1、1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论自主学习学习目标1掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论2了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系自学导引1平面的基本性质(1)基本性质 1：如果一条直线上的_点在一个平面内，那么这条直线上的_点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或_(2)基本性质 2：经过_的三点，有且只有一个平面也可简单说成，_的三点确定一个平面(3)基本性质 3：如果不重合的两个平面有_公共点，那么它们有且只有_过这个点的公共直线如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面_这条公共直线叫做两个平面的_2平面基
2、本性质的推论(1)推论 1 经过_有且只有一个平面(2)推论 2 经过_有且只有一个平面(3)推论 3 经过_有且只有一个平面3共面和异面直线如果两直线共面，那么它们_或者_，否则称它们为_对点讲练知识点一 多线共面例 1 已知直线 ab，直线 l 与 a、b 都相交，求证：过 a、b、l 有且只有一个平面点评 证明多线共面的一种方法是先由推论 3 确定一个平面，再利用基本性质 1 依次证明其余各线也在这个平面内另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合变式训练 1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内知识点二 证明多点共线问题例 2 已知AB
3、C 在平面 外，AB P ，AC R，BCQ，如图所示求证：P、Q、R 三点共线点评 证明多点共线的方法是利用基本性质 3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上本题也可先确定点 P、R 在同一条直线上，Q 也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法变式训练 2 如图所示，ABP，CDP，A ，D 与 B，C 分别在平面 的两侧，AC Q，BD R.求证： P，Q ，R 三点共线知识点三 证明线共点问题例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别为 BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD 交于
4、一点点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论变式训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点求证：CE、D 1F、DA 三线交于一点1三个基本性质的作用：基本性质 1判定直线在平面内的依据；基本性质 2判定点共面、线共面的依据；基本性质 3判定点共线、线共点的依据2注意事项(1)应用基本性质 2 时，要注意条件“三个不共线的点” 事实上，共线的三点是不能确定一个平面的(2)在立体几何中，符号“”与“ ”的用法与读法不要混淆(3)解决立
5、体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化. 课时作业一、选择题1下列命题：书桌面是平面；8 个平面重叠起来，要比 6 个平面重叠起来厚；有一个平面的长是 50 m，宽是 20 m；平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念其中正确命题的个数为( )A1 B2 C3 D42点 A 在直线 l 上，而直线 l 在平面 内，用符号表示为( )AAl，l BAl，lCAl ，l DAl ，l3已知平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能的交线有( )A1 条或 2 条 B2 条或 3 条C1 条或 3 条 D1 条或 2 条或 3 条4已知 、 为平面，A、B、M、N 为点，
6、a 为直线，下列推理错误的是( )AAa，A，Ba，B aBM，M ，N，N MNCA ，A ADA、B、M ，A、B 、M ，且 A、B、M 不共线 、 重合5平面 平面 l，点 A ，B，C ，且 Cl，ABlR，过 A、B、C 三点确定平面 ，则 等于( )A直线 AC B直线 BCC直线 CR D以上都不对题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6下列命题中，正确的是_(填序号)若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；若点 A 既在平面 内，又在平面 内，则 与 相交于直线 l，且 A 在 l 上；两条直线不能确定一个平面7读图，用符号
7、语言表示下列图形中元素的位置关系(1)图可以用符号语言表示为_；(2)图可以用符号语言表示为_8.如图所示，ABCDA 1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是_( 填序号) A、M、O 三点共线；A、M、O、A 1 四点共面；A、O、C、M 四点共面；B、B 1、O、 M 四点共面三、解答题9如图，直角梯形 ABDC 中，ABCD，ABCD ，S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线，并说明理由10如图，已知平面 ，且 l.设梯形 ABCD 中，AD BC，且AB， CD.求证：
8、AB，CD，l 共点(相交于一点)【答案解析】自学导引1(1)两 所有 平面经过直线(2)不在同一条直线上 不共线(3)一个 一条 相交 交线2(1)一条直线和直线外一点 (2)两条相交直线 (3) 两条平行直线3平行 相交 异面直线对点讲练例 1 证明 方法一 Error!Error!la，b，l 共面方法二 ab，a，b 确定一个平面 .alA，直线 a，l 确定一个平面 .又B ，B ，a ，a ，平面 与 重合故直线 a，b，l 共面变式训练 1 已知：如图所示，l 1l 2A， l2l 3B ，l 1l 3C.求证：直线 l1、l 2、l 3 在同一平面内证明 方法一 (同一法)l
9、1l 2A，l 1 和 l2 确定一个平面 .l 2l 3B ， Bl 2.又l 2，B.同理可证 C.又Bl 3，C l3，l 3.直线 l1、l 2、l 3 在同一平面内方法二 (重合法)l 1l 2A，l 1、l 2 确定一个平面 .l 2l 3B ， l2、l 3 确定一个平面 .Al 2，l 2，A.Al 2，l 2，A.同理可证 B，B ，C ，C.不共线的三个点 A、B、C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1、l 2、l 3 在同一平面内例 2 证明 方法一 ABP，PAB ，P平面 .又 AB平面 ABC，P平面 ABC.由基本性质 3 可知：点 P 在平面
10、 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 的交线上P、Q、R 三点共线方法二 APAR A，直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.又AB P，ACR，平面 APR平面 PR.B面 APR，C面 APR，BC 面 APR.QBC，Q 面 APR，又 Q ，Q PR ，P、Q、R 三点共线变式训练 2 证明 ABP，CDP，ABCD P.AB，CD 可确定一个平面，设为 .AAB，C CD ，BAB，DCD ，A，C ，B ，D.AC ，BD ，平面 ， 相交AB P ，ACQ，BDR ，P，Q，R 三点是平面 与平面 的公共点P，Q，R 都在 与 的交线上，故
11、 P，Q ，R 三点共线例 3 证明 因为 E、G 分别为 BC、AB 的中点，所以 GEAC.又因为 DFFCDHHA23，所以 FHAC 且 HF AC，从而 FHGE.故25E，F， H，G 四点共面所以四边形 EFHG 是一个梯形，GH 和 EF 交于一点 O.因为 O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，所以 O 在这两个平面的交线上而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上，所以 EF，GH，BD 交于一点变式训练 3 证明 连接 EF，D 1C，A 1B.E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的
12、中点，EF A1B.12又A 1BD 1C，EF D 1C，E，F ，D 1， C 四点共面，且 EF D1C，12D 1F 与 CE 相交于点 P.又 D1F平面 A1D1DA，CE 平面 ABCD.P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点又平面 A1D1DA平面 ABCDDA，根据基本性质 3，可得 PDA，即 CE、D 1F、DA 相交于一点课时作业1A 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题 正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题、都不正确，故选 A.2B 3.D4C A，A，A .由基本性质可知 为经过 A 的一条直线而不是 A.故 A 的写法错
13、误 5C ABlR，R l ，RAB.又 l， l，R ，R，又 C，C，CR.67(1)l，m ，n ，lnP，m l(2)l，mA，m B8解析 连接 AO，AO 是平面 AB1D1 和平面 BB1D1D 的交线，MA 1C，A 1C面AA1C1C，M面 AA1C1C，又 M面 AB1D1MAO，即 A、M、O 三点共线，因此均正确只有不正确9解 很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上，由于ABCD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示EAC，AC 平面 SAC，E平面 SAC.同理，可证 E平面 SBD.点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线10证明 梯形 ABCD 中，ADBC，AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰，AB，CD 必定相交于一点，设 ABCDM.又AB ，CD ，M，且 M，M.又l，Ml，即 AB，CD ，l 共点
