a1不 是 3 的 倍 数 ,由 (2)知 对 所 有 正 整 数 n,an不 是 3 的 倍 数 ,因 此 当 n 3 时 ,an 4,8,16,20,28,32,这 时 M 的 元 素 个 数 不 超 过 8,当 a1=1 时 ,M=1,2,4,8,16,20,28,32有 8 个 元 素 .综 上 可 知 ,集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值 为 8.关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
