1、幂函数、指数函数和对数函数利用函数的性质比较两数值教案 教学目标 1使学生掌握比较两幂值、两对数值大小的常用方法； 2进一步熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质； 3培养学生构造函数的思想和数形结合的思想 教学重点与难点 教学重点是恰当地构造函数，使两数值比大小的问题转化为同类函数的两函数值比大小的问题 教学难点是底与真数都不同的两数值的比大小的问题 教学过程设计 一、引入 与 0.50.2 哪个大？如何比较呢？ 这两个数该如何比大小呢？ 师：讲得不错请再继续比较 0.30.2 与 0.50.2 的大小 师：说得非常好这位同学把两数值比大小的问题转化为同一函数的两函数值比大小的问题，在认
2、识上有了一个飞跃，这正是我们今天要研究的课题 二、复习幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质 请看图表（用投影片较好） y=x （ 为常数）是幂函数它在第一象限内的情况分为 1，01；0 三种情况，其中0 时，y=x ，在（ 0，+ ）内为增函数； 0 时，y=x ，在（0，+）内为减函数 y=ax（a0，a1）是指数函数，a1 时，y=a x 为增函数；0a1 时，y=a x 为减函数y=a x 经过（0，1）点，说明 ax 容易与 1 比大小 y=logax（a 0，a 1）是对数函数y=log ax 在 a1 时是增函数；在 0a1 时是减函数 y=logax 与 y=ax 互为反函数，
3、互为反函数的两函数具有相同的单调性 同是对数曲线，由于各自所处的位置不同，底的大小也不同，如图 4 这 4 条曲线的底分别为 a，b，c ，d请判断 a，b，c，d 与 1 的大小关系，并说明理由 生：b，a1，而 c，d1，但 a 与 b 谁大，c 与 d 谁大，判断起来有困难 师：我们用 y=1 这条直线去截每一条对数曲线，得到 A，B ，C，D4 个交点，由这 4 个交点的前后位置可知 cd1 ba 这是为什么？ 生：（思考 1 分钟）由 logax=1，可知 x=a，因此 A，B ，C，D 各点的横坐标应分别为对应的对数曲线的底，由 A，B，C，D 四点的前后顺序可知它们对应的底的大小
4、 师：回答很好这位同学用数形结合的方法，解决了同类函数的底的比大小问题，这对底不同的两对数值比大小很有益处 三、举例 例 1 比较下列各题中两个数值的大小 （1）0.2 0.3 与 0.40.3； （2）0.4 0.3 与 0.40.2； （3）0.2 0.3 与 0.40.2； 老师给出题目后，让学生先作准备，然后先由学生说答案和理由，再由老师讲解并板书 解 （1）0.4 0.3 与 0.20.3 这两个幂值的底不同，但指数相同，可以看作是 y=x0.3 的两个函数值 因为 y=x0.3 在（ 0，+ ）内是增函数，又因为 0.20.4，所以 0.20.30.4 0.3 （2）0.4 0.3
5、 与 0.40.2 这两个幂值的底相同，但指数不同，可以看作是 y=0.4x 的两个函数值 因为 y=0.4x 在（ -，+）内是减函数，又因 0.30.2，所以 0.40.30.4 0.2 （3）这两个数值是两个底不同、指数也不同的幂值，不能直接构造函数请同学们再考虑一下怎么办？生：这两个数值中，一个是第（1）小题的第一个数，一个是第（2）小题中的第二个数，而这两个小题的另一个数又相同，由此可以得到结论 因为 0.20.30.4 0.3，0.4 0.30.4 0.2，所以 0.20.30.4 0.2 师：这位同学讲得很好当两个幂值的底与指数不同时，我们要设法找一个中间值，让它起桥梁作用你们看
6、一看这个中间值应如何找呢？ 生：从此题看出中间值可以取一个幂值的底为底，另一个幂值的指数为指数，如 ab 与 cd 的中间值可以考虑 ad 或者 cb 师：请大家考虑，这个同学的猜想的理论根据是什么？ 生：a d 与 ab 同底，可以看作是 y=ax 的两函数值，由指数函数的单调性决定 ad 与 ab 之间的大小关系；ad 与 cd 同指数，可以看作 y=xd 的两个函数值，由幂函数的单调性决定 ad 与 cd 的大小关系 师：如果 ad 居于 cd 和 ab 中间，就可以断定 ab 与 cd 的大小关系 师：同学们请考虑这两个幂值还可取其它中间值吗？ 师：对中间值必须具备两条特征，即 师：请
7、大家都用 1 作中间值比一下大小由于幂函数图象都过（1，1）点，指数函数图象都过（0，1）点，所以幂值非常容易与 1 比大小，因此，1 为两幂值比大小的首选中间值 另外从 A 点高于（0，1）点，B 点低于（0，1）点，也很容易得出大小关系这就是我们常说的用图象法比大小的意义 请同学们试着小结一下两幂值比大小的方法 （要板书） （1）同指数的两幂值比大小时，利用幂函数的单调性可以直接比大小， （2）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可以直接比大小； （3）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比大小，也可以利用图象的位置关系来比大小 例 2 比较下列各题中两个对数值的大小 （
8、1）log 0.20.5 与 log0.20.3； （2）log 23 与 log1.53； （3）log 59 与 log68； 师：请同学们先做第（1）小题 生：我们把 log0.20.5 与 log0.20.3 看作是函数 y=log0.2x 的两个函数值 解 因为 y=log0.2x 在（0，+ ）上是减函数，又因 0.50.3，所以 log0.20.5log 0.20.3 师：第（1）小题解得不错这是一道直接利用对数函数性质比大小的题目，我们只要恰当地构造函数，便可解决请大家研究一下第（2）小题的大小关系 生：本题的两对数值不同底，是否可以考虑换底呢？ 所以 log23log 1.5
9、3 师：该生的解答很准确特别是他的不等式变换技巧掌握较好，即 a 此题还可以用函数图象来解决大小问题 解 画出 y=log1.5x 和 y=log2x 的图象（如图 6） x1 以后，y=log 1.5x 的图象在 y=log2x 的图象的上方当 x=3 时，A 点高于 B 点，因为 A 点纵标=log1.53，B 点纵标 =log23，所以 log23log 1.53 请看第（3）小题这两个对数值的底和真数都不同，不可直接利用对数的增减性，也不好利用同类函数图象的位置高低比大小，应如何解决这一矛盾呢？ 生：我们可以考虑中间值 因为 log59 与 log58 是同底两对数，由增减性得：log
10、 59log 58 又因 log68 与 log58 是同真数两对数，由图象的位置高低得：log 68log 58所以 log59log 68 （此解法学生若说得不完善时，教师要及时给予补充说明 ） 师：我们用函数图象来解释一下第（3）小题 如图 7，A 点纵坐标为 log58，B 点纵坐标为 log68，C 点纵坐标为 log59 C 点与 A 点在同一单调函数图象上，可比出高低， A 与 B 在同一条直线上，也能比出高低，即 C 点高于 A 点，A 点高于 B 点，所以， C 点高于 B 点，即 log59log 68这个图给中间值一个几何解释 第（4）小题由同学独立完成其结果为： 对数函数图象都过（1，0）点，函数值很容易与 0 比大小，所以 0 为对数值比大小的首选中间值 请同学们小结两对数比大小的常用方法 （1）同底两对数值利用对数函数的单调性直接比大小； （2）同真数的两对数，可以用换元法转化为同底两对数比大小，也可以用同类函数图象的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值，可以借用中间值比大小，也可以通过图象比大小 下研究 ） 上函数值大于 1 知 上函数值大于 1 知
